第3讲黑板上排列组合你舍得离开吗

第3 黑板上排列组合，你舍得离33．11（1）5块糖，另一个口袋里有49（2）乘积(abcd)(mn)(xyz计数原理，共有549种．原理，共有5·4=20种．（2）由分步计数原理得一共有4·2·324（2）5名学生从3项体育项目中选择参赛，若每一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方若=（2）每名学生都可从3项体育项目中选1项，有3种选法，故5名学生的参赛方法有35【备选】一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲乙丙3人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况有多少种？【解析】由题意知可分三类：一类是甲上7楼，乙上7楼，丙上7第一类：甲上7楼，乙和丙在2、34、5、6层楼每人有五种下法，共有52种，第二类：乙上7楼，则甲有4种结果，丙有5种结果，5·4=20种，第三类：丙上7楼，则同理有5·4=20种， （2）从5abcde中任取3个元素且包含e【解析】（1）abacadbcbdcdbacadacbdbdc（2）从排列的直观意义可以看出是从（1）中的每个排列加一个e就可以了，而e又可以随便放，所abeaceadebcebdecdebaecaedaecbedbedce，aeb，aec，aed，bec，bed，ced，bea，cea，dea，ceb，deb，deceab，eac，ead，ebc，ebd，ecd，eba，eca，eda，ecb，edb，edc （1）计算

2A5+7A A8-A （2）AmAmm （3）解方程A3=100A2 【解析】（1）A3=10·9·8720A66·5·4·3·2·1720 A4-2A2=8·7·6·5-2·8·7=1568 2A5+ 8 A8-

2·8·7·6·5·4+7·8·7·6·5

=8·7·6·5·(8+7)8·7·6·5·(24-9)

（2）解法一：∵Am-Amn=(n - =(n

n

(n+1- (n-

n+1- =

=mAm-1

-Am=mAm-1

(n-m)!(n+1- (n+1- Amn+1m个元素的排列个数，其中不含某a的有Ama的排列共有AmAmaa 种．所以AmAmm （3）原方程可化为2x(2x-1)(2x2)=100x(x-x0x1，2x-1x13x13（1）A2 （2）A4 （3）A5 （4）A8，（5）A4-4A2，（6）A1A1，8 4A7A

（8）A3A7 10105【解析】（1）A25·4205（2）A4=10·9·8·7=50405（3）A5=5·4·3·2·1=12058（4）A8=8·7·6·5·4·3·2·1=403208 （5）A4-4A2=8·7·6·5-4·8·7=1456 4（6）A1A1=4·8=324 （7）12= =5，A A10（8）A3A7=10·9·8·7·6·5·4·3·2·1=110 （1）A4 （2）A2 （3）2A3 （4）A5 （5）A4-A3 （6）5A3+4A2 2A7 4A5-（7）A1A2 （8 125 （9 10 A 9A

A5-6【解析】（1）A46·5·4·33606（2）A2=10·9=903（3）2A3=2·3·2·1=1236（4）A5=6·5·4·3·2=7206 （5）A4-A3=9·8·7·6-9·8·7=2520 （6）5A3+4A2=5·5·4·3+4·4·3=348 9（7）A1A2=9·9·8=64892A7 （8 125= =1，AA4A5-

