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文档简介

随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布

二、连续型随机变量函数的分布

实际背景

在加工机件时,只能测得工件的直径

然而我们关心的是工件的截面面积

如果知道

的分布，问如何求的分布?例在某电路中，电流

是一个当电流通过一个的电阻时，问在该电阻上消耗的功率是多少?例问题question一般地，若

是

是一个函数,则

也是问怎样求

的分布？例1已知X的概率分布为

X-10125

P

0.30.10.20.150.25

求1）Y=2X+1；2）Y=X2

的概率分布。解1）Y-113511P0.30.10.20.150.252）Y01425P

0.10.3+0.20.150.25一、离散型随机变量函数的分布

若X是离散型的，则Y=g（X）也是离散型随机变量，且它的取值为yk=g（xk），其分布可以直接由X的分布求得。一般地:

1）若yk的值全不相同，则P{Y=yk}=P{X=xk}。则Yy1y2…yk…

P

p1p2…pk…

即若X的概率分布为Xx1x2…xk…

P

p1p2…pk

…

2）若yk中有相同的情形，则应把那些相同的值加以合并，再根据加法定理把对应的概率pk相加。则FY（y）=P{Y≤y}=P{2X+8≤y}

二、连续型随机变量函数的分布例2.设随机变量X具有密度所以于是Y的分布函数为FY(y),解：设X的分布函数为FX(x),求随机变量的概率密度。Y的概率密度为fY(y)。分布函数法1.分布函数法

一般地，若已知X的概率密度为fX(x),求其函数Y=g(X)的概率密度fY(y)分两个步骤：

10

根据分布函数的定义求Y的分布函数FY(y)；

20

由fY(y)=，求出fY(y)。例3.设随机变量X的概率密度为fX(x)，求线性函数Y=aX+b(a,b是常数，且a≠0)的概率密度fY(y)。

解:FY(y)=fY(y)=F’Y(y)=，a＜0，a＞0

，a＜0，a＞0=例4.

设随机变量X具有概率密度fX(x)，求函数Y=X2的概率密度。解:记Y的分布函数FY(y)，由y=x2，则y∈[0，+∞）

当y≥0时，

当y<0时，FY(y)=0，

于是Y的概率密度为：定理设连续型随机变量X具有概率密度fX(x)

，-∞＜x＜∞,又设函数y=g(x)处处可导且恒有g’(x)>0(或恒有g’(x)<0),则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为

2.公式法

其中α=Min[g(-∞),g(+∞)],β=Max[g(-∞),g(+∞)],h(y)是g(x)的反函数。例5.

设X～U(-π/2,π/2)，求Y=sinX的概率密度。解:X的概率密度为

由于y=sinx在(-π/2,π/2)内处处可导且sin’x>0,则Y=sinX是连续型随机变量，其概率密度为例6.

设X～N(μ,σ2)，求证Y=aX+b(a≠0)也服从正态分布。证:X的概率密度为

由y=g(x)=ax+b解得x=h(y)=(y-b)/a,

又g(x)可导且导数与a同号，h’(y)=1/a,从而得即Y～N(aμ+b,(aσ)2)。须记住这个结果！例6.

设X～N(μ,σ2

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