等式性质与不等式性质

等式性质与不等式性质【考点梳理】考点一：比较大小的方法依据如果a>b⇔a－b>0.如果a＝b⇔a－b＝0.如果a<b⇔a－b<0.结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小考点二：重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．考点三：等式的基本性质(1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc.(5)如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).考点四:不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bcc的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正【题型归纳】题型一：已知条件判断所给不等式的大小1．（2023秋·安徽滁州·高一校考期末）如果，则正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】举例说明ABD是错误的，用作差法证明C是正确的．【详解】取，则，故A错误；取，则，故B错误；由于，所以，则，故C正确；取，则，，故D错误.故选：C．2．（2023·全国·高一专题练习）下列说法不正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】A【分析】对于A，举例判断，对于B，利用不等式的性质判断，对于CD，作差判断【详解】对于A，若，则，，此时，所以A错误，对于B，由可得，则，所以由不等式的性质可得，所以B正确，对于C，因为，所以，所以，所以，所以C正确，对于D，因为，所以，所以，所以，所以D正确，故选：A3．（2023·全国·高一专题练习）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则．【答案】C【分析】ABD选项，由做差法可判断大小；C选项，分三种情况讨论即可判断大小.【详解】A选项，，故A错误；B选项，，因不清楚的正负情况，故B错误；C选项，当时，；当时，，当时，，综上，故C正确；D选项，，故D错误.故选：C题型二：不等式的性质比较数的大小4．（2023秋·全国·高一专题练习）已知，则必有（

）A． B．且C． D．且【答案】D【分析】由，得，，再根据作差法变形两两判断即可.【详解】因为，所以，所以，所以，，所以，符号不能确定，所以的大小不能确定所以且.故选：D.5．（2023·全国·高一专题练习）对于实数a，b，c，下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【分析】由特殊值判断选项A,B,C错误，由不等式的基本性质判断D正确.【详解】对于A，由，取，，，则不成立，故A错误；对于B，由，取，，则不成立，故B错误；对于C，当时，不成立，故C错误；对于D，因为，所以，故，则，故D正确．故选：D．6．（2022秋·江苏徐州·高一统考期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用．后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（

）A．若且，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则【答案】D【分析】特殊值法判断A、B、C，由不等式性质判断D.【详解】A：时，，错；B：时，，错；C：当时，，错；D：，则，故，对.故选：D题型三：作差法或作商法比较不等式的大小7．（2023·全国·高一专题练习）设互不相等的三个实数满足，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，用a表示b，再利用作差法比较大小作答.【详解】由，得，于是，即，而，且三个实数互不相等，因此，所以的大小关系是.故选：D8．（2023·全国·高一专题练习）设，，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小.【详解】，，则.故，当且仅当时，取等号，故选：D【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题.9．（2022秋·湖北十堰·高一校考期中）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】作差法比较出，，从而得到.【详解】，故，，故，综上：故选：A题型四：利用不等式求取值范围10．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】用含的代数式表示，结合已知利用不等式的性质即可求得答案.【详解】设，所以，解得，所以，又，所以，故A，C，D错误，故选：B.11．（2022秋·广东佛山·高一统考期中）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由不等式的性质求出的范围，两式相加即可得出答案.【详解】因为，，所以，，所以.故选：D.12．（2023·全国·高一专题练习）已知实数，满足，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，再结合同向不等式的可加性求解即可.【详解】因为，由，所以，由，所以，所以，即的取值范围是.故选：B.题型五：由不等式性质证明不等式13．（2023秋·高一）（1）已知，求证：；（2）若.求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】由不等式的性质证明即可.【详解】（1），，，而，即，.（2），，即，，即.14．（2022秋·内蒙古通辽·高一校考期中）（1）设，，.试比较P与Q的大小.（2）已知，，.求证：；【答案】（1），（2）证明见解析【分析】（1）由作差法证明即可；（2）由不等式的性质证明即可.【详解】（1）解：∵，∴，∴．（2），，，又，.15．（2023秋·高一）（1）若，证明：.（2）已知，，，，试证明a，b，c至少有一个不小于1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）利用分析法进行证明；（2）利用反证法进行证明，先假设a，b，c均小于1，推出，矛盾，假设不成立，从而得到证明.【详解】（1）要证，只需证，只需证,即，即证.因为，所以，即成立，所以原不等式成立．（2）假设a，b，c均小于1，即，则有，而，这与矛盾，假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1.【双基达标】一、单选题16．（2023春·江西吉安·高一校联考期中）如果，那么下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.【详解】解：因为，所以，故A错误；，故B错误；，故C错误；，故D正确.故选：D.17．（2023·全国·高一课堂例题）下列命题中为真命题的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用不等式的性质和反例可知ABC错误；采用作差法或不等式性质可证得D正确.【详解】对于A，若，则，，即，A错误；对于B，当，时，，此时无法得到，B错误；对于C，当时，，C错误；对于D，方法一：当时，，，D正确；方法二：当时，；当时，；当时，；综上所述：当时，，D正确.故选：D.18．（2023春·黑龙江大庆·高一大庆中学校考开学考试）已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由不等式的性质求出，3a的范围，两式相加即可得出答案．【详解】因为，，所以，，所以．故选：D.19．（2023·全国·高一专题练习）下列命题是真命题的为（）A．若，则B．若，则或C．若，则D．若，则【答案】C【分析】ABD可举出反例，C可用不等式的性质证明.【详解】对于A，若，则，故A是假命题．对于B，当时，满足，但或不成立，故B是假命题．对于C，因为，根据不等式的性质得，故C是真命题．对于D，当时，与没有意义，故D是假命题．故选：C20．（2023·全国·高一专题练习）已知，则对于下列不等式，正确命题的个数为（