（9）1010= =． A5- 4A424种情况，也就是24年内可以不重复，以后就会出现重复，所以“全家福”计划最多实行2445（2）5个人全排有A5=120种情况，所以“全家福”计划最多实行1205【例3（1） 从4种不同的蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？（2）一火车站有8个岔道，停放3（3 4的排列问题，所以不同的种植方法共有A34·3·224种48（2）3列火车分为12、3号，从8个岔道中任取3股岔道往上排，共有A38·7·633684比赛就可以了，所以不同的出场顺序共有A24·3=12种4 有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1（2） 在2014的中超联赛中共有15支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，共（3） 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、5从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学的一种选法，对应于从5个元素中取出3个元素的一个排列，因此，不同送法的种数是A35·4·360种．5（2）210由于任何两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，所以一场比赛相当于从15个不同元素中任取2个元素的一个排列．因此总共进行的比赛场次是A2=15·14210．（3）364文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A2=1243·1236【铺垫】用123455（2）由于数字不允许重复，故每个位置的数字全排就可以了．因此所求五位数共有A5=12055（3）由于数字不允许重复，故每个位置的数字从5个数字中选出3个全排就可以了．因此所求三位数共有A360个．5 用0，1，2，3，4，5这六个数字位置的数字都有6种选法．因此所求六位数共有5·6538880个．（2）先选首位数字，由于0不能作首位数字，因此有55因此所求六位数共有5A56005（3）先选首位数字，由于0不能作首位数字，因此有5种选法，由于数字允许重复，故其它位置的数字都有6种选法．因此所求五位数共有5·646480个．数字从剩余的5个数字中选出4个全排就可以了．5因此所求五位数共有5A46005（尖子班专用 用0，1，2，3，4五个数字（1）（3）可以组成多少个数字不允许重复且能被5其余四个位置，4个数字全排列为A4，故共有4A496个． 4方法二：考虑特殊元素0”，先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入，有A14然后将其余4个数字在剩余4个位置上全排列为A4种，故共有A1A496 23（2）考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从13中选一个填入个位有A1种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A1种填法，包含0在内还有3个数在中间三个位置上全排列，排列数为23A3，故共有A1A1A336 4（3）个位一定是0A4244（目标班专用 用0，1，2，3，4，5这六个数字（3）可以组成多少个数字不允许重复且能被5【解析】（1）分两类：个位是0时，有5·4·3·2120个，个位是2或4时，由于万位不能为0，所以万位有4种选法，千位有4种选法，百位有3种选法，十位有2种选法，故共有2·4·4·3·2=192个，所以可组成的五位偶数有120+192312个（2）由题意可知，组成没有重复数字的五位数共有600个，又∵排成的五位数中十位大于百位的和十位小于百位的数字一样多．∴共有1·600300个2（3）分两类：个位是0时，有5·4·3·2120个，个位是5时，由于万位不能为0万位有4种选法，千位有4种选法，百位有3种选法，十位有2种选法，故共有4·4·3·296个，所以组成能被5整除的五位数有12096216个【备选】用123456这六个数字组成无重复数字的四位数（2）奇数位只排奇数数字的有多少个（1）13位都排奇数的有A2A236 （2）先排奇数位有A2种方法，再排偶数位有A2A2A272（个 （2）从5abcde中任取3个元素且包含e d abacadbcbdcdade，bce，bde，cde （1）C4，C3C2C3 （2）解方程：11C3 【解析】（1）C410·9·8·7210C37·6·535C2C3C3100·99·98 =24·(x3!(x- 整理得11x2-105x500x10x5（不合题意舍去（1）C4 （2）C2 （3）C3 （4）C2 （5）C48 （6）5C3+4C2 （7）C4-2C2 （8）C1+C2+C3+C4 （9）C1C2 9 2C7 3（10）12 125

【解析（1）C4=35 （2）C2=36 （3）C3=455 （4）C2=595 （5）C48=1225 （6）5C3+4C2=74 （7）C4-2C2=14 （8）C1+C2+C3+C4=15，（9）C1C2=324 9 2C7 C3 （10）12= 125=15840 （12）107= ．

