数值分析第六章

湘潭大学数学与计算科学学院1第六章矩阵特征值问题的解法

湘潭大学数学与计算科学学院2

物理、力学和工程技术中的许多问题在数学上都归结为矩阵特征值问题。如：力学、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等。因此,特征值问题的数值求解十分重要。湘潭大学数学与计算科学学院3给出若有使得：则称为矩阵的特征值,

为相应的特征向量。§1特征值问题及相关结果

特征值为特征方程的根。湘潭大学数学与计算科学学院4记称它为矩阵A的特征多项式.

是高次的多项式(n较大时)，它的求根是很困难的。通过求它的根来求矩阵的特征值,实际计算中并不采用。

基本思想:直接从矩阵A或者对A做一系列的相似变换后得到的具有更简单形式的矩阵入手,

设计迭代过程;最后求得A的近似特征值和相应的特征向量.数值方法湘潭大学数学与计算科学学院5

特征值的估计及扰动问题

1、特征值的估计称之为Gerschgorin圆盘（盖尔圆）.

定理1（Gerschgorin圆盘定理）

为实方阵，则在某个Gerschgorin圆盘之中.的任一特征值必落湘潭大学数学与计算科学学院6

定理2（第二圆盘定理）

设为阶实方阵，如果的个Gerschgorin圆盘与其他圆盘不相连，则恰好有的个特征值落在该个圆盘的并集之中。即特别地，孤立圆盘仅含有一个特征值.

为的一个重新排列，,则中含有的个特征值.湘潭大学数学与计算科学学院7

例如

有四个圆盘:

湘潭大学数学与计算科学学院8

实对称矩阵的极大-极小定理：

为矩阵关于向量的Rayleigh（雷利）商.

为阶实对称矩阵，则其特征值皆为实数，记做，并且存在规范正交特征向量系满足：

设为阶实矩阵，，则称定义湘潭大学数学与计算科学学院9由于，对于任意，可以取，使得：.证明:

假设为的规范正交特征向量组，则对任何向量，有

设为阶实对称矩阵，其特征值为，则定理3湘潭大学数学与计算科学学院10于是因而,特别地，若取，这时从而.同理可证湘潭大学数学与计算科学学院112、特征值的扰动问题例：

讨论：的大小.特征方程湘潭大学数学与计算科学学院12设则.若在的上三角位置，则特征值并无扰动.湘潭大学数学与计算科学学院13设矩阵具有完全特征向量系，矩阵使得则经扰动后的矩阵的一个特征值满足不等式.其中为矩阵的范数.

定理5（Bauer-Fike）

湘潭大学数学与计算科学学院14经常使用的但定理对一般仍成立.若为对称矩阵，可选为正交矩阵，这时，于是有结论：

若为实对称矩阵，而为的任何一个扰动，则对的任何一个特征值，有推论湘潭大学数学与计算科学学院15作业：P209-210题1（1）;题2;题3;湘潭大学数学与计算科学学院16§2乘幂法与反乘幂法

一、乘幂法二、乘幂法的加速三、反乘幂法湘潭大学数学与计算科学学院17

一、乘幂法的基本思想与计算格式设有完全特征向量系，即的特征向量构成线性空间的基底并设：若，则.即逐渐与平行.

这是A关于

1的近似特征向量湘潭大学数学与计算科学学院18计算格式：

（规格化）

下面证明：

引入记号：表示的绝对值最大的分量.

湘潭大学数学与计算科学学院19由于的最大分量为1，故有：

从而：

证明湘潭大学数学与计算科学学院20若，则有：

注意到湘潭大学数学与计算科学学院21即

并且

线性收敛速度.

若不满足，乘幂法将复杂些.如果,此时

湘潭大学数学与计算科学学院22又

收敛速度决定于的大小.湘潭大学数学与计算科学学院23（1）

（2）

（3）

当矩阵的特征值不满足条件时，还可能出现的其他情形有：

情况就十分复杂。

湘潭大学数学与计算科学学院24

算法：乘幂法

给定一非零的初始向量，获得n

n矩阵A的主特征值及其相应的特征向量.Input:

维数n;矩阵a[][];初始向量V0[];误差容限TOL;

迭代的最大次数Nmax.Output:

近似特征值

和规格化的近似特征向量或失败信息。湘潭大学数学与计算科学学院25

算法:乘幂法Step1Setk=1;Step2Findindexsuchthat|V0[index]|=||V0||

;Step3SetV0[]=V0[]/V0[index];/*规格化V0*/Step4While(k

Nmax)dosteps5-11

Step5V[]=AV0[];/*由Uk1

计算

Vk*/

Step6=V[index];

Step7

Findindexsuchthat|V[index]|=||V||

;

Step8IfV[index]==0thenOutput(“Ahastheeigenvalue0”;V0[]);STOP.

