截长补短法(初中数学经典例题和方法选讲)

几何模型二：截长补短法例1.已知：如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．求证：AC=AB+BD．证明：补短法：证明：如图，延长AB到E，使BE=BD，连接DE．∵∠ABD是△BDE的一个外角∴∠ABD=∠E＋∠BDE∵BE=BD∴∠E=∠BDE∴∠ABD=2∠E∵∠ABD=2∠C∴∠E=∠C在△ADE和△ADC中∴△ADE≌△ADC（AAS）∴AE=AC∴AC=AB＋BE=AB＋BD

典型例题例1.已知：如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．求证：AC=AB+BD．截长法：证明：如图，在AC上截取AF=AB，连接DF．在△ABD和△AFD中∴△ABD≌△AFD（SAS）∴∠B=∠AFD，BD=FD∵∠B=2∠C∴∠AFD=2∠C∵∠AFD是△DFC的一个外角∴∠AFD=∠C+∠FDC∴∠FDC=∠C∴DF=FC∴BD=FC∴AC=AF+FC=AB+BD典型例题练习1.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=80°，AD是∠BAC的平分线．求证：AC=AB+BD．变式练习引例：如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°（1）∠B与∠D有什么关系？（2）延长AD至E，∠B与∠CDE有什么关系？引例例2.已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.求证：∠BAP+∠BCP=180°.分析：证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图3-2∵∠1=∠2，且PD⊥BC∴PE=PD，在Rt△BPE与Rt△BPD中，∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL),∴BE=BD.∵AB+BC=2BD，∴AB+BD+DC=BD+BE，∴AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在Rt△APE与Rt△CPD中,∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS),∴∠PAE=∠PCD又∵∠BAP+∠PAE=180°.∴∠BAP+∠BCP=180°典型例题练习2.已知：如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠A+∠C=180°．求证：BD=AB+CD．变式练习练习3.已知：如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，∠C=60°，BD平分∠ABC．求证：BC=AB+AD．变式练习练习4.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠B+∠D=180°求证：AE=AD+BE．变式练习练习5.如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，点E为AB上一点，点F为AD上一点，∠BCD=2∠ECF，求证：EF=BE+DF变式练习练习6.如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，点E为AB上一点，点F为AD上一点，∠BCD=2∠ECF，求证：EF=BE-DF变式练习例3.已知：如图，在△ABC中，∠ABC=60°，△ABC的角平分线AD，CE交于点O．求证：AC=AE+CD．证明：如图，在AC上截取AF=AE，连接OF．∵AD，CE为△ABC的角平分线∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△AEO和△AFO中∴△AEO≌△AFO（SAS）∴∠5=∠6∵∠ABC=60°∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠2+∠3=60°∴∠AOC=180°-60°=120°∴∠5=∠6=∠7=∠8=60°在△OFC和△ODC中典型例题∴△OFC≌△ODC（ASA）∴CF=CD∴AC=AF+FC=AE+CD练习7.如图所示，在DABC是边长为1的正三角形，DBDC是顶角为120°的等腰三角形，ÐMDN=60°，点M、N分别在AB、AC上，求的DAMN的周长。变式练习例4.已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：2CE=BD证明：如图，延长CE，交BA的延长线于点F．∵CE⊥BD∴∠BEF=∠BEC=90°∵∠BAC=90°∴∠CAF=∠BAD=90°∵∠3=∠4∴∠1=∠5在△BAD和△CAF中∴△BAD≌△CAF（ASA）∴BD=CF∵BE平分∠ABC∴∠1=∠2在△BEF和△BEC中∴△BEF≌△BEC（ASA）∴EF=EC∴2CE=CF∴2CE=BD典型例题练习8.如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD，连接EC．求证：BC=AB+CE．变式练习练习9.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB于E，△BDC为等腰直角三角形，∠BDC=90°，BD=CD，CE与BD交于F，连接AF．求证：CF=AB+AF．变式练习例5.已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠B=∠D=∠BAD=90°，E，F分别为CD，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF．求证：EF=BF+DE．证明：如图，延长FB到G，使BG=DE，连接AG．∵∠D=∠ABC=90°∴∠ABG=∠D=90°在△ABG和△ADE中∴△ABG≌△ADE（SAS）∴AG=AE，∠1=∠2∵∠BAD=90°，∠EAF=45°∴∠2+∠3=45°∴∠1+∠3=45°即∠GAF=45°∴∠GAF=∠EAF在△AGF和△AEF中∴△AGF≌△AEF（SAS）∴GF=EF∵GF=BF+BG∴EF=BF+DE典型例题练习10.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD的延长线上，∠EAF=45°求证：EF=BE-DF变式练习1.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB边上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．求证：CD=AD+BC．课后练习2.如图，在正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分∠DAE，连接EF．求证：AE=BE+DF．课后练习3.如图，在△ABC中，AB>AC，