高考数学(深化复习-命题热点提分)专题13-空间中的平行与垂直-理

PAGEPAGE13专题13空间中的平行与垂直1．已知直线a与平面α，β，α∥β，a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线解析：设直线a和点B所确定的平面为γ，则α∩γ＝a，记β∩γ＝b，∵α∥β，∴a∥b，故存在唯一一条直线b与a平行．答案：D2．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：易知①正确；②错误，l与α的具体关系不能确定；③错误，以墙角为例即可说明；④正确，可以以三棱柱为例证明，故选B.答案：B3．如图所示，O为正方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()A．A1D B．AA1C．A1D1 D．A1C1解析：由题意知，A1C1⊥平面DD1B1B，又OB1⊂面DD1B1B，所以A1C1⊥OB1，故选D.答案：D4．设m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.上述命题中，所有真命题的序号是()A．①④ B．②③C．①③ D．②④解析：由线面垂直的性质定理知①④正确；平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，故②错；平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能相交或异面，故③错．选A.答案：A5.如图，在三棱锥P­ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是()A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC6．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是()A．垂直 B．相交不垂直C．平行 D．重合解析：如图，分别取另三条棱的中点A，B，C将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.答案：C7．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是()A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥mC．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥nD．若l⊥m，l⊥n，则n∥m8．以下命题中真命题的个数是()①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，则a平行于平面α内的无数条直线．A．1 B．2 C．3 D．4解析①中l可以在平面α内；②中直线a可以与平面α相交，故错误；③a可以在平面α内；④正确．答案A9．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝eq\f(\r(2),2)，则下列结论中错误的是()A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．直线AB与平面BEF所成的角为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值10．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a∥c，,b∥c))⇒a∥b；②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a∥γ，,b∥γ))⇒a∥b；③eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α∥c，,β∥c))⇒α∥β；④eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α∥γ，,β∥γ))⇒α∥β；⑤eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α∥c，,a∥c))⇒α∥a；⑥eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α∥γ，,a∥γ))⇒a∥α.其中正确的命题是()A．①②③ B．①④⑤ C．①④ D．①③④解析①④正确．②错，a、b可能相交或异面．③错，α与β可能相交．⑤⑥错，a可能在α内．答案C11．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，命题p：若m∥n，m∥β，则n∥β，命题q：“m⊥β，n⊥β，n⊥α”是“m⊥α”成立的充分条件，则下列结论正确的是()A．p∧(綈q)是真命题 B．(綈p)∨q是真命题C．(綈p)∧q是假命题 D．p∨q是假命题解析对于命题p，若m∥n，m∥β，则n可能在平面β内，故命题p为假命题；对于命题q，若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则有m⊥α，故命题q是真命题，故綈p为真命题，綈q为假命题，故(綈p)∨q是真命题，选B.答案B12.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点，现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，其中正确的是()A．①② B．①②③ C．① D．②③13.如图所示，b，c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在线段AB上(C，D，E均异于A，B)，则△ACD是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形解析∵a⊥b，b⊥c，a∩c＝B，∴b⊥面ABC，∴AD⊥AC，故△ACD为直角三角形．答案B14．在正三棱锥P­ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．解析如图，∵P­ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC.又∵DE∥AC，DE⊂平面PDE，AC⊄平面PDE，∴AC∥平面PDE.故①②正确．答案①②15．给出命题：①在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行；②设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；④在三棱锥S­ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在平面ABC内的射影是△ABC的垂心；⑤a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一条平行．