数字图像 变换

第4章图像变换

计算机科学系1第4章图像变换第4章图像变换

4.1 背景 4.2 傅立（里）叶变换和频率域 4.3 离散余弦变换 4.4沃尔什变换4.5MatLab函数2第4章图像变换4.1 背景傅立叶变换提出傅立叶（Fourier）：法国数学家，1768年生1822年出版“热分析理论”，1878年翻译成英文。提出傅立叶级数傅立叶级数：周期函数表示为不同频率的正弦和/或余弦和傅立叶变换：非周期函数表示为正弦和/或余弦乘以加权函数的积分逆变换可以重建原函数应用信号处理等（快速傅立叶变换FFT算法出现）3第4章图像变换4.1 背景例4.1:函数分解函数系数具有重要意义分解和合并的过程可逆4第4章图像变换第4章图像变换 4.1 背景 4.2 傅立（里）叶变换和频率域 4.3 离散余弦变换 4.4沃尔什变换4.5MatLab函数5第4章图像变换4.2 傅立叶变换和频率域

傅立叶变换FT（FourierTransformation）

4.2.1傅立叶变换定义 4.2.2傅立叶变换性质 4.2.3快速傅立叶变换*6第4章图像变换4.2.1傅立叶变换定义一维傅立叶变换及其逆变换（1）连续函数

正变换：逆（反）变换：7第4章图像变换4.2.1傅立叶变换定义

（2）离散函数：N个数据组成的序列1-D正变换 对1个连续函数f(x)等间隔采样8第4章图像变换4.2.1傅立叶变换定义1-D反变换 变换表达

频谱（幅度）相位角功率谱9第4章图像变换4.2.1傅立叶变换定义例4.2:窗函数的傅立叶变换E/2-/2f(t)t旁瓣旁瓣主瓣辛克函数，记为Sinc(u)10第4章图像变换4.2.1傅立叶变换定义二维傅立叶变换及其逆变换（1）连续函数正变换：逆（反）变换：11第4章图像变换4.2.1傅立叶变换定义（2）离散函数：M×N大小变换对公式频谱（幅度）相位角功率谱（能量谱）12第4章图像变换4.2.1傅立叶变换定义例4.313第4章图像变换4.2.1傅立叶变换定义例4.414第4章图像变换4.2.1傅立叶变换定义频率域由傅立叶变换和频率变量(u,v)定义的空间基本性质（1）变化最慢的频率成分(u=0,v=0)对应一幅图像的平均灰度（2）低频（原点附近）对应图像灰度变化慢的像素（3）高频（远离原点）对应图像灰度变化快的像素15第4章图像变换4.2.2傅立叶变换性质变换对：1、平移性质16第4章图像变换4.2.2傅立叶变换性质例4.5：平移性质17第4章图像变换4.2.2傅立叶变换性质2、旋转性质

令：

将：

代入傅立叶变换对得到：18第4章图像变换4.2.2傅立叶变换性质例4.6：傅立叶变换旋转性质示例19第4章图像变换4.2.2傅立叶变换性质3、尺度定理（相似定理：similaritytheorem）

（1）对f(x,y)在空间尺度方面的放缩导致对其傅立叶变换F(u,v)在频域尺度方面的相反放缩。（2）对f(x,y)的收缩(对应a>1,b>1)不仅导致F(u,v)的膨胀，还使F(u,v)的幅度减小。20第4章图像变换4.2.2傅立叶变换性质例4.7：傅立叶变换尺度变化性质示例正方形收缩导致其傅立叶频谱网格在频谱空间的增大21第4章图像变换4.2.2傅立叶变换性质4、卷积定理1D

2D22第4章图像变换4.2.2傅立叶变换性质5、相关定理互相关：f(x)

g(x)自相关：f(x)=

g(x)2-D23第4章图像变换4.2.2傅立叶变换性质5、可分离性这里：24第4章图像变换4.2.3*快速傅立叶变换

1-D：复数乘法和加法的次数都正比于N2

2-D：直接进行一个N×N的傅立叶变换需要N4次复数乘法运算和N2(N2–1)次复数加法运算25第4章图像变换4.2.3*快速傅立叶变换快速傅立叶变换FFT（FastFT）：

将复数乘法和加法的次数减少为Nlog2N2-D可分离性：26第4章图像变换4.2.3*快速傅立叶变换快速傅立叶算法（FFT)1850年，高斯给出了DFT有效算法1942年，丹尼尔森证明了一个界长为N的傅立叶变换可以由两个边界长为N/2的傅立叶变换表示1965年，库利-图基给出了快速傅立叶变换算法27第4章图像变换4.2.3*快速傅立叶变换考察一维有限长序列{x(n)}(0<=n<=N-1)的傅立叶变换：或记为Wn，Wn-128第4章图像变换4.2.3*快速傅立叶变换计算复杂性：一个频率分量需N次乘法，N-1次加法

整个变换需N2次乘法，N(N-1)次加法矩阵表示：29第4章图像变换4.2.3*快速傅立叶变换结论：系数多数相同，且具有对称性例：N=4最小无重复运算N=430第4章图像变换4.2.3*快速傅立叶变换N点的DFT转化为两个求N/2点的DFT1965年，库利-图基提出把原始的N点序列依次分解成一系列短序列，减少乘法运算31第4章图像变换4.2.3*快速傅立叶变换32第4章图像变换4.2.3*快速傅立叶变换33第4章图像变换4.2.3*快速傅立叶变换X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)-1-1-1-11111X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)x(0)x(