近世代数期末考试试卷

近世代数模拟试题一一、单项选择题1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的(C)A、满射而非单射 B、单射而非满射C、一一映射 D、既非单射也非满射3、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解乘法来说是(B)A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数(C)A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的(D)A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。4、偶数环是整数环的子环。5、一个集合A的若干个变换的乘法作成的群叫做A的一个变换群。6、每一个有限群都有与一个置换群同构。7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a的逆元是。8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么---------。9、一个除环的中心是一个-域-----。三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。为奇置换，为偶置换3、设集合，定义中运算“”为a+b=(a+b)(modm),则(，)是不是群，为什么？答：(，)不是群，因为中有两个不同的单位元素0和m。四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、设是群。证明：如果对任意的，有，则是交换群。2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。证明：在F里有意义，作F的子集显然是R的一个商域证毕。近世代数模拟试题二一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集(C)是子群。A、B、C、D、2、下面的代数系统(G，*)中，(D)不是群A、G为整数集合，*为加法B、G为偶数集合，*为加法C、G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？(B)A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4、设、、是三个置换，其中=(12)(23)(13)，=(24)(14)，=(1324)，则=(B)A、B、C、D、二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个---变换群-------同构。2、一个有单位元的无零因子---交换环--称为整环。3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于---25---。4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与---Zn模n剩余类加群----同构。7、叫做域的一个代数元，如果存在的—不都等于零的元---使得。8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为----右单位元-----。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、----两个消去律成立-----。10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----交换环------。三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(12)}，写出H的所有陪集。解：H的3个右陪集为：{I,(12)}，{(123)，(13)}，{(132)，(23)}H的3个左陪集为：{I,(12)}，{(123)，(23)}，{(132)，(13)}2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，(E，)是一个代数系统，问(E，)是不是群，为什么？答：(E，)不是群，因为(E，)中无单位元3、a=493,b=391,求(a,b),[a,b]和p,q。(a,b)=17,[a,b]=a×b/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以p=4,q=-5.近世代数模拟试题三一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、6阶有限群的任何子群一定不是(C)。A、2阶B、3阶C、4阶D、6阶2、设G是群，G有(C)个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个B、5个C、6个D、7个5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有(A)A、(1)，(123)，(132)逆元B、(12)，(13)，(23)

C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。3、区间[1，2]上的运算的单位元是---2----。4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=————24——————。5、环Z8的零因子有---------------------。6、一个子群H的右、左陪集的个数—相等--------。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的----商群-----。8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的----特征-------。三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？8种2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？因为S1，S2是A的子环，故a-b,ab∈S1和a-b,ab∈S2，因而a-b,ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、设有置换，。1．求和；2．确定置换和的奇偶性。偶置换四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a，由理想的定义，因而R的任意元这就是说=R，证毕。近世代数模拟试题四一、单项选择题4.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有(B)个。