第9章组合变形的强度计算

#第9章组合变形的强度计算9.1组合变形的概念9.1.1组合变形的实例、定义前面各章已经讨论了杆件在轴向拉伸（压缩） 、扭转和弯曲等基本变形时的强度和刚度计算。但是，在实际工程中，有些杆件的受力情况比较复杂，其变形不只是单一的基本变形，而是两种或两种以上基本变形的组合。例如，图 9-la所示的烟囱，除由自重引起的轴向压缩外，还有因水平方向的风力作用而产生的弯曲变形；图 9-lb所示的厂房柱，由于受到偏心压力的作用，使柱子产生压缩和弯曲变形；图 9-lc所示的屋架檩条，荷载不是作用在纵向对称面内，所以，檩条的弯曲不是平面弯曲，将檩条所受的荷载 q沿y轴和z轴分解后可见，檩条的变形是由两个互相垂直的平面弯曲组合而成。由两种或两种以上的基本变形组合而成的变形，称为组合变形。(b)(b)图9-19.1.2组合变形的解题方法解决组合变形强度问题的基本方法是叠加法。分析问题的基本步骤为：首先将杆件的组合

变形分解为基本变形； 然后计算杆件在每一种基本变形情况下所发生的内力和危险截面上的应力；最后再将同一点的应力叠加起来，便可得到杆件在组合变形下的应力。实践证明，只要杆件符合小变形条件，且材料在弹性范围内工作，由上述叠加法所计算的结果与实际情况基本上是符合的。9.2斜弯曲在上一章中讨论的平面弯曲是指载荷作用在梁的纵向对称平面内，这时梁的轴线在载荷作用的平面内变形成为一条平面曲线。但当外力不作用在梁的纵向对称平面内时，此时梁的挠曲线并不在载荷作用的平面内，即不属于平面弯曲，这种弯曲称为 斜弯曲。现以矩形截面悬臂梁为例来说明斜弯曲的应力和强度计算。

正应力计算设梁(图9-2)在自由端受集中力 F作用，F通过截面形心并与 y轴成：角。选取如图所示坐标系，以粱的轴线作为 x轴，以截面两对称轴分别作为 y轴和z轴。二==「=「=「.d.LuA