/*矩阵是奇异的，用户尝试新的V0*/

Step9

err=||V0V[]/V[index]||

;

V0[]=V[]/V[index];/*计算Uk

*/

Step10If(err<TOL)thenOutput

(

;V0[]);STOP./*成功*/

Step11Setk++;Step12Output(Maximumnumberofiterationsexceeded);STOP./*失败*/

湘潭大学数学与计算科学学院26例如

求方阵按模最大的特征值及相应的特征向量.

解取作为初始向量，可见与的对应分量之比为1，特征值为43.38，特征向量为.湘潭大学数学与计算科学学院271.00001.00001.00001.00001.000010.44600.44600.44630.44830.482010.18590.18590.18600.18570.2143143.8843.8843.9244.5756

43.8843.8843.9244.5756

19.5719.5719.6019.9827

8.1568.1578.1680.835712

543210乘幂法计算实例湘潭大学数学与计算科学学院28二、乘幂法的加速收敛

线性收敛速度,取决于的大小.（1）原点位移法

考虑矩阵：和特征值：和

和具有相同的特征向量.

湘潭大学数学与计算科学学院29

即若，则.若有并且则可以加速收敛速度.原点位移即是用乘幂法计算的特征值.

则现在关键是如何选取

.事实上，若求得的主特征值湘潭大学数学与计算科学学院30特别，若的特征值均为实数，且满足

应选，满足

这时取，使得：达极小值。湘潭大学数学与计算科学学院31此时：即：

湘潭大学数学与计算科学学院32（2）Rayleigh商加速

设为实对称矩阵，作Rayleigh商以下证明：

设为的规范正交特征向量系，仍设：，易知：湘潭大学数学与计算科学学院33因此：

故有：

湘潭大学数学与计算科学学院34三、反乘幂法

假设有完全特征向量系，并设：注意：，则：则：

为的主特征值.A1的主特征值A的绝对值最小的特征值湘潭大学数学与计算科学学院35计算格式：

则：

实际计算格式：

湘潭大学数学与计算科学学院36

若已知,考虑，

的特征值：

又若：

这时为的主特征值.湘潭大学数学与计算科学学院37计算格式：

有：

（1）（2）

（当时）由（1）得：

反乘幂法可求得任意特征值和相应的特征向量，收敛快，精度高.湘潭大学数学与计算科学学院38作业：P210题4（1）、题6、题7湘潭大学数学与计算科学学院39§3约化矩阵的Householder方法湘潭大学数学与计算科学学院40

定义：利用相似变换，将矩阵约化为“尽可能简单”的形式的过程，称为矩阵的约化.特征值特征向量湘潭大学数学与计算科学学院41一、Householder矩阵

二、约化矩阵为上Hessenberg矩阵三、矩阵的QR分解湘潭大学数学与计算科学学院42一、Householder矩阵

湘潭大学数学与计算科学学院43性质1

性质2

正交性：正交矩阵作用于上，仍有：即不改变向量的长度.

湘潭大学数学与计算科学学院44定理6

设，则总存在Householder矩阵，使得证明：若，则只需取正交即可.

据此应有：若，确定

使湘潭大学数学与计算科学学院45即：

应与向量平行.

因为，所以

又因为，所以可取这时即为所求的Householder矩阵.

湘潭大学数学与计算科学学院46

求(找)，使得可以设计，使得变为所需要的形状.

这里,湘潭大学数学与计算科学学院47湘潭大学数学与计算科学学院48即要求，且的后面个元素为零.

还可构造，使得：

湘潭大学数学与计算科学学院49设：作

使得：令则显然，这样构造的仍然是Householder矩阵.