）（1）；（2）；（3）；（4）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据不等式的性质以及举反例即可求解.【详解】对（1），若，则，（1）错误；对（2），若，则，（2）错误；对（3），因为，所以，且，所以，（3）正确；对（4），若，则，（4）错误；故选：A.21．（2023·全国·高一专题练习）实数、满足，.(1)求实数、的取值范围；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】由不等式的性质求解．【详解】（1）由，，则，所以，所以，即，即实数的取值范围为．因为，由，所以，所以，所以，∴，即实数的取值范围为．（2）设，则，解得，∴，∵，．∴，，∴，即的取值范围为．22．（2023·江苏·高一专题练习）比较大小：(1)和；(2)和，其中．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用做差法比较大小即可；（2）利用做差法比较大小即可．【详解】（1）因为，所以；（2）因为，所以，所以.【高分突破】一、单选题23．（2022秋·广东东莞·高一校联考期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用和符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下列命题正确的是（）A．若且，则B．若，则C．若，则D．若且，则【答案】B【分析】利用不等式性质，结合特殊值法，即可判断选项的正误.【详解】A中，有，错误；B中，时，，因为，所以，，所以，所以，故B正确；C中，时，，，则，故C错误；D中，由题设，当时，，错误；故选：B.24．（2023秋·吉林·高一统考期末）用和分别表示民用住宅的窗户面积和地板面积（一般来讲，窗户面积比地板面积小）．显然，比值越大，住宅的采光条件越好．当窗户面积和地板面积同时增加时，住宅的采光条件会得到改善（单位：）．现将这一事实表示为不等式，以下正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先列出窗户面积和地板面积同时增加前后的比值，通过作差法即可求解.【详解】当，，时最开始窗户面积和地板面积的比值为，窗户面积和地板面积同时增加后的比值为，则，所以当时，，此时住宅的采光条件会得到改善.故选：A.25．（2023秋·广东广州·高一统考期末）下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，则【答案】C【分析】利用特值法和作差法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A，若，，则，故A错误；对选项B，若，，，，满足，，则，故B错误.对选项C，.因为，，所以，，则，即，故C正确.对选项D，因为，所以，故.所以，所以，故D错误.故选：C26．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）若，且a≠b，则中的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据可判断，再根据基本不等式即可判断出四个式子的大小关系.【详解】因为，所以，根据基本不等式可知，当且仅当时等号成立，因为，所以；同理，综上所述，上述四个式子中最大值为.故选：A27．（2023·全国·高一专题练习）对于实数a，b，c下列说法中错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则【答案】B【分析】由不等式的性质，逐个分析选项的结论.【详解】当时，有，由得，A选项说法正确；当时，，则有，故B选项说法错误；当，有，则，即，C选项说法正确；当，时，有，由则，D选项说法正确；故选：B.二、多选题28．（2023秋·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）下列四个命题中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AD【分析】举反例排除BC，利用不等式的性质判断AD，从而得解.【详解】对于A，因为，所以，则，故A正确；对于B，取，则满足，但，故B错误；对于C，取，则满足，但，故C错误；对于D，因为，所以，则，所以，故D正确.故选：AD.29．（2023·全国·高一课堂例题）已知，且，则下列命题中是真命题的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】CD【分析】举反例可判断AB，利用不等式的性质可判断CD.【详解】取，，，满足选项A，B中的前提条件．对于选项A，有，故A是假命题；对于选项B，有，故B是假命题；对于选项C，∵，∴，由不等式的性质4知C是真命题；对于选项D，，同乘以，得，又，∴，故D是真命题．故选：CD.30．（2023春·河北衡水·高一校考开学考试）设为正实数，则下列命题错误的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BCD【分析】对已知等式分解因式，可判断选项A；举反例可判断选项B和C；根据作差法以及的范围，可判断选项D．【详解】对于A，若，则，又，所以，所以，故，正确；对于B，，取，则，错误；对于C，，取，则，错误；对于D，，，错误；故选：BCD．31．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中统考期末）已知为实数，则（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BCD【分析】根据不等式性质判断，可用作差法证明不等式成立．【详解】当时，，A错误；，则，即，B正确；，则，，∴，∴，C正确；，则，，，∴，即，D正确．故选：BCD．32．（2023·全国·高一专题练习）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（

