2022年广东省惠州市平海中学高三数学文期末试题含解析

2022年广东省惠州市平海中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（）A．0.5 B．﹣0.5 C．1.5 D．﹣1.5参考答案：B【考点】奇函数．【分析】题目中条件：“f（x+2）=﹣f（x），”可得f（x+4）=f（x），故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5．【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴可得f（x+4）=f（x），∵f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5．故选B．2.给定函数①，②，③，④，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（

）（A）①②

（B）②③

（C）③④

（D）①④参考答案：B3.已知a>0，b>0，且，则函数

与函数的图象可能是

（

）参考答案：D因为对数函数的定义域为，所以排除A,C.因为，所以，即函数与的单调性相反。所以选D.4.已知命题p：?x∈R，log2（3x+1）≤0，则（）A．p是假命题；￢p：?x∈R，log2（3x+1）≤0B．p是假命题；￢p：?x∈R，log2（3x+1）＞0C．p是真命题；￢p：?x∈R，log2（3x+1）≤0D．p是真命题；￢p：?x∈R，log2（3x+1）＞0参考答案：B考点：命题的否定；特称命题．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．解答：解：∵3x＞0，∴3x+1＞1，则log2（3x+1）＞0，∴p是假命题；￢p：?x∈R，log2（3x+1）＞0．故选：B．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5.若a>0,b>0,且函数在x=1处有极值，则ab的最大值（）A.2

B.3

C.6

D.9参考答案：D略6.过双曲线的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P．且满足，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0参考答案：C【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】通过双曲线的特点知原点O为两焦点的中点，利用中位线的性质，求出PF′的长度及判断出PF′垂直于PF，通过勾股定理得到a，c的关系，再求出a，b的关系，进而求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：=﹣+，可得2=+，即E为PF的中点，如图，记右焦点为F′，则O为FF′的中点，∵E为PF的中点，∴OE为△FF′P的中位线，∴PF′=2OE=a，∵E为切点，∴OE⊥PF，∴PF′⊥PF，∵点P在双曲线上，∴PF﹣PF′=2a，∴PF=PF′+2a=3a，在Rt△PFF′中，有：PF2+PF′2=FF′2，∴9a2+a2=4c2，即10a2=4c2，即有b2=c2﹣a2=a2﹣a2=a2，则渐近线方程为y=±x，故选：C．【点评】本题主要考查双曲线的简单性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求渐近线方程关键就是求三参数a，b的关系，注意解题方法的积累，属于中档题．7.若关于的方程

（）的所有根为

，（），关于的方程的所有根为，（），则的值为（

）A．1

B．

C．

D．参考答案：A8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为.

.

.6

.4参考答案：C如图所示，原几何体为三棱锥，其中，，故最长的棱的长度为，选C9.已知，，，则实数的大小关系为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B10.函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有

（

）①；

②；③；

④

（A）①②③④

（B）①②④

（C）①③④

（D）①③参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数y=的定义域为

．参考答案：[0，1）∪（1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】求该函数的定义域，直接让x≥0，且x﹣1≠0，求解x即可．【解答】解：由x≥0，x﹣1≠0得：x≥0，且x≠1．所以原函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞）．故答案为：[0，1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了函数定义域的求法，解答的关键是让根式内部的代数式大于等于0，分母不能为0，属基础题．12.已知，若，则______．参考答案：【分析】利用同角三角函数的基本关系得出，结合二倍角的余弦公式得出，即可求出的值.【详解】因为，所以是第二象限角；因为，所以故，故．故答案为：【点睛】本题主要考查了利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式化简求值，属于中档题.13.如图所示，程序框图的输出结果S=

。参考答案：略14.已知函数，则的极大值为

.参考答案：15.若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为．已知数列满足，有以下结论：①若，则；②若，则可以取3个不同的值；③若，则是周期为3的数列；④存在且，数列是周期数列．其中正确结论的序号是（写出所有正确命题的序号）．参考答案：①②③16.如果对于函数的定义域内任意两个自变量的值，当时，都有且存在两个不相等的自变量，使得，则称为定义域上的不严格的增函数．已知函数的定义域、值域分别为，，，且为定义域上的不严格的增函数，那么这样的函数共有________个．参考答案：略17.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为______。【解析】根据平面向量的数量积公式，由图可知，，因此，，而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为，所以长度为1．参考答案：根据平面向量的数量积公式，由图可知，，因此，，而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为，所以长度为1．【答案】1，1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知矩形OABC，O(0,0),A(-2,0),B(-2,-1),C(0,-1)，将矩形OABC绕点O旋转到矩形，再将矩形沿x正方向作切变变换，得到平行四边，若点，求矩形OABC变为平行四边形的线性变换对应的矩阵．参考答案：由将矩形OABC绕点O旋转到矩形所以(2,0),(2,1),(0,1)，由(0,1)通过切变变换得则，设线性变换对应的矩阵为，则，，解得，所求的矩阵为．-------10分19.如图，已知AD是△ABC的外角的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC.（1）求证：；（2）若AB是△ABC外接圆的直径，，，求AD的长.参考答案：（1）见解析；（2）【分析】（1）由已知得，，从而，由此能证明；（2）由已知得，从而，，由此能求出．【详解】证明：（1）因为平分，所以．因为四边形内接于圆，所以，因为，所以，所以．（2）因为是圆的直径，所以，又，所以，，因为，所以，所以.【点睛】本题考查两线段长相等的证明，考查线段的求法，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用，是中档题．20.设椭圆，定义椭圆的“相关圆”方程为，若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.（Ⅰ）求椭圆的方程和“相关圆”的方程；（Ⅱ）过“相关圆”上任意一点的直线与椭圆交于两点.为坐标原点，若,证明原点到直线的距离是定值，并求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）因为抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，所以，又因为椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以，故椭圆的方程为，“相关圆”的方程为

4分（Ⅱ）设联立方程组得，即

6分==由条件得

8分所以原点到直线的距离是由得为定值.

10分将代入中，由解得或

13分21.（本小题满分12分）等差数列的前n项和为，满足：（I）求；（II）数列满足，数列的前项和为，求证.参考答案：22.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB//CD，，AB=AD=2CD=2，△ADP为等边三角形．(1)当PB长为多少时，平面PAD⊥平面ABCD?并说明理由；(2)若二面角大小为150°，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．参考答案：（1）当时，平面平面，详见解析（2）【分析】(1)根据平面和平面垂直可得线面垂直，从而可得,利用直角三角形知识可得的长；(2)构建空间直角坐标系，利用法向量求解直线AB与平面PBC所成角的正弦值.【详解】解：（1）当时，平面平面，

证明如下：在中，因为，所以，又，，所以平面，

又平面，所以平面平面；

（2）分别取线段的中点，连接，因为为等边三角形，为的中点，所以，为的中点，所以,又，所以