cX二==「=「=「.d.LuA

cX7Z1.外力分解将力F沿y轴和z轴方向分解，得Fy=Fcos:F^Fsin•:分力Fy引起梁在xy平面内的平面弯曲；分力 Fz引起梁在xz平面内的平面弯曲。2.内力分析在Fy和Fz作用下，横截面上的内力有剪力和弯矩，由于剪力引起的切应力较小，故通常只计算弯矩引起的正应力。在距固定端为x的任意横截面 m—m上由Fy引起的弯矩为 Mz=Fy(l-x)二Fcos(I-x)=Mcos:Fz引起的弯矩为 My二Fz(I-x)二Fsin(I-x)二Msin:式中M=F(I-x)表示F在m—m截面上产生的总弯矩。所以， My、Mz也可看作总弯距 M在两个形心轴 z、y上的分量。m—m上任意点m—m上任意点k的应力运用平面弯曲时的正应力计算公式，可求得横截面Mz引起的应力为IzMy引起的应力为式中，负号是表示Myz_Msin®zIyk点的应力均为压应力。根据叠加原理,kMz引起的应力为IzMy引起的应力为式中，负号是表示Myz_Msin®zIyk点的应力均为压应力。根据叠加原理,k点的弯曲正应力为；一LL「也一业「M(也y泄IzlyIzlyz)(9-1这就是斜弯曲时梁内任意一点k处正应力计算公式。式中Iz、ly分别为梁的横截面对Z、MzMz和My分别引起所求Mz、y轴的惯性矩。至于应力的正负号，可以直接观察梁的变形，看弯矩点的正应力是拉应力还是压应力来决定。拉应力为正号，压应力为负号，如上述图中由My引起的k点处的应力均为压应力，故922最大正应力和强度条件；丁'和匚"均为负号。在进行强度计算时，应先判断危险面，再计算危险截面上的最大正应力。如图9-2所示的悬臂梁，其固定端截面上的弯矩最大，是危险截面。由应力分布规律可知角点险点，其中b和c是危b点处有最大拉应力，c点处有最大压应力，且 |匚maxlIT；「maxy|。故最大正应力IzMzmaxymaxMymaxZmax Mzmax〔max|—Iz IMymax= + Wz Wy(9-2)式中：WZ—，WyymaxIy。Zmax若材料的抗拉与抗压强度相等，则强度条件为MzmaxMymaxW[G十Wy(9-3a)或写为|fx|=Mmax(旦d)」1maxImax、Wz Wy鑒(cos—竖sin)<[匚]Wz Wy(9-3b)运用上述强度条件，同样可对斜弯曲梁进行强度校核、选择截面和确定许可荷载三类问题的计算。例9-1图9-3a所示矩形截面悬臂梁长I，力F作用于截面形心处，方向如图。截面尺寸h、b为已知，求梁上的最大拉应力和最大压应力以及所在的位置。ByAd解（1）分解外力1]7k\y图9-3(2)计算内力Fy引起Mzmax=FylFz引起Mymax二Fzl在固定端处二Flcos「，上部受拉，下部受压（如图二Flsin’，后部受拉，前部受压（如图（3）计算应力显然，在固定端的 b点，有最大拉应力,相等，为匚max(b)adcy(c)9-3b)所示;9-3c）所示。c点有最大压应力,它们大小十lmaxHP-ymax|= ■怛=竽6Fl丁 =俎(2^•込)Wz Wy bh2 b2h bhh bWy9.3偏心压缩（拉伸）作用在杆件上的外力，当其作用线与杆的轴线平行但不重合时，杆件就受到 偏心压缩（或拉伸）。如图9-4所示的柱子受到上部结构传来的荷载 P，其作用线与柱轴线间的距离为 e,就使柱子产生偏心压缩的变形。荷载 P称为偏心力。e称为偏心距。单向偏心压缩（拉伸）时的应力和强度条件图9-4a所示的柱子，当偏心力 P通过截面某一根对称轴时，称为 单向偏心压缩。1.荷载简化和内力计算首先将偏心力P向截面形心平移，得到一个通过形心的轴向压力 P和一个力偶矩m=Pe的力偶（图9-4b）。可见，偏心压缩实际上是轴向压缩和平面弯曲的组合变形。运用截面法可求得任意横截面 m-n上的内力。显然，在这种承受偏心压缩的杆件中，各个横截面的内力是相同的。由图 9-4c可知，横截面m-n上的内力为轴力 N=P和弯矩Mz=Pe。(a)(c)图9-42.应力计算和强度条件偏心受压杆截面上任意一点图9-5K处的应力，是轴向压缩的正应力匚N(a)(c)图9-42.应力计算和强度条件偏心受压杆截面上任意一点图9-5K处的应力，是轴向压缩的正应力匚N和平面弯曲的正应力Mz的叠加（图9-5）。由轴力N引起的的叠加（图9-5）。由轴力N引起的K点的正应力为(a)由弯矩Mz引起的K点的正应力为二MzK点的总应力为zyz(b)PMzPMzY(9-4)应用式（9-4）计算正应力时， P、Mz、y都可用绝对值代入，式中弯曲正应力的正负号可由观察变形情况来判定。当 K点处于弯曲变形的受压区时取负号；处于受拉区时取正号。显然，最大正应力（最小正应力）发生在截面的边线m-m和n-n上，其值分别为_+PM显然，最大正应力（最小正应力）发生在截面的边线m-m和n-n上，其值分别为_+PMzmax=maxAWZ(9-5)Jmin二minPMZA Wz由于截面上各点都处于单向拉压状态，所以强度条件为JmaxAWZ(9-6)minPJmaxAWZ(9-6)minPMzA Wzw[二■]3.讨论现在来讨论矩形截面偏心受压柱截面上的最大正应力和偏心距e之间的关系。(c)(d)(b)hB A一J现在来讨论矩形截面偏心受压柱截面上的最大正应力和偏心距e之间的关系。(c)(d)(b)hB A一J图9-6如图9-6a所示的偏心受压柱，其A=如图9-6a所示的偏心受压柱，其A=bh,Mz—PeWz二bhl6。将各值代入式（9-5）-E(—空)bhh-E(—空)bhh6边缘A-D上的正应力Cmax的正负号，由上式中的 （1-6e+）符号确定，可能出现三种情况：0当e:：h6时，二max为压应力 ，截面全部受压，如图 9-6c所示。当h6时，匚max为零。截面上应力分布如图 10-6d所示，整个截面受压，而边缘A-D上的正应力恰好为零。当eh6时，二max为拉应力。截面部分受拉，部分受压。应力分布如图 9-6e所示。可见，截面上应力分布情况随偏心距 e而变化，与偏心力P的大小无关。当偏心距eh6时，截面上出现受拉区；当偏心距 ewh6时，截面各点全部受压。例9-2图9-7a所示矩形截面牛腿柱， 柱顶有屋架传来的压力 P1=100kN，牛腿上承受吊车梁传来的压力P2=30kN,P2与柱的轴线偏心距 e=0.2m，已知柱截面的宽b=180mm,试求：