）A．的取值范围为 B．的取值范围是C．的取值范围是 D．的取值范围是【答案】ABC【分析】利用不等式的性质判断AB；求得，然后利用不等式的性质判断CD；【详解】由，两式相加得，即，故A正确；由，得，又，两式相加得，即，故B正确；设，所以，解得，则，因为，所以，又因为，所以，所以，即，故C正确，D错误.故选：ABC.33．（2023秋·云南大理·高一统考期末）设为正实数，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AB【分析】根据不等式性质判断A选项,化简等式可判断B选项,特殊值法可判断C,D选项.【详解】对于A，若，则，即，，，即，A命题正确；对于B，若，可得，,即得，B命题正确；对于C，若，可取，，则，C命题不正确；对于D，若，可取，，则，D命题不正确，故选：AB．三、填空题34．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的取值范围是．【答案】【分析】利用不等式的性质即可求出的取值范围.【详解】由题意，在中，∵，∴，解得：，故答案为：.35．（2023·全国·高一专题练习）已知，设，，则（填“>”“<”或“=”）．【答案】>【分析】利用作差法可得答案.【详解】.因则.，又，.则，即.故答案为：36．（2023·全国·高一专题练习）若,,则的取值范围是.【答案】【分析】根据绝对值定义求范围,再根据不等式性质求出结果.【详解】因为,所以,又,所以,所以.故答案为:.37．（2023·全国·高一假期作业）对于实数a、b、c，有下列命题：①若a＞b，则；②若a＞b，则；③若a＜b＜0，则；④若a＜b＜0，则；⑤若a＜b＜0，则；⑥若，则ac＜bd.其中，假命题的序号为.（写出所有满足要求的命题序号）【答案】①②④⑤⑥【分析】根据不等式的性质，结合作差法，逐一验证，可得答案.【详解】对于①，当时，，故①错误；对于②，当时，不等式无意义，当时，由，可得，故②错误；对于③，由，则，，即，故③正确；对于④，由，根据不等式的倒数