湘潭大学数学与计算科学学院50一、Householder矩阵

湘潭大学数学与计算科学学院51

求(找)，使得可以设计，使得变为所需要的形状.

这里,湘潭大学数学与计算科学学院52即要求，且的后面个元素为零.

还可构造，使得：

湘潭大学数学与计算科学学院53

二、约化矩阵为上Hessenberg矩阵相似变换：其中，当

定理7：对任何矩阵，可以构造正交矩阵

使得为上Hessenberg矩阵，其中为Householder矩阵.

第1步约化的过程如下:记湘潭大学数学与计算科学学院54

构造的Householder矩阵其中为阶Householder矩阵，使得：

湘潭大学数学与计算科学学院55

构造Householder矩阵其中为阶Householder矩阵，使得：

第2步约化:湘潭大学数学与计算科学学院56则具有如下形式：约化n-2步后,Householder矩阵，使记，显然为正交矩阵.

湘潭大学数学与计算科学学院57湘潭大学数学与计算科学学院58湘潭大学数学与计算科学学院59湘潭大学数学与计算科学学院60湘潭大学数学与计算科学学院61湘潭大学数学与计算科学学院62湘潭大学数学与计算科学学院63

三、矩阵的QR分解湘潭大学数学与计算科学学院64分解：，，为正交矩阵，为上三角阵.

作法：用表示的列向量，令取Householder矩阵使得

其中，则：湘潭大学数学与计算科学学院65然后,构造Householder矩阵其中为阶Householder矩阵，使得：

湘潭大学数学与计算科学学院66则具有如下形式：构造出一串Householder矩阵，使记，显然为正交矩阵.

湘潭大学数学与计算科学学院67湘潭大学数学与计算科学学院68作业：P210题9、题10、题11湘潭大学数学与计算科学学院69§4方法

一、算法

二、带原点位移的方法

三、Hessenberg矩阵的方法

湘潭大学数学与计算科学学院70

一、方法的基本思想

首先作的分解：（对角元非负）

取：然后作的分解.

一般地：于是得矩阵序列：

湘潭大学数学与计算科学学院71可以证明：

(1)∽

(2)为一阶或二阶方阵.

于是的特征值即为的特征值.

湘潭大学数学与计算科学学院72定理10

设的个特征值具有性质：

则：证：（略）湘潭大学数学与计算科学学院73二、带原点位移的方法

湘潭大学数学与计算科学学院74湘潭大学数学与计算科学学院75湘潭大学数学与计算科学学院76湘潭大学数学与计算科学学院77

三、Hessenberg矩阵的方法

先把经相似变换约化为Hessenberg矩阵，即：

∽且有很多零元.

设为Hessenberg矩阵,作分解:

湘潭大学数学与计算科学学院78问题在于是否仍为Hessenberg矩阵？

可以证明：

若为Hessenberg矩阵，

则：仍为Hessenberg矩阵。

湘潭大学数学与计算科学学院79方法收敛的速度同于幂法.

湘潭大学数学与计算科学学院80§5实对称矩阵特征值问题的解法一、Jacobi方法二、二分法湘潭大学数学与计算科学学院81设则存在()，使得：一、Jacobi方法

理论上，实对称矩阵A正交相似于以A的特征值为对角元的对角阵。即

湘潭大学数学与计算科学学院82问题是如何构造这样的正交矩阵呢?Jacobi方法就是通过构造特殊的正交矩阵序列，通过相似变换使A的非对角线元素逐次零化来实现对角化的.1、平面旋转矩阵与相似约化先看一个简单的例子.湘潭大学数学与计算科学学院83设

是二阶实对称矩阵，其特征值为λ1，λ2.令

使得

记

容易验证BT=B,

且湘潭大学数学与计算科学学院84解之得:当时，当时，并规定湘潭大学数学与计算科学学院85

2、

经典的Jacobi方法

设A是实对称矩阵，记A1=A.Jacobi方法的基本思想是用迭代格式

Ak+1=QTkAkQk,k=1,2,…

构造一个相似矩阵序列，使｛Ak｝收敛于一个对角阵。其中

Qk为平面旋转矩阵，其旋转角θk由使Ak的绝对值最大元a(k)pq=a(k)qp化为0

或按列依次使A的非对