①截面高h为多大时才不致使截面上产生拉应力②在所选h尺寸时，柱截面中的最大压应力为多少解（1）将P2向轴线简化（见图9-7b），得轴向压力 P=P①截面高h为多大时才不致使截面上产生拉应力②在所选h尺寸时，柱截面中的最大压应力为多少解（1）将P2向轴线简化（见图9-7b），得轴向压力 P=P1P2=130kN附加力偶矩 m=P2e=300.2kNm=6kNm（2） 用截面法求横截面上的内力（见图 9-7c）轴力 N=—P=-130kN弯矩 Mz=6kNm（3） 要使截面上不产生拉应力，应满足条件：maxAWzT（C）13010 w0180h 180h2h>277mm 取h=280mm（4）最大压应力发生在截面的右边缘上各点处，其值为-minMzWz31301018028066102180280)MPa=(-2.58-2.55)MPa--5.13MPa例9-3 挡土墙的横截面形状和尺寸如图 9-8a所示。C点为其形心，土对墙的侧压力每米为P=30kN，作用在离底面h/3处，方向水平向左如图9-8b所示。挡土墙材料的密度■=-2.3103kgm3。试画出基础m-n面上的应力分布图。解（1）内力计算挡土墙是等截面的，通常取 1m长度来计算。每Im长度墙的自重为b1=1m1r0.78mC*bb1=1m1r0.78mC*b2=2m.im「n7T(a)mh图9-8y(c)1 3G (b1b2)h:?g (12)32.310 9.8N=101.43kN2NMz 101.43I03NMz 101.43I03_(一2106f一一A一Wzn-n边上的应力为3NMz/101.4310(2如06画出基础面的正应力分布图，如图9-8c所示。土侧压力为 P=30kN用截面法求得m-n面的内力(见图9-8b)为N二G=101.43kN弯矩 MZ=Ph-Ge二[30--101.43(^0.78)]kNm=7.69kNm3(2)应力计算及画应力分布图362m-n面的面积 A=①110=210mm1抗弯截面系数103b； 103(2103)2mm3=667106mm3抗弯截面系数6基础面上m-m边的应力为7.69106)MPa=(-0.0507-0.0115)MPa二-0.0622MPa6671066769X06)MPa=(-0.05070.0115)MPa=-0.0392MPa667106称为双向偏心压缩双向偏心压缩（拉伸）时的应力和强度条件称为双向偏心压缩当偏心压力P的作用线与柱轴线平行， 但不通过截面任一根对称轴时,如图9-9a所示。以下讨论双向偏心压缩（拉伸）时应力和强度条件的计算步骤。1•荷载简化和内力计算设压力P至z轴的偏心距为ey,至y轴的偏心距为$（如图9-9a所示）。先将压力P平移到z轴上，产生附加力偶矩 mz-Pey，再将力P从z轴上平移到截面的形心，又产生附加力偶矩my=Pez。偏心力经过两次平移后，得到轴向压力 P和两个力偶mz、my（图9-9b），可见，双向偏心压缩就是轴向压缩和两个相互垂直的平面弯曲的组合。y(b)y(b)图9-9由截面法可求得任一横截面 ABCD上的内力为N=P,Mz=Pey,My=Pez2.应力计算和强度度条件由轴力N引起K点的压应横截面ABCD上任一点K（坐标y由轴力N引起K点的压应由弯矩Mz引起K点的应力为Mzy由弯矩My引起K点的应力为MyZ+CJ所以，K点的正应力为+CJMzMzyMyZ计算时，上式中 P、Mz、My、y、z都可用绝对值代入，式中第二项和第三项前的正负号由观察弯曲变形的情况来判定，如图 9-10所示。由图9-10可见，最小正应力 Cmin发生在C点，最大正应力 -max发生在A点，其值分别为-maxWz(9-7)WyCmin(a)(b)-maxWz(9-7)WyCmin(a)(b)(c)图9-10危险点A、C都处于单向应力状态，所以强度条件为

