2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 2-6-2　双曲线的几何性质 学案

2．6.2双曲线的几何性质新课程标准解读核心素养1.了解双曲线的几何图形及简单几何性质直观想象2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用数学运算如图，冷却水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性．[问题]你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何性质呢？知识点双曲线的几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)性质图形范围x≤－a或x≥a，y∈eq\a\vs4\al(R)y≤－a或y≥a，x∈eq\a\vs4\al(R)对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：eq\a\vs4\al(2a)；虚轴：线段B1B2，长：eq\a\vs4\al(2b)；半实轴长：eq\a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq\a\vs4\al(b)离心率e＝eq\a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x等轴双曲线(1)实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,a2)＝1(a＞0)；(2)等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，离心率e＝eq\r(2).1．能否用a，b表示双曲线的离心率？提示：能．e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).2．离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？提示：有影响，因为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))，故当eq\f(b,a)的值越大，渐近线y＝eq\f(b,a)x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．1．已知双曲线C：y2－eq\f(x2,2)＝1，则该双曲线的实轴长为()A．1 B．2C．eq\r(2) D．2eq\r(2)解析：B双曲线C：y2－eq\f(x2,2)＝1的实半轴长a＝1，所以该双曲线的实轴长为2.故选B．2．双曲线C：eq\f(x2,m)－eq\f(y2,4)＝1的离心率为3，则m＝()A．3 B．eq\f(1,2)C．2 D．1解析：B由题意得a2＝m，b2＝4，因为C的离心率为3，所以eq\f(m＋4,m)＝9，得m＝eq\f(1,2).故选B．3．若双曲线x2－eq\f(y2,m)＝1的渐近线方程为y＝±2x，则实数m＝________．解析：双曲线x2－eq\f(y2,m)＝1焦点在x轴上，∴渐近线为y＝±eq\r(m)x，∴eq\r(m)＝2⇒m＝4.答案：4题型一双曲线的几何性质角度一由双曲线方程求解几何性质【例1】(2020·北京高考)已知双曲线C：eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________．解析双曲线C：eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，则C的右焦点的坐标为(3，0)，C的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),\r(6))x，即y＝±eq\f(1,\r(2))x，即x±eq\r(2)y＝0，则C的焦点到其渐近线的距离d＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3).答案(3，0)eq\r(3)|通性通法|由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．[注意]求性质时一定要注意焦点的位置．角度二求双曲线的离心率【例2】已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线2x－y＋3＝0平行，则该双曲线的离心率是()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．eq\r(5)解析双曲线的渐近线为y＝±eq\f(b,a)x，易知y＝eq\f(b,a)x与直线2x－y＋3＝0平行，所以eq\f(b,a)＝2⇒e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\r(5).故选D．答案D|通性通法|求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq\f(c,a)求解，若已知a，b，可利用e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))求解；(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝eq\f(c,a)，转化为关于e的n次方程求解．1．已知双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq\f(2\r(3),3)，过焦点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则|MF|＝()A．1 B．eq\f(2\r(2),3)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(2\r(3),3)解析：D依题意e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))\s\up12(2))＝eq\f(2\r(3),3)⇒b＝eq\f(2\r(3),3).焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝eq\f(bc,c)＝b，所以|MF|＝b＝eq\f(2\r(3),3).故选D．2．如果双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，因为|AO|＝|AF|，F(c，0)，所以xA＝eq\f(c,2)，因为A在右支上且不在顶点处，所以eq\f(c,2)>a，所以e＝eq\f(c,a)>2.答案：(2，＋∞)题型二由双曲线的几何性质求标准方程角度一构造方程组求双曲线的标准方程【例3】(链接教科书第156页习题A3题)求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为eq\f(5,3)；(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和对称中心四等分．解(1)设所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则2b＝8，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3)，从而b＝4，c＝eq\f(5,3)a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.(2)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a由两焦点的连线被两顶点和对称中心四等分，可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－3由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1或eq\f(y2,9)－eq\f(x2,27)＝1.