2022-2023学年吉林省普通高中友好学校联合体高一下册第三十六届基础年段期末联考数学试题【含答案】

2022-2023学年吉林省普通高中友好学校联合体高一下学期第三十六届基础年段期末联考数学试题一、单选题1．关于向量，，，下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】利用向量相等、向量共线的条件、向量模的定义，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】选项A，因为，只说明两向量的模长相等，但方向不一定相同，故选项A错误;选项B，当时，有，，但可以和不平行，故选项B错误;选项C，若，由向量相等的条件知:，故选项C正确;选项D，因向量不能比较大小，只有模长才能比较大小，故选项D错误.故选:C2．已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据投影向量的定义，结合向量数量积的运算律求在上的投影向量.【详解】在上的投影向量为，，所以，在上的投影向量为.故选:B3．把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出圆柱的高，由圆柱和球的体积相等即可得出球的半径，再利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】设实心圆柱的高为，因为实心圆柱的底面半径为，侧面积为，解得，则圆柱的体积为，设球的半径为，则，解得，因此，该铁球的表面积为.故选:A.4．在一些比赛中，对评委打分的处理方法一般是去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后计算余下评分的均值作为参赛者的得分．在一次有9位评委参加的赛事中，评委对一名参赛者所打的9个分数，去掉一个最高分，去掉一个最低分后，一定不变的数字特征为（

）A．平均值 B．中位数 C．众数 D．方差【答案】B【分析】根据中位数，平均数，众数和方差得定义进行判断，并举出反例.【详解】一共9个数据，从小到大排列后分别为，则为中位数，去掉最高分和最低分后，一共有7个数据，选取第4个数据，即仍然为中位数，故中位数一定不变，其余数据可能改变，不妨设9个分数为，平均数为，众数为3和5，方差为，去掉最高分10和最低分3后，平均数为，众数为5，方差为，平均值，众数和方差均发生变化.故选:B．5．若复数满足（为虚数单位），则在复平面内的共轭复数所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先求出，再求出即得解.【详解】因为，即，所以，所以，其所对应的点为，位于第一象限.故选:A.6．设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】B【分析】如果两个向量共线便不能作为基底，从而找到共线向量的一组即可，可根据共线向量的基本定理进行判断.【详解】不共线的向量可以作为基底，所以不能作为基底的便是共线向量，显然选项B中，，所以和共线.故选:B.7．如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论中错误的是（

）A．直线与为异面直线 B．平面C．平面平面 D．三棱锥的体积为【答案】D【分析】对于A:根据异面直线定义理解判断;对于B:根据平行四边形的判断和性质可证，结合线面平行的判断定理理解判断;对于C:可证平面，平面，结合面面平行的判定定理理解判断;对于D:根据锥体体积公式运算判断．【详解】根据异面直线的定义易知直线与为异面直线，A正确;∵且，则为平行四边形∴平面，平面∴平面，B正确;同理可证:平面，平面平面，C正确，D错误故选:D．8．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（

）A．恰有1名女生与恰有2名女生 B．至多有1名女生与全是男生C．至多有1名男生与全是男生 D．至少有1名女生与至多有1名男生【答案】A【分析】根据对立事件和互斥事件的概念对选项逐一分析，由此选出正确选项．【详解】“从中任选2名同学参加演讲比赛”所包含的基本情况有:两男、两女、一男一女．恰有1名女生与恰有2名女生是互斥且不对立的两个事件，故A正确;至多有1名女生与全是男生不是互斥事件，故B错误;至多有1名男生与全是男生既互斥又对立，故C错误;至少有1名女生与至多有1名男生不是互斥事件，故D错误．故选:A．二、多选题9．下列项目中需要收集的数据，可以通过试验获取的有（

