2022-2023学年湖南省永州市第五中学高二数学理期末试卷含解析

2022-2023学年湖南省永州市第五中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是()A.恰有1件一等品 B.至少有一件一等品C.至多有一件一等品 D.都不是一等品参考答案：C【分析】将3件一等品编号为1,2,3，2件二等品的编号为4,5，列举出从中任取2件的所有基本事件的总数，分别计算选项的概率，即可得到答案．【详解】将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P1＝，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率为P2＝，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－＝.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中明确古典概型的基本概念，以及古典的概型及概率的计算公式，合理作出计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．2.以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则、的值分别为（

）A.2,5

B.5,5

C.5,8

D.8,8

参考答案：C略3.已知方程，它们所表示的曲线可能是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B4.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（

）A．假设三内角都不大于60度

B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度

D．假设三内角至多有两个大于60度参考答案：B5.已知，若，使得成立，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C，使得成立，则，∵，，∴6.数列{an}是等差数列，若＜﹣1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取的最小正值时，n=（）A．11 B．17 C．19 D．21参考答案：C【考点】等差数列的性质．【分析】根据题意判断出d＜0、a10＞0＞a11、a10+a11＜0，利用前n项和公式和性质判断出S20＜0、S19＞0，再利用数列的单调性判断出当Sn取的最小正值时n的值．【解答】解：由题意知，Sn有最大值，所以d＜0，因为＜﹣1，所以a10＞0＞a11，且a10+a11＜0，所以S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0，则S19=19a10＞0，又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12所以S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0，S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21又S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9（a10+a11）＜0，所以S19为最小正值，故选：C．7.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为（）A．

B．C． D．参考答案：C【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】根据新定义直接判断即可【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则9117用算筹可表示为，故选：C8.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（

） A．α∥βB．α与β相交C．α与β重合D.α∥β或α与β相交参考答案：D9.圆柱形容器内盛有高度为的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如右图所示），则球的半径是A.2

B.3

C.4

D.参考答案：A略10.不等式对于一切实数都成立，则

（）

A

B

C

D

或参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，点P是面A1B1C1D1内一动点，则|PA|+|PC|的最小值为．参考答案：5【考点】棱柱的结构特征．【分析】设A关于平面A1B1C1D1的对称点为A′，则|PA|+|PC|的最小值为A″C，利用勾股定理即可求解．【解答】解：设A关于平面A1B1C1D1的对称点为A′，则|PA|+|PC|的最小值为A″C==5，故答案为5．12.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=2×2=4，高h=4，故体积V==，故答案为：13.如果实数x、y满足(x－2)2＋y2=3，则的最大值

。参考答案：略14.观察分析下表中的数据：

多面体

面数（）顶点数（)

棱数（)

三棱锥

5

6

9

五棱锥

6

6

10

立方体

6

8

12

猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.参考答案：F+VE=215.等差数列前9项的和等于前4项的和，若，，则

参考答案：1016.已知数列{an}的前n项和为Sn，首项且，若对恒成立，则实数的取值范围是__________．参考答案：【分析】先由得到数列是以为首项，公比为2的等比数列，求出其通项公式，再得到，根据题意，再得到对恒成立，分别讨论为奇数和为偶数两种情况，即可求出结果.【详解】因为，所以，∴数列是以为首项，公比为2的等比数列，∴，.因此.所以对恒成立，可化为对恒成立.当为奇数时，，所以，即；当为偶数时，，解得.综上，实数的取值范围是.故答案为【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等比数列的求和公式即可，属于常考题型.17.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=，b=2，B=45°，则角A=

．参考答案：30°【考点】余弦定理．【分析】根据正弦定理，求出sinA的值，再根据大边对大角以及特殊角的三角函数值，即可求出A的值．【解答】解：△ABC中，a=，b=2，B=45°，由正弦定理得，=，即=，解得sinA=，又a＜b，∴A＜B，∴A=30°．故答案为：30°．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图所示，M、N分别为A1B、B1C1的中点.(1)求证：MN//平面ACC1A1；(2)求证：MN^平面A1BC.参考答案：证明：由意可得：这个几何体是直三棱柱，且AC^BC，AC=BC=CC1

（1）由直三棱柱的性质可得：AA1^A1B1四边形ABCD为矩形，则M为AB1的中点，N为B1C1的中点，在DAB1C中，由中位线性质可得：MN//AC1，又AC1ì平面ACC1A1，MN?平面ACC1A1\MN//平面ACC1A1（2）因为：CC1^平面ABC，BCì平面ABC，\CC1^BC，又BC^AC，AC?CC1=C，所以，BC^平面ACC1A1，AC1ì平面ACC1A1\BC^AC1，在正方形ACC1A1中，AC1^A1C，BC?A1C=C，\AC1^平面A1BC，又AC1//MN，\MN^平面A1BC略19.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）证明：；（2）当cosC取得最小值时，求的值.参考答案：（1）∵，∴即∵，∴.（2）当且仅当，即时，取等号.∵，∴20.已知为等差数列，且，数列的前项和为，且。（1）求数列的通项公式；（2）若，为数列的前项和，求证：。参考答案：略21.（2016春?伊宁市校级期末）求与双曲线﹣=1有相同的焦点，且过点M（2，1）的椭圆的方程．参考答案：【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题；方程思想；分析法；直线与圆．【分析】求出双曲线的焦点即为椭圆的焦点，设出椭圆方程，代入点M的坐标，得到方程及a，b，c的关系，解方程，即可得答案．【解答】解：双曲线﹣=1的焦点为：（﹣，0），（，0），则椭圆的焦点为：（﹣，0），（，0），且c=，设椭圆方程为（a＞b＞0），则，解得：a2=8，b2=2．则所求椭圆方程为：．【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查解方程的运算能力，属于基础题．22.已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．参考答案：

考点：函数的单调性与导数的关系；导数的几何意义．专题：计算题．分析：（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f′（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为﹣1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值．（2）求出f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间，据题意知[m，m+1]?（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝），列出端点的大小，求出m的范围．解答：解：（1）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b①式…（