第一章《集合与常用逻辑用语》复习课-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第1章《集合与常用逻辑用语》复习课一、本章知识结构二、回顾与思考

本章我们学习了集合的有关概念、关系和运算，还学习了充分条件、必要条件、充要条件，全称量词、存在量词、全称量词命题与存在量词命题的否定.

这些知识在后续学习中会得到大量应用，是进一步学习的重要基础.

为了有效使用集合语言表述数学的研究对象，首先应掌握集合语言的表述方式.为此，我们先学习了集合的含义，明确了集合中元素的确定性、无序性和互异性等特征;再学习了列举法、描述法等集合的表示法，其中描述法利用了研究对象的某种特征，需要先理解研究对象的性质;类比数与数的关系，我们研究了集合之间的包含关系与相等关系，这些关系是由元素与集合的关系决定的，其中集合的相等关系很重要;类比数的运算，我们学习了集合的交、并、补运算，通过这些运算可以得到与原有集合紧密关联的集合，由此可以表示研究对象的某些关系，从中我们可以体会到，数学中的运算并不局限于数的运算，这对提升我们的数学运算素养是很有意义的.在学习中，要注意“集合的含义与表示一集合的关系一集合的运算”这个研究路径.二、回顾与思考

常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是逻辑思维的基本语言，也是数学表达和交流的工具，结合初中学过的平面几何和代数知识，我们学习了常用逻辑用语，发现初中学过的数学定义、定理、命题都可以用常用逻辑用语表达，利用常用逻辑用语表述数学内容、进行推理论证，可以大大提升表述的逻辑性和准确性，从而提升我们的逻辑推理素养.

本章的学习不仅要为后续学习做好知识技能的准备，更重要的是要为整个高中数学学习做好心理准备，初步形成适合高中数学学习的方式方法，使我们能更好地适应高中数学学习.

请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧!二、回顾与思考

1.集合中的元素具有确定性、互异性和无序性，你能结合例子说明这些特性吗?

2.你能用集合表示平面内线段AB的垂直平分线吗?结合集合的描述法谈谈你的体会.

3.用联系的观点看问题，可以使我们更深刻地理解数学知识。本章中，我们类比数与数的关系和运算研究了集合与集合的关系和运算.你认为这样的类比对发现和提出集合的问题有什么意义?你能类比数的减法运算给出集合的减法运算吗?

4.对给定的p和q，如何判定p是q的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件?你能举例说明吗?

5.如何否定含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题?你能举例说明吗?三、典型例题

一、集合的综合运算

1.集合的交、并、补运算的综合应用既是高考的重点，也是高考的热点.解决集合的混合运算时,首先弄清交、并、补的运算符号,然后弄清交、并、补的概念.求解思路是:

一般先计算括号内的部分，再计算其他部分.

2.有限集合混合运算可借助Venn图，与不等式有关的无限集的混合运算可借助数轴.三、典型例题例1

(1)(2023全国甲卷文科)设全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,4},

N={2,5}，则NU

UM=(

)

A.{2,3,5}

B.{1,3,4}C.{1,2,4,5}

D.{2,3,4,5}

(2)(2023全国乙卷理科)设集合U=R，集合M={x|x<1},

N={x|-1<x<2}，则{x|x≥2}=(

)

A.

U(MUN)

B.NU

UMC.

U(M∩N)

D.MUUN三、典型例题训练1

(1)(2023全国乙卷文科)设全集U={0,1,2,4,6,8}，集合

M={0,4,6},

N={0,1,6}，则MUUN=(

)

A.{0,2,4,6,8}

B.{0,1,4,6,8}

C.{1,2,4,6,8}

D.U

(2)(2023全国新课标一卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2},

N={x|x2-x-6≥0}，则M∩N=(

)

A.{-2,-1,0,1}

B.{0,1,2}C.{-2}

D.{2}

解题策略

1.进行集合运算时,

首先看集合能否化简,

能化简的先化简,再研究其关系并进行运算.

2.涉及与集合的补集有关的集合运算问题,

要求出补集后再求解.

3.由Venn图给出的集合运算问题,

首先将Venn图转化为集合之间的运算关系后再求解.

4.若由集合的元素性质具有明显的几何意义的两曲线构成的集合交集问题,

可以利用解方程组的方法求解,

涉及点集时,

也可以利用列举法求解.三、典型例题三、典型例题

二、含有参数的集合综合问题

1.含有参数的集合问题是集合的基本关系或基本运算的逆向考查,不仅要把握住包含关系的概念，还要熟练掌握交、并、补三大基本运算，然后借助Venn图或数轴加以分析,找到满足题意的约束条件,同时对空集是任何集合的子集的要理解全面到位.