A.2 B.4C.6 D.85.下列集合关于所给的运算不作成环的是(D)A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m，n∈Z，mn＝0D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m，n∈Z，mn＝1二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.设“～”是集合A的一个关系，如果“～”满足反身性、对称性、传递性，则称“～”是A的一个等价关系。9.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于a∈G，则元素a的阶只可能是____5,15,1,3,_______。10.在3次对称群S3中，设H＝{(1)，(123)，(132)}是S3的一个不变子群，则商群G/H中的元素(12)H＝____{(12),(23),(14)}_______。12.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是___素数____13.设Z［x］是整系数多项式环，(x)是由多项式x生成的主理想，则(x)＝_____________。15.有理数域Q上的代数元+在Q上的极小多项式是。三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)16.设Z为整数加群，Zm为以m为模的剩余类加群，是Z到Zm的一个映射，其中 ：k→［k］，k∈Z，验证：是Z到Zm的一个同态满射，并求的同态核Ker。17.求以6为模的剩余类环Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子环，并说明这些子环都是Z6的理想。18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。每一个欧几里得环都是主理想整环，每一个主理想整环都是唯一分解环。整环是主理想整环，但是不是唯一分解环。四、证明题20.设已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I是R的一个子环，但不是理想。近世代数试卷一、判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分)2、设、、都是非空集合，则到的每个映射都叫作二元运算。(F)3、只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。(T)4、如果循环群中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构。(T)5、如果群的子群是循环群，那么也是循环群。(F)6、群的子群是不变子群的充要条件为。(T)7、如果环的阶，那么的单位元。(T)8、若环满足左消去律，那么必定没有右零因子。(T)9、中满足条件的多项式叫做元在域上的极小多项式。(F)10、若域的特征是无限大，那么含有一个与同构的子域，这里是整数环，是由素数生成的主理想。(F)定理：若域F的特征是p，则F包含一个与模p剩余类环Zp同构的子域；若域F的特征是0，则F包含一个与有理数域同构的子域。二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分)1、设和都是非空集合，而是到的一个映射，那么(2)①集合中两两都不相同；②的次序不能调换；③中不同的元对应的象必不相同；④一个元的象可以不唯一。2、指出下列那些运算是二元运算(4)①在整数集上，；②在有理数集上，；③在正实数集上，；④在集合上，。3、设是整数集上的二元运算，其中(即取与中的最大者)，那么在中(3)①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。4、设为群，其中是实数集，而乘法，这里为中固定的常数。那么群中的单位元和元的逆元分别是(4)①0和；②1和0；③和；④和。5、设和都是群中的元素且，那么(2)1①；②；③；④。7、设是一个群同态映射，那么下列错误的命题是(4)①的同态核是的不变子群；②的不变子群的逆象是的不变子群；③的子群的象是的子群；④的不变子群的象是的不变子群。群的子群是不变子群的充要条件为。(8、设是环同态满射，，那么下列错误的结论为(4)3①若是零元，则是零元；②若是单位元，则是单位元；③若不是零因子，则不是零因子；④若是不交换的，则不交换。知识点：同态一定会将零元映成零元，但单位元不一定映成单位元；若是满同态映射，单位元会映成单位元；若是无零因子环，单位元会映成单位元；9、下列正确的命题是(4)①欧氏环一定是唯一分解环；②主理想环必是欧氏环；③唯一分解环必是主理想环；④唯一分解环必是欧氏环。三、填空题(将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分)5、凯莱定理说：任一个子群都与一个变换群同构。7、若是有单位元的环的由生成的主理想，那么中的元素可以表达为。8、若是一个有单位元的交换环，是的一个理想，那么是一个域当且仅当是一个最大理想。若是一个有单位元的交换环，是的一个理想，那么是一个整环当且仅当是一个素理想。9、整环的一个元叫做一个素元，如果p既不是零元，也不是单位，且p只有平凡因子。10、若域的一个扩域叫做的一个代数扩域，如果E的每一个元都是F上的一个代数元。四、改错题(请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分)1、如果一个集合的代数运算同时适合消去律和分配律（结合律与交换律），那么在里，元的次序可以掉换。2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、交换律（消去律）成立。3、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么。（S=I或S=R）4、唯一分解环的两个元和不一定会有最大公因子（一定有最大公因子），若和都是和的最大公因子，那么必有（d和d′只能差一个单位因子）；5、叫做域的一个代数元，如果存在的都不等于零（不都等于零的元）的元使得。六、证明题(每小题10分，共40分)1、设和是一个群的两个元且，又设的阶，的阶，并且，证明：的阶。2、设为实数集，，令，将的所有这样的变换构成一个集合，试证明：对于变换普通的乘法，作成一个群。4、设是有限可交换的环且含有单位元1，证明：中的非零元不是可逆元就是零因子。基础测验题填空题(42分)1、设集合与分别有代数运算与，且，则当满足结合律时，也满足结合律；当满足交换律时，也满足交换律。4、设是任意一个循环群，若，则与整数加群同构；若，则与模n剩余类加群同构；5、设G=为6阶循环群，则G的生成元有；子群有；6、n次对称群的阶是n!;置换的阶是4；8、设，则；9、设H是有限群G的一个子群，则|G|=|