）A．某种新式海水稻的亩产量B．某省人民群众对某任省长的满意度C．某品牌的新款汽车A柱（挡风玻璃和左、右前车门之间的柱）的安全性D．某地区降水量对土豆产量的影响情况【答案】AC【分析】根据试验获取数据的特点即可判断.【详解】解:A，C两项所需数据都没有现存数据可供查询，需要通过试验的方法来获取样本观测数据．B项数据宜通过调查获取，D项数据宜通过观察或查询获取．故选:AC．10．已知空间中三条不同的直线a，b，c，三个不同的平面α，β，γ，则下列说法正确的是（

）A．若，，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．，，，则【答案】AC【分析】根据空间中的线面关系逐一判断即可.【详解】对于A，由线面平行判定定理可知A正确;对于B，，，则与平行或相交，故B错误;对于C，正确;对于D，，，，三条交线平行或交于一点，如图1，正方体两两相交的三个平面ABCD，平面，平面，平面平面，平面平面，平面平面，但AB，AD，不平行，故D错误，故选:AC．11．给出下列四个命题，其中正确的命题有（

）A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场B．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为1或4”，事件为“向上的点数为奇数”，则与互为对立事件C．抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是D．随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率【答案】CD【分析】根据频率和概率的定义，以及对立事件的定义，即可判断选项.【详解】A.甲胜的概率为表示甲每次获胜的可能性都是，但不一定比赛5场，甲胜3场，故A错误;B．事件与都包含“向上的点数为1”这个事件，故不是对立事件，故B错误;C．由频率的概念可知抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是，故C正确;D．频率在一定程度上反映了事件发生的可能性，随着实验次数的改变而改变，当实验次数相当大时，频率非常接近概率，而概率是事件本身的属性，不随实验次数的多少而改变，是定值，故D正确.故选:CD12．如图，已知正方体的棱长为，则下列选项中正确的有（

）

A．异面直线与的夹角的正弦为 B．二面角的平面角的正切值为C．正方体的外接球体积为 D．三棱锥与三棱锥体积相等【答案】ACD【分析】由知就是异面直线所成的角，求解即可判断A;连接交于点O，由题意得BD⊥平面，为二面角的平面角，求解可B;正方体外接球的半径，求出外接球体积可判断C;由，及三棱锥的高与三棱锥的高相等，底面积，可判断D.【详解】对于A，∵，中，就是异面直线所成的角，，则，A正确;对于B，连接交于点O，连接，

∵平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD，又BD⊥AO，，平面，∴BD⊥平面∵平面，∴BD⊥，∴为二面角的平面角，在中，，B不正确;对于C，∵正方体外接球的半径，∴正方体的外接球体积为，C正确;对于D，∵，三棱锥的高与三棱锥的高相等，底面积，故三棱锥与三棱锥体积相等，D正确.故选:ACD.三、填空题13．已知复数是关于的方程的一个根，则.【答案】【分析】根据实系数方程虚根成对原理可得复数也是方程的一个根，利用韦达定理及复数代数形式的运算法则求出、，即可求出其模.【详解】因为复数是关于的方程的一个根，所以复数也是关于的方程的一个根，所以，所以、，所以.故答案为:14．如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的周长.

【答案】【分析】根据已知，利用斜二测画法“平行依旧垂改斜，横等纵半”、以及勾股定理计算求解.【详解】如图，根据斜二测画法，因为，，所以，，且轴，轴，是的中点，所以，在直角中，由勾股定理有:，所以，则的周长.故答案为:.

