（概率论与数理统计）极限定理

若X，Y相互独立，则f(x,y)=fX(x)·fY(y)，得卷积公式:

例3．设X和Y是两个互相独立的随机变量，且X～N（0，1），Y

～N（0，1），求Z=X+Y的概率密度。解：由于X、Y互相独立，由卷积公式§3.3二维随机变量函数的分布---回顾下页

从而有，Z=X+Y～N（0，2）。

（2）如果Xi(i=1,2,…,n)为n个互相独立的随机变量，且Xi~N(μi，σi2)，则

一般地（1）若X1~

，X2~N

，且X1、X2相互独立，则有X1+X2~N下页在现实中为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布实际背景研究发现这些指标通常是由大量相互独立的随机因素综合影响而成,即近似问题中心极限定理研究的内容：当时,在什么情况下的极限分布是？的极限分布是？定义则称服从中心极限定理若的分布函数对任意

满足定理3（同分布中心极限定理）设随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立，服从相同分布，且有有限的数学期望和方差，即：的分布函数Fn(x)满足：对任意的x，有E(Xk)=μ，D(Xk)=σ2，k=1,2,…则随机变量§5.2中心极限定理下页说明：（1）当n很大时，Yn近似地服从N（0，1），即（2）当n很大时，近似地服从N（n

μ

，nσ2）即不论Xi具有怎样的分布，只要有有限的期望和方差，当n很大时，其和就近似地服从正态分布。下页例1．设样本X1，X2，…，X20相互独立，且都来自均匀分布U(0,1)，其中,E(Xi)=1/2,D(Xi)=1/12，令Y20=X1+X2+…+X20，求：P{Y20≤9.1}。解：P{Y20≤9.1}=n=20，μ=1/2,σ2=1/12下页定理4（棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理）设随机变量ηn服从参数为n,p的二项分布（n=1,2,…,0＜p＜1），则对于任意实数x

恒有：其中由独立同分布中心极限定理可得证:

由于服从二项分布的随机变量和hn

可视为

n

个相互独立的、服从同一参数p的（0-1）分布的随机变量X1，X2，…，Xn之和，下页例2．一批种子，其中良种占1/6，在其中任选6000粒，试问在这些种子中，良种所占的比例与1/6之差的绝对值小于1%的概率是多少？解：设X表示取6000粒种子中的良种粒数，则X~B(6000,1/6)注若X~B(n,p),则当n较大时，有下页例3.

某出租车公司有500辆的士参加保险，在一年里的出事故的概

率为0.006，参加保险的的士每年交800元的保险费．若出事故，保

险公司最多赔偿50000元，试利用中心极限定理，计算保险公司一

年赚钱不小于200000元的概率．解：设X表示500辆的士中出事故的车辆数，则X

～B(500,0.006)其中np=3,npq=2.982,保险公司一年赚钱不小于200000元的事件为{500×800≥500×800-50000X≥200000},即事件{0≤X≤4}可见，保险公司在一年里赚钱不小于200000元的概率为0.7781.下页

例4.

在抽样检查某种产品的质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品．设产品的次品率为10﹪，问至少应抽查多少个产品进行检查，才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9？解: