近世代数期末试题

近世代数期末试题近世代数试卷一、判断题(下列命题您认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分)1、设A与B都就是非空集合,那么{}BAxxBA∈∈=?x且。()2、设A、B、D都就是非空集合,则BA?到D的每个映射都叫作二元运算。()3、只要f就是A到A的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f。()4、如果循环群()aG=中生成元a的阶就是无限的,则G与整数加群同构。()5、如果群G的子群H就是循环群,那么G也就是循环群。()6、群G的子群H就是不变子群的充要条件为HHggHhGg?∈?∈?-1;,。()7、如果环R的阶2≥,那么R的单位元01≠。()8、若环R满足左消去律,那么R必定没有右零因子。()9、)(xF中满足条件0)(=αp的多项式叫做元α在域F上的极小多项式。()10、若域E的特征就是无限大,那么E含有一个与()pZ同构的子域,这里Z就是整数环,()p就是由素数p生成的主理想。()二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分)1、设nAAA,,,21Λ与D都就是非空集合,而f就是nAAA???Λ21到D的一个映射,那么()①集合DAAAn,,,,21Λ中两两都不相同;②nAAA,,,21Λ的次序不能调换;③nAAA???Λ21中不同的元对应的象必不相同;④一个元()naaa,,,21Λ的象可以不唯一。2、指出下列那些运算就是二元运算()①在整数集Z上,abbaba+=ο;②在有理数集Q上,abba=ο;③在正实数集+R上,babaln=ο;④在集合{}0≥∈nZn上,baba-=ο。3、设ο就是整数集Z上的二元运算,其中{}baba,max=ο(即取a与b中的最大者),那么ο在Z中()①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。4、设()ο,G为群,其中G就是实数集,而乘法kbaba++=οο:,这里k为G中固定的常数。那么群()ο,G中的单位元e与元x的逆元分别就是()①0与x-;②1与0;③k与kx2-;④k-与)2(kx+-。5、设cba,,与x都就是群G中的元素且xacacxbxcax==-,12,那么=x()①11--abc;②11--ac;③11--bca;④cab1-。6、设H就是群G的子群,且G有左陪集分类{}cHbHaHH,,,。如果6,那么G的阶=G()①6;②24;③10;④12。7、设21:GGf→就是一个群同态映射,那么下列错误的命题就是()①f的同态核就是1G的不变子群;②2G的不变子群的逆象就是1G的不变子群;③1G的子群的象就是2G的子群;④1G的不变子群的象就是2G的不变子群。8、设21:RRf→就是环同态满射,baf=)(,那么下列错误的结论为()①若a就是零元,则b就是零元;②若a就是单位元,则b就是单位元;③若a不就是零因子,则b不就是零因子;④若2R就是不交换的,则1R不交换。9、下列正确的命题就是()①欧氏环一定就是唯一分解环;②主理想环必就是欧氏环;③唯一分解环必就是主理想环;④唯一分解环必就是欧氏环。10、若I就是域F的有限扩域,E就是I的有限扩域,那么()①()()()FIIEIE:::=;②()()()IEFIEF:::=;③()()()IFFEFI:::=;④()()()FIIEFE:::=。三、填空题(将正确的内容填在各题干预备的横线上,内容填错或未填者,该空无分。每空1分,共10分)1、设集合{}1,0,1-=A;{}2,1=B,则有=?AB。2、如果f就是A与A间的一一映射,a就是A的一个元,则()[]=-aff1。3、设集合A有一个分类,其中iA与jA就是A的两个类,如果jiAA≠,那么=jiAAI。4、设群G中元素a的阶为m,如果ean=,那么m与n存在整除关系为。5、凯莱定理说:任一个子群都同一个同构。6、给出一个5-循环置换)31425(=π,那么=-1π。7、若I就是有单位元的环R的由a生成的主理想,那么I中的元素可以表达为。8、若R就是一个有单位元的交换环,I就是R的一个理想,那么IR就是一个域当且仅当I就是。9、整环I的一个元p叫做一个素元,如果。10、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域,如果。四、改错题(请在下列命题中您认为错误的地方划线,并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分,更正错误2分。每小题3分,共15分)1、如果一个集合A的代数运算ο同时适合消去律与分配律,那么在naaaοΛοο21里,元的次序可以掉换。2、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合G作成一个群,如果满足G对于乘法封闭;结合律成立、交换律成立。3、设I与S就是环R的理想且RSI??,如果I就是R的最大理想,那么0≠S。4、唯一分解环I的两个元a与b不一定会有最大公因子,若d与'd都就是a与b的最大公因子,那么必有'dd=。5、α叫做域F的一个代数元,如果存在F的都不等于零的元naaa,,,10Λ使得010=+++nnaaaααΛ。五、计算题(共15分,每小题分标在小题后)1、给出下列四个四元置换=??????=??????=??????=34124321,43124321,34214321,432143214321ππππ组成的群G,试写出G的乘法表,并且求出G的单位元及14131211,,,----ππππ与G的所有子群。2、设[][][][][][]{}5,4,3,2,1