15．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则密码被成功破译的概率．【答案】【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案．【详解】解:根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，，则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率，故该密码被成功破译的概率．故答案为:．16．如图，某山的高度BC=300m，一架无人机在Q处观测到山顶C的仰角为15°，地面上A处的俯角为45°，若∠BAC=60°，则此无人机距离地面的高度PQ为m．【答案】200【分析】在直角三角形中求出，在△ACQ中利用正弦定理求出，在Rt△APQ中求PQ即可.【详解】根据题意，在RtABC中，∠BAC=60°，BC=300m，所以m，在ACQ中，∠AQC=45°+15°=60°，∠QAC=180°－45°－60°=75°，所以∠QCA=180°－∠AQC－∠QAC=45°，由正弦定理，得，即m，在RtAPQ中，PQ=AQsin45°=m．故答案为:200四、解答题17．仓廪实，天下安．习近平总书记强调:“解决好十几亿人口的吃饭问题，始终是我们党治国理政的头等大事”“中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手上”．粮食安全是国家安全的重要基础．从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株，分别测量它们的株高如下（单位:cm）:甲:29，31，30，32，28;乙:27，44，40，26，43．请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题:(1)哪种玉米苗长得高?(2)哪种玉米苗长得齐?【答案】(1)乙种玉米苗长得高(2)甲种玉米苗长得齐【分析】（1）计算甲乙的平均数，再比较大小即可;(2)计算甲乙是的方差，比较大小即可.【详解】（1），，．乙种玉米苗长得高．(2)，，．甲种玉米苗长得齐．18．已知向量，．(1)若，求的值;(2)若，求与的夹角的余弦值．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据向量平行列方程，即可求得的值;(2)根据平面向量垂直列方程，求出的值，再结合坐标运算求与的夹角的余弦值即可．【详解】（1）因为，，，所以，

即，所以或．(2)因为，所以，即所以，所以，即，

所以,，则，所以.19．某工厂为了保障安全生产，举行技能测试，甲、乙、丙3名技术工人组成一队参加技能测试，甲通过测试的概率是0.8，乙通过测试的概率为0.9，丙通过测试的概率为0.5，假定甲、乙、丙3人是否通过测试相互之间没有影响.(1)求甲、乙、丙3名工人都通过测试的概率;(2)求甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试的概率.【答案】(1);(2).【分析】（1）根据概率乘法公式进行求解即可;(2)根据概率加法公式和乘法公式进行求解即可.【详解】（1）设甲、乙、丙3人通过测试分别为事件，，，则，，.∴.(2)甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试，等价于恰有1人未通过测试，∴.20．已知锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．在下列三个条件:①，，且;②;③中任选一个，回答下列问题．(1)求角A;(2)若，求内切圆的半径．【答案】(1)(2)【分析】（1）选①利用向量平行充要条件列出关于角A的三角方程解之即可求得A的值;选②利用三角形面积公式和余弦定理列出关于角A的三角方程解之即可求得A的值;选③利用正弦定理和余弦定理列出关于角A的三角方程解之即可求得A的值;(2)利用题给条件求得的值，进而利用面积等式求得内切圆的半径．【详解】（1）选①，，且;则，即，则，又，则，即;选②由，可得则，又，则;选③由，可得，即，则，则，又，则(2)由，，可得，，联立，解之得，或，则内切圆的半径21．如图，正方形ABCD与平面BDEF交于BD，平面ABCD，平面ABCD，且.

(1)求证:平面AEC;(2)求证:平面AEC.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，由条件可证四边形BOEF为平行四边形，则，再由线面平行的判定定理即可证明;(2)根据题意，先由线面垂直的判定定理可证平面BDEF，从而可得，即可得到证明.【详解】（1）

如图，设AC与BD交于点O，则O为正方形ABCD的中心，连接OE，不妨令.则.∵四边形ABCD为正方形，∴.∵平面ABCD，且平面平面，面，∴，∴，，即四边形BOEF为平行四边形，∴.又平面AEC，平面AEC，∴平面AEC.(2)连接OF.∵，且，，∴四边形ODEF为菱形.∵平面ABCD，∴四边形ODEF为正方形，∴.又四边形ABCD为正方形，∴.∵平面ABCD，平面ABCD，∴.而，且平面BDEF，平面BDEF，∴平面BDEF.∵平面BDEF，∴.又，OE，平面AEC，∴平面AEC.22．某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位:小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．(1)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时