初等几何 第六章 各类考试中的几何

第六章各类考试中的几何问题6.1中考几何问题“提供新材料、创设新情景、提出新问题”已成为几何试题设计的新趋势.这一新趋势的主要表现是：在问题的背景上下功夫，力求情景新颖，让学生在变化的试题情景中解题，在对学生已有几何语言的读、写、译能力的基础上，力求考查学生的阅读理解能力；在问题的呈现方式上下功夫，改变问题的呈现方式，多角度、多层次、多途径，灵活地呈现问题，考查学生运用知识的灵活性；在问题的形式上下功夫，归纳型试题、方案型试题、探索型试题、开放型试题等，让学生在几何问题的探索中，数学思维得到锤炼，创新思维得到发展.6.1.1中考几何问题的基本特点1.注重基础知识，强调联系实际近年来，中考几何试题非常关注与实际生活的联系，几何知识与生活实际联系密切，强调人与自然、社会协调发展的现代意识，引导学生关注社会生活和经济发展的基本走向，密切联系最新的科技成果和社会热点.注重促进学生几何学习方式的改善，几何学习效率的提高，激发并保持学生的学习兴趣，使学生体会到几何就在我们身边.2.突出学科特点，加大探究力度近年来，中考几何试题突出了平面几何的两大内容：一是以图形为主，直观性强，所考查的图形生动形象；二是以推理为主，逻辑性强，通过概念、判断、推理、论证，考查学生的逻辑思维能力.近年来，中考几何试题十分关注学生的阅读理解能力、动手实践能力、探索发现能力、抽象归纳能力的考查.3.关注知识整合，考查思想方法近年来，关注几何知识之间的内在联系，体现几何知识的整体性，用具体的试题为载体考查数学思想和数学方法，是中考几何试题的一大亮点.初中阶段的几何学习要掌握的数学思想主要有：数形结合、分类讨论、化归与转化等；主要数学方法有：构造法、面积法、换元法、代数法等.这些数学思想和数学方法在近年来的中考试题中进行了多方位、多层次的考查.4.拓展思维空间，着眼学生发展近年来，各地中考的几何试题已不再拘泥于知识点的考查，而是注重拓展思维空间，精心设计情景，多角度、多层次地考查学生的各种能力：通过变化问题的情景让学生去分析、转化，联系，寻找解题途径；适度拓展、发散探究问题，让学生去联想、发现解题思路，考查学生的创造能力.6.1.2中考几何问题的基本内容新课程将初中几何内容分为图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明四大模块；从其研究方法上看，新课程将初中几何分为实验几何与论证几何.近年来中考几何试题的基本内容也主要包括四大模块:图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明.重点内容重点考查的问题主要是：与圆相关的问题、解三角形、图形的变换、图形的计算与证明；与几何有关的实际应用问题.其中实际应用问题将是构成中难度解答题的主要内容，三角形、四边形等内容的综合仍将是构成高难度题的主要内容.6.1.3中考几何问题的基本解法中考几何问题是“按课标要求，不出偏题、怪题和死记硬背的题目”，突出对基础知识、基本技能及基本数学思想方法的考查，着眼于考查学生的基本数学能力，强化应用，着重创新，强调几何与学生现实生活的紧密联系，减少繁难的几何证明题，淡化几何证明的技巧，降低论证过程形式化的要求.中考几何问题的基本解法是：数形结合法、分类讨论法、化归法、反证法和构造法等.例1（南充）

如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG.（1）求证：直线EP为⊙O的切线；（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2=BF•BO．试证明BG=PG；（3）在满足(2)的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB=．求弦CD的长．分析：（1）连接OP先由EP=EG，证出∠EPG=∠BGF再由∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°推出∠EPG+∠OPB=90°（2）连接OG由BG2=BF•BO得出△BFG∽△BGO得出∠BGO=∠BFG=90°得出结论．（3）连接AC、BC、OG由sinB=，求出r由（2）得出∠B=∠OGF，求出OF再求出BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以2得出CD长度．答：CD=．