|通性通法|求双曲线标准方程的步骤(1)确定焦点所在的坐标轴，从而确定双曲线标准方程的形式；(2)根据双曲线的几何性质建立关于a，b，c的方程(组)，并解出a，b的值；(3)写出双曲线的标准方程．角度二利用渐近线求双曲线的标准方程【例4】求过点(2，－2)且与eq\f(x2,2)－y2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程．解法一：当焦点在x轴上时，可知eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，故可设所求双曲线的方程为eq\f(x2,2b2)－eq\f(y2,b2)＝1，代入点(2，－2)得b2＝－2(舍去)；当焦点在y轴上时，可知eq\f(a,b)＝eq\f(\r(2),2)，故可设所求双曲线的方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,2a2)＝1，代入点(2，－2)得a2＝2.所以所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1.法二：因为所求双曲线与已知双曲线eq\f(x2,2)－y2＝1有相同的渐近线，所以可设所求双曲线的方程为eq\f(x2,2)－y2＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为eq\f(x2,2)－y2＝－2，化为标准方程为eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1.|通性通法|已知渐近线设双曲线标准方程的方法(1)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；(2)若双曲线的渐近线方程是y＝±eq\f(b,a)x，则双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；(3)若双曲线的渐近线方程为mx＋ny＝0或mx－ny＝0，则双曲线的方程可设为(mx＋ny)(mx－ny)＝λ(λ≠0)，即m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．1．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的实轴长为4，离心率为eq\r(5)，则双曲线的标准方程为()A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1 B．x2－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1 D．x2－eq\f(y2,6)＝1解析：A因为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的实轴长为4，所以a＝2，由离心率为eq\r(5)，可得eq\f(c,a)＝eq\r(5)，c＝2eq\r(5)，所以b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(20－4)＝4，则双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1.故选A．2．已知双曲线的焦点(0，2)到其渐近线的距离为1，则双曲线方程是()A．eq\f(x2,3)－y2＝1 B．eq\f(y2,3)－x2＝1C．x2－eq\f(y2,3)＝1 D．y2－eq\f(x2,3)＝1解析：B由题可知双曲线焦点在y轴上，其中一个焦点为(0，c)，一条渐近线为y＝eq\f(a,b)x⇒ax－by＝0，焦点到渐近线的距离为eq\f(|－bc|,\r(a2＋b2))＝b，∴c＝2，b＝1，a＝eq\r(3)，∴双曲线方程为eq\f(y2,3)－x2＝1.故选B．题型三双曲线性质的应用【例5】已知F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,16)＝1(a>0)的左、右焦点，点A在双曲线的右支上，点P(7，2)是平面内一定点，若对任何实数m，直线4x＋3y＋m＝0与双曲线C至多有一个公共点，则|AP|＋|AF2|的最小值为()A．2eq\r(37)－6 B．10－3eq\r(5)C．8－eq\r(37) D．2eq\r(5)－2解析：A由题意得，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(4,a)x，∵对任意实数m，直线4x＋3y＋m＝0与双曲线C至多有一个公共点，∴直线4x＋3y＋m＝0与双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(4,a)x重合或平行，∴－eq\f(4,a)＝－eq\f(4,3)，得a＝3，c＝5，∴F1为(－5，0)，∵P(7，2)，∴|PF1|＝eq\r(（7＋5）2＋4)＝2eq\r(37)，∴|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－6≥|PF1|－6＝2eq\r(37)－6，∴|AP|＋|AF2|的最小值为2eq\r(37)－6.故选A．|通性通法|1．双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系．2．与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解；(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决．(2020·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A．4 B．8C．16 D．32解析：B由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，所以S△ODE＝eq\f(1,2)×a×|DE|＝eq\f(1,2)×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B．1．(2019·北京高考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的离心率是eq\r(5)，则a＝()A．eq\r(6) B．4C．2 D．eq\f(1,2)解析：D由双曲线方程eq\f(x2,a2)－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.∴5＝e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋1,a2)＝1＋eq\f(1,a2).结合a>0，解得a＝eq\f(1,2).故选D．2．双曲线eq\f(y2,λ)－eq\f(x2,3λ)＝1(λ>0)的渐近线方程为()A．y＝±eq\r(3)x B．y＝±eq\f(1,3)xC．y＝±3x D．y＝±eq\f(\r(3),3)x解析：D在双曲线eq\f(y2,λ)－eq\f(x2,3λ)＝1(λ>0)中，a＝eq\r(λ)，b＝eq\r(3λ)，因此，该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(a,b)x＝±eq\f(\r(3),3)x.故选D．3．已知椭圆eq\f(x2,3a2)＋eq\f(y2,3b2)＝1(a>0，b>0)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同的焦点，则椭圆和双曲线的离心率e1、e2分别为()A．e1＝eq\f(\r(2),2)，e2＝eq\r(3) B．e1＝eq\f(\r(2),2)，e2＝eq\f(\r(6),2)C．e1＝eq\f(1,2)，e2＝eq\r(3) D．e1＝eq\f(1,3)，e2＝eq\f(