其中，正确的命题是________(只填序号)．解析①错误，垂直于同一个平面的两个平面也可能相交；③错误，“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件；⑤错误，只有当异面直线a，b垂直时才可以作出满足要求的平面；易知②④正确．答案②④16.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，则AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，故①③正确．答案①③17．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒Ρ∈b.解析a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，a与b确定唯一平面γ，但γ经过直线a与点P，由公理2，∴γ与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．答案③④18．如图所示，ABCD­A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝eq\f(a,3)，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.解析如图所示，连接AC，易知MN∥平面ABCD，∴MN∥PQ.又∵MN∥AC，∴PQ∥AC.又∵AP＝eq\f(a,3)，∴eq\f(PD,AD)＝eq\f(DQ,CD)＝eq\f(PQ,AC)＝eq\f(2,3)，∴PQ＝eq\f(2,3)AC＝eq\f(2\r(2),3)a.答案eq\f(2\r(2),3)a19．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱DD1、C1D1的中点．(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角θ的正弦值；(2)证明：B1F∥平面A1BE.(1)解设G是AA1的中点，连接GE，BG.∵E为DD1的中点，ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴GE∥AD，又∵AD⊥平面ABB1A1，∴GE⊥平面ABB1A1，且斜线BE在平面ABB1A1内的射影为BG，∴Rt△BEG中的∠EBG是直线BE和平面ABB1A1所成角，即∠EBG＝θ.设正方体的棱长为a，∴GE＝a，BG＝eq\f(\r(5),2)a，BE＝eq\r(BG2＋GE2)＝eq\f(3,2)a，∴直线BE和平面ABB1A1所成角θ的正弦值为：sinθ＝eq\f(GE,BE)＝eq\f(2,3).20．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2，E是棱CD上的一点．(1)求证：AD1⊥平面A1B1D；(2)求证：B1E⊥AD1；(3)若E是棱CD的中点，在棱AA1上是否存在点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由．(1)证明在长方体ABCD­A1B1C1D1中，因为A1B1⊥平面A1D1DA，AD1⊂平面A1D1DA，所以A1B1⊥AD1.在矩形A1D1DA中，因为AA1＝AD＝2，所以AD1⊥A1D.A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1B1D.(2)证明因为E∈CD，所以B1E⊂平面A1B1CD，由(1)可知，AD1⊥平面A1B1CD，所以B1E⊥AD1.(3)解当点P是棱AA1的中点时，有DP∥平面B1AE.理由如下：在AB1上取中点M，连接PM，ME.因为P是棱AA1的中点，M是AB1的中点，所以PM∥A1B1，且PM＝eq\f(1,2)A1B1.又DE∥A1B1，且DE＝eq\f(1,2)A1B1，所以PM∥DE，且PM＝DE，所以四边形PMED是平行四边形，所以DP∥ME.又DP⊄平面B1AE，ME⊂平面B1AE，所以DP∥平面B1AE.此时，AP＝eq\f(1,2)A1A＝1.21．如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC＝eq\r(6).(1)证明：平面ABEF⊥平面BCDE；(2)求三棱锥E－ABC的体积．(1)证明正六边形ABCDEF中，连接AC、BE，交点为G，易知AC⊥BE，且AG＝CG＝eq\r(3)，在多面体中，由AC＝eq\r(6)，知AG2＋CG2＝AC2，故AG⊥GC，又GC∩BE＝G，GC，BE⊂平面BCDE，故AG⊥平面BCDE,又AG⊂平面ABEF，所以平面ABEF⊥平面BCDE.(2)解连接AE、CE，则AG为三棱锥A－BCE的高，GC为△BCE的高．在正六边形ABCDEF中，BE＝2AF＝4，故S△BCE＝eq\f(1,2)×4×eq\r(3)＝2eq\r(3)，所以VE－ABC＝VA－BCE＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×eq\r(3)＝2.22．如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠BAD＝60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．(1)求证：AD⊥平面PBE；(2)若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ；(3)若VP­BCDE＝2VQ­ABCD，试求eq\f(CP,CQ)的值．解析：(1)证明：由E是AD的中点，PA＝PD可得AD⊥PE.又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，所以AB＝BD，又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE，又PE∩BE＝E，所以AD⊥平面PBE.(2)证明：连接AC(图略)，交BD于点O，连接OQ.因为O是AC的中点，Q是PC的中点，所以OQ∥PA，又PA⊄平面BDQ，OQ⊂平面BDQ，所以PA∥平面BDQ.(3)设四棱锥P­BCDE，Q­ABCD的高分别为h1，h2.所以VP­BCDE＝eq\f(1,3)S四边形BCDEh1，VQ­ABCD＝eq\f(1,3)S四边形ABCDh2.又因为VP­BCDE＝2VQ­ABCD，且S四边形BCDE＝eq\f(3,4)S四边形ABCD，所以eq\f(CP,CQ)＝eq\f(h