例2.（南充）如图，二次函数y=x2+bx－3b+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b－2，2b2－5b－1）.（1）求这条抛物线的解析式；（2）⊙M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；（3）连接AM、DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F，若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标.解：（1）把点（b－2，2b2－5b－1）代入解析式，得2b2－5b－1=(b－2)2+b(b－2)－3b+3，解得b=2.∴抛物线的解析式为y=x2+2x－3.（2）由x2+2x－3=0，得x=－3或x=1.∴A（－3，0）、B（1，0）、C（0，－3）.抛物线的对称轴是直线x=－1，圆心M在直线x=－1上.∴设M（－1，n），作MG⊥x轴于G，MH⊥y轴于H，连接MC、MB.∴MH=1，BG=2.∵MB=MC，∴BG2+MG2=MH2+CH2，即4+n2=1+（3+n）2，解得n=－1，∴点M（－1，－1）

（3）如图，由M（－1，－1），得MG=MH.∵MA=MD，∴Rt△AMG≌RtDMH，∴∠1=∠2.由旋转可知∠3=∠4.∴△AME≌△DMF.若△DMF为等腰三角形，则△AME为等腰三角形.设E（x，0），△AME为等腰三角形分三种情况：②∵M在AB的垂直平分线上，∴MA=ME=MB，∴E（1，0）例3（中考）如图，在直角坐标系中，已知点A(0，2)、点B(﹣2，0)，过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE．（1）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）

经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式．

（2）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动．①在

运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．②运动停止时，求抛物线的顶点坐标．

解：（1）由题意可知：OB=2，OC=1．如图（1）所示，过D点作DH⊥y轴于H，过E点作EG⊥x轴于G．易证△CDH≌△BCO，∴DH=OC=1，CH=OB=2，∴D（﹣1，3）；同理△EBG≌△BCO，∴BG=OC=1，EG=OB=2，∴E(﹣3，2)．∴抛物线

注几何动态问题是近年来中考出现较多的题型，它集质点的运动、线段的运动、图形的变化一身，集几何、代数知识于一体，是数与形的巧妙结合.在运动中分析、在变化中求解，这不仅反映了动态型命题的重要特征，而且还展示了动态型命题特有的发展功能和思维功能.6.2

高考几何问题6.2.1高考几何问题的基本特点高考几何问题主要内容包括学生必修与选修中的立体几何、解析几何及平面几何中的基础知识与基本技能.几何问题是高考的必考内容之一，近年来已形成“保持稳定，注重基础，突出能力，着力创新”的特点.这些特点，既有试题在几何基础层面上的呈显，又有试题在数学能力上的体现.1.试题在基础知识层面的特点（1）紧扣教材，注重基础（2）全面考查，重点突出（3）顾及体系，立意较高2．试题在数学能力层面的特点（1）考查思想，突出本质（2）低入高出，区分明显（3）注重思维，减少计算（4）能力立意，全面考查（5）文理试题，差异合理（6）稳中有进，适度创新6.2.2高考几何问题的基本内容随着高中数学课程改革的推进，平面几何列入了高中选修课程．宁夏、江苏、广东、海南等省在高考中先后出现了平面几何题．这些试题虽然是选做题，但它却传递了一个重要信息：高考要考平面几何，高考复习也要复习平面几何．其主要内容包括初中平面几何的内容，高中补充的内容，如射影定理、平行射影、平面与圆柱面的截线、平面与圆锥面的截线、梯形中位线定理、圆幂定理等．高考立体几何试题，以基本位置关系的判定与柱、锥、球的相关角、距离、体积计算为基础题，以证明空间线面的位置关系和有关数量关系的计算，诸如空间线面平行、垂直的判定与证明，线面角和距离的计算.高考命题的载体可能趋向于不规则几何体，但仍以“方便建系”为原则.在高考中，立体几何始终占有重要位置，以中档题为主，兼有低档题.高考解析几何试题，既要考查直线与圆的方程、圆锥曲线的定义、方程与几何性质及图形等基础知识，又要将几何图形置于直角坐标系中，借助方程研究曲线，体现“代数方法研究几何问题”的解析几何的基本思想方法；既综合性强又有适当的难度和较好的区分度.纵观近年全国各地数学高考题，平面解析几何问题常见的有：选择题、填空题考查基础知识；解答题分为解析几何中最值和参数范围问题；解析几何中定点、定值和存在性问题；圆锥曲线与向量问题；圆锥曲线的切线及弦长问题；解析几何交汇问题；求轨迹方程问题等.6.2.3高考几何问题的基本解法高考几何试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查.一是数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；二是数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；三是常用数学思想：数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等.数学思想方法与数学基础知识之间，可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高学生数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是分析问题和解决问题的数学“能力”.例1．(四川)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D,D1分别是线段BC,B1C1的中点，P是线段AD的中点．（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面DD1A1；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求