一要注意易漏空集，二要注意求出的参数满足集合的互异性.

2.这类问题常见的分析手段就是数轴，可化抽象为直观,所涉及的方法有分类讨论法.

3.这类问题的关键是理解运算对象,掌握运算法则，选择运算方法,求得运算结果，充分体现了数学运算的数学核心素养.三、典型例题例2(1)(2023全国新课标二卷)设集合A={0,-a}，B={1,a-2,2a-2},

若AB，则a=(

)

A.2B.1C.

D.-1

(2)(2020全国Ⅰ卷)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且

A∩B={x|-2≤x≤1},则a等于()A.-4B.-2 C.2 D.4三、典型例题训练2(1)(2021宁夏高三联考)已知集合A={1,a2}(a∈R),

B={-1,0,1},若A∪B=B,则A中元素的和为()

A.0 B.1

C.2 D.-1

(2)已知集合M={x|x2-3x+2≤0},N={x|y=

},若M∩N=M,则

实数a的取值范围为()

A.a>1B.a≥1C.a<1D.a≤1

解题策略

求解含参数的集合运算问题,主要有以下方法：

(1)涉及离散的集合运算求参数,

要注意所求参数是否满足集合中元素的性质.

(2)与集合的运算性质有关的集合运算,

要注意将运算性质转化为集合之间的关系.

(3)涉及与连续的数集有关的集合运算,

要注意借助数轴转化为与参数有关的不等式(组),

此时要注意集合端点的取值.三、典型例题三、典型例题

三、充分条件与必要条件

1.充分条件、必要条件和充要条件是常用的逻辑用语.准确判断条件类型的前提是清楚的理解充分条件、必要条件的定义.一般地，"若p，则q"为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件；从定义中得知,弄清p与q的推断关系也是重中之重.

2.在判断p与q的关系时，可以结合现有的定理、公式、知识，加上基本的数学运算，借助“小推大”这样一个原则，准确找出二者的推断关系，再结合充分条件.

必要条件的定义给出条件类型.三、典型例题例3(1)(2019浙江)若a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的(

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)不等式x->0成立的一个充分不必要条件是()

A.-1<x<0或x>1

B.x<-1或0<x<1C.x>-1 D.x>1三、典型例题训练3(1)(2019上海)若a、b∈R,则“a2>b2”是“|a|>|b|”的(

)

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

(2)使a>0,

b>0成立的一个必要不充分条件是()

A.a+b>0

B.a-b>0

C.ab>1

D.

>1

解题策略

判断充分、必要条件的3种方法：

(1)定义法:

根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.

(2)集合法:

根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.

(3)数形结合法:

充要条件的判定问题中,若给出的条件与结论之间有明显的几何意义,且可以作出满足条件的几何图形,则可作出其几何图形后利用数形结合思想求解.三、典型例题

判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别,要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义.注意三、典型例题

四、全称量词和存在量词

1.掌握全称量词的种类和存在量词的种类,并能加以区分从数学遇辑的角度.用严谨的分析思维,理解带有全称量词或存在量词的语句的含义是准确解答此类问题的先决条件.

2.正确写出这两类命题的否定的同时，认识到含有一个量词的全称量词命题的否定是存在量词命题，含有一个量词的存在量词命题的否定是全称量词命题.

3.理解全称量词的语句与存在量词的语句之间互补的关系.利用这种补集的思想，可以解决“正难则反”的问题.

4.理解使用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理的方法,体会逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，学会使用集合和逻辑语言表达和交流数学问题，提升交流的逻辑性和准确性.三、典型例题例4(1)(2015全国Ⅰ卷)命题“∃n∈N，n2>2n”的否定为()

A.∀n∈N，n2>2nB.∃n∈N，n2≤2n

C.∀n∈N，n2≤2nD.∃n∈N，n2=2n

(2)命题“∀x∈R,x2+x≥0”的否定是()

A.∃x0∈R,x02+x0≤0

B.∃x0∈R,x02+x0<0

C.∀x∈R,x2+x≤0

D.∀x∈R,x2+x<0三、典型例题训练4(1)命题“∃x0∈R,1<y≤2”的否定形式是(

)A.∀x∈R,1<y≤2B.∃x0∈R，1<y≤2C.∃x0∈R，y≤1或y>2D.∀x∈R，y≤1或y>2

(2)已知p:

存在x0∈R,mx02+1≤0，q:

任意x∈R,x2+mx+