（1）C2 （2）C5 （3）C3 （4）C98 （5）C3-C2 （6）5C3+4C2 （7）C4-2C2 （8）C1+C2+C3+C4 （9）C1C2 92C7 3 4C5-（10 125 10 CC【解析（1）C2=10 （2

C5=56 （3）

C5- =455 （4）C98=4950 （5）C3-C2=84 （6）5C3+4C2=74 （7）C4-2C2=14 （8）C1+C2+C3+C4=15 （9）C1C2=324 92C7 C3 4C5-（10 125=15840 （11）107= ， （12 10=19 C5- 【铺垫】孙一夫在中国好声音的文化测试中，需从5个试题中任意选答3（1）5【解析】（1）所求不同的选题方法数，就是从5个不同元素里取出3个元素的组合数，即C3=1054（2）因为已有一道题必选，所以只要在另外4道题中选2道，不同的选题方法有C264【例6】 现有10名学而思高中数学教师，其中男教师6名，女教师4①现要从中选2【追问】假定这一期只有学而思派出去的两位男老师，台上24个女士（其中包括学而思派出去的两个（2） 甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选【解析】（1）①从10名教师中选2名去参加非诚勿扰的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C245种．②从6名男教师中选2名的选法有C2种，从4名女教师中选2名的选法有C2 6法计数原理，因此共有不同的选法C2C290622·21462（2）甲选2门有C26种选法，乙、丙各有C34种选法，由分步乘法计数原理可知，共有6·4·496 【例7】从A、B、C等12人中选出4人参加运动会（1）A（3）AB、C（4）AB、C【解析】（1）A在内，则从剩下的11人中选3人有C3=1652（2）AB中选两人，再从剩余的10人中选3人共有C1C324023 （3）C1C3+C4=3 （4）C4-C1=486 甲、乙、丙三个公司承包9项工程，甲承包3项，乙承包2项，丙承包4项，问共有多少种承96【解析】C3C2C496（2 某班要从4名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1 【解析】14至少有一名女生可以分两类，一类是只有一名女生C1C38种，一类是有两名女生C2C26种，共2 2（3 （目标班专用）从6名男生和4名女生中选出5名代表，至少有1名女生且至多有3【解析】分三类，第一类：2女3男有C2C3120种，第二类：3女2男有C3C260种，第三类4女14 44有C4C16，共有120606=1864【备选】有四个不同的红球，六个不同的白球，从中任取四个球，若取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，问取出的总分大于5分的不同取法有多少种？ 4种取法，一类是2个红球和2个白球，有C2C2种取法，所以共有C4C3C1C2C2=1154 4 4 5A5A2=120·2=24054（2）2名女生不相邻的排列可分2步完成：第一步：将4名男生排成一排，有A4种排法，4第二步：排2名女生，由于2名女生不相邻，于是可以在每2名男生之间及两端共5个位置中选出2个排2名女生，有A2种排法．根据分步计数原理，不同的排法种数是A4A224·20480． 4 （2 22②是“不相邻”6男先排，再在7个空位中排26A6A2=30240644③是“相邻”A4A4A24444④是“不相邻”问题，可以用插空法直接求解：A4A4A144445个空选4个空的时候有可能两个端点都选，这样中间就会有男生（或女生）（2）6做将六个人先依次坐好有A6种不同的坐法，再将三个空座位“插入”到坐好的六个人之间的五个“间隙6 6（1）6224（2）44人的左、右及之间的空挡插位，共有A4A24（1）3【解析】（1）把甲、乙、丙看成一个整体，有A33全排，有A5种排法，共有A3A5720 34 4（2）把除去甲、乙、丙的四个人全排，有A4种排法，因为甲、乙、丙不相邻，所以采用插空法，有A3种排法，共有A4A34 4（1）5【解析】（1）4把椅子放好，在插空A3=5·4·3=605 3（2）4把椅子放好，再从3个人中选两个人捆绑有A2种方式，然后再插空有A2A2 3【解析】（）乙与丙相邻，有A2种排法，乙丙同时在甲的左端时，有A1 端时，有A1种排法，最后将剩余的四个人全排，有A4种排法，共有A2A1A1A4=192 2 2（2）当乙与丙同时在甲的左端时，有A2A4种排法，当乙与丙同时在甲的右端时，有A2A4种排法，当乙与丙在甲的两端时，有A1A1A4A2种排法，共有A1A1A4A22A2A42 2334 334 24 424【解析】某母女两一定要相邻，且小孩两边有大人相邻，从4个大人中选一个大人有C1种选法，这两个大人之间有A2种排法，把这三个人看成一个整体，与剩下的三个大