maxA WzWy(9-8)minWz—wmaxA WzWy(9-8)minWz—w［匚-］Wy解由观察判断，切槽处杆的横截面是危险截面，如图 9-11b所示。对于该截面，F力是偏心拉力。现将F力向该截面的形心C简化，得到截面上的轴力和弯矩为Fn=FTOkNMz=F0.05=100.05kNm=0.5kNm5cmA点为危险点，该点处的最大拉应力为_ Fn丄Mz+My0.55cmA点为危险点，该点处的最大拉应力为_ Fn丄Mz+My0.510501002A Wz310101005060.2510、亍)MPa100502F=10kN10cm=14MPa截面核心re=—4yi2iyd1e2=14MPa截面核心re=—4yi2iyd1e2d2图9-11截面核心前面曾经指出，当偏心压力 P的偏心距e小于某一值时，可使杆横截面上的正应力全部为压应力而不出现拉应力。土建工程中大量使用的砖、石、混凝土材料，其抗拉能力比抗压能力小得多，这类材料制成的杆件在偏心压力作用下， 截面中最好不出现拉应力，以避免拉裂。因此,要求偏心压力的作用点至截面形心的距离不可太大。 当荷载作用在截面形心周围的一个区域内时，杆件整个横截面上只产生压应力而不出现拉应力，这个荷载作用的区域就称为常见的矩形、圆形、工字形截面核心如图 9-12所示。图9-121组合变形构件的强度计算步骤1）将外力向轴线分解或简化，构成几种基本变形。2） 计算各种基本变形时的内力，判断危险截面位置。3） 分析各基本变形的内力在危险截面上的应力，判断危险点的位置。4）用叠加法建立危险点的强度条件。斜弯曲的强度条件偏心压缩的强度条件单向偏心压缩双向偏心压缩若材料的抗拉压强度相等，则zmaxymaxmaxminmaxmaxmin9-1如图9-13所示各杆的AB、合变形?(a)WzWyAW斜弯曲的强度条件偏心压缩的强度条件单向偏心压缩双向偏心压缩若材料的抗拉压强度相等，则zmaxymaxmaxminmaxmaxmin9-1如图9-13所示各杆的AB、合变形?(a)WzWyAWzA—W：WL］WzWyw［二A Wz WyBC、CD各杆段横截面上有哪些内力？各杆段产生什么组(b)图9-139-2图9-139-2图9-14所示各杆的变形是由哪些基本变形组合成的?A、B、C、D各点处正应力的正负号。并判定在各基本变形情况下图9-14（C图9-14（C）9-3图9-15所示三根短柱受压力 P作用。试判断在三种情况下，各短柱中的最大压应力的大小和位置。(a) (b) (c)的大小和位置。(a) (b) (c)图9-15习题9-1如图图9-15习题9-1如图9-16所示为一N°.25a工字钢截面