通原第3章随机信号分析

2023/10/91第二章随机信号分析随机信号分析、确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析的主要内容：随机过程的一般表述平稳随机过程高斯过程窄带随机过程正弦波加窄带高斯过程平稳随机过程通过线性系统2023/10/92引言信号：一般是时间的函数确定信号：可以用确定的时间函数表示的信号周期信号和非周期信号能量信号和功率信号随机信号：具有随机性，可用统计规律来描述通信过程中要发送的信号是不可预知的，因此具有随机性，是随机信号，但信号的统计特性具有规律性。噪声和干扰是随机的信号；无线信道特性（可理解为系统传递函数）也是随机变化的。2023/10/93随机过程：与时间有关的函数，但任一时刻的取值不确定(随机变量)随机过程可以看成对应不同随机试验的时间过程的集合。如n(或无数）台性能完全的接收机输出的噪声波形，每个波形都是一个确定函数，为一个样本函数，各波形又各不相同。也可看成一个接收机，不同实验输出不同的样本函数。随机过程是所有样本函数的集合。2023/10/941随机过程的一般表述(1)样本函数：随机过程的具体实现样本空间：所有实现构成的全体所有样本函数及其统计特性构成了随机过程2023/10/95随机过程是随机变量概念的延伸，即随机变量引入时间变量，成为随机过程。每一个时刻，对应每个样本函数的取值{xi(t),i=1,2,…,n}是一个随机变量。固定时刻t1的随机变量计为ξ(t1)。随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。2023/10/961随机过程的一般表述(2)分布函数与概率密度随机过程ξ(t)在任意时刻t1是一个随机变量ξ(t1)，其统计特性可以用分布函数与概率密度函数来表示一维分布函数一维概率密度2023/10/97n维分布概率函数n维概率密度函数一维分布函数或概率密度函数仅描述了随机过程在任一瞬间的统计特性，进而可以对任意固定的n个时刻进行概率分布与概率密度的描述。显然n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。当然实际上是根据需要来确定维数的。2023/10/98随机过程的n维分布函数或概率密度函数往往不容易或不需要得到，常常用数字特征部分地表述随机过程的主要特征。对于通信系统而言，随机过程的数字特征就可以满足需要，也会有明确定的物理含义，还可以测量。如通信信号的方差就是交流功率。2023/10/991随机过程的一般表述(3)随机过程ξ(t)的数字特征ξ(t)的均值或数学期望t的引入说明随机变量、均值是时间的函数注意：ξ(t)的均值是时间的确定函数，它表示随机过程的n个（也可是无数个）样本函数曲线的摆动中心。方差注：均值和方差只与一维概率密度函数有关，它们反映了随机过程各时刻的特征。2023/10/910自协方差函数相关函数表征随机过程的内在联系，即随机过程任意两个时刻上的随机变量之间的关联程度。自相关函数注：若随机过程的均值为0，则自相关函数和自协方差函数完全相同；即使均值不为0，二者描述的随机过程的特征也是一样的。常用自相关函数。2023/10/911相关系数2023/10/9121随机过程的一般表述(4)两随机过程的联合分布函数和概率密度(n+m)

维联合分布函数(n+m)维联合概率密度2023/10/9131随机过程的一般表述(5)两随机过程的数字特征互相关函数互协方差函数2023/10/9142平稳随机过程(1)狭义平稳(严平稳)一维分布与时间无关，二维分布只与时间间隔(t1-t2)有关数字特征广义平稳(宽平稳)2023/10/9152平稳随机过程(2)各态历经性(遍历性、埃尔哥德性)：随机过程的任一实现，经历了随机过程的所有可能状态

随机过程的数字特征，可以由其任一实现(样本函数)的数字特征来代表

遍历过程必定是平稳过程，反之不然。遍历时间平均代替统计平均思考：为什么要研究随机平稳随机过程2023/10/9162平稳随机过程(3)实平稳随机过程的自相关函数偶函数：有界性：周期性：统计平均功率：直流功率：交流功率：

=E[

(t)]E[

(t+τ)]=E2[

(t)]2023/10/9172平稳随机过程(4)平稳随机过程的功率谱密度(统计平均)单边功率谱密度(实平稳随机过程)2023/10/9182平稳随机过程(5)其中τ=t2-t1

ξ(t)数学期望是常数，自相关函数只与时间间隔有关，所以ξ(t)是广义平稳过程。2023/10/919其功率谱密度为：ξ(t)的时间平均值如下：结论：随机相位余弦波是遍历的。2023/10/9203高斯过程(1)定义：任意n维概率密度是正态分布式式中ak是均值，σ2是方差，│B│是规一化协方差矩阵的行列式。概率密度函数仅取决于各随机变量的均值、方差和两两之间的归一化协方差函数(相关系数)2023/10/921

b12…b1nb211…b2nbn1bn2…1…………

|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余子式，bjk为归一化协方差函数，见教材(3.3－3)。3高斯过程(2)2023/10/922重要性质：高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和规一化协方差，因此只需研究它的数字特征就可以了。广义平稳

狭义平稳各随机变量之间互不相关

统计独立高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。即线性系统的输入是高斯过程，则系统输出的也是高斯过程。2023/10/9233高斯过程(3)一维正态分布关于a对称：f(a+x)=f(a-x)在点a处取极大值:2023/10/9243高斯过程(4)概率积分函数:标准化正态分布:（a=0,σ=1)概率分布函数:2023/10/925误差函数与互补误差函数分别表示高斯密度函数曲线尾部下的面积误差函数:

Q函数:互补误差函数:Q函数也是一种表示高斯曲线尾部下的面积的函数。2023/10/926高斯过程的性质：1.数字特征决定过程2.若广义平稳高斯——》严平稳3.若不同时刻取值不相关——》简化4.高斯过程经线性变换——》高斯过程（3.4节）2023/10/9274窄带随机过程(1)

1.窄带随机过程定义:

随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出，即是窄带过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度Δf<<fc，且fc远离零频率的系统。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。如用示波器观察一个实现的波形，则如图2—4所示，它是一个频率近似为fc，包络和相位随机缓变的正弦波。2023/10/9284窄带随机过程(2)注意慢变化的包络与窄带信号的关系2023/10/929

因此，窄带随机过程ξ(t)可用下式表示:

ξ(t)=aξ(t)cos［ωct+φξ(t)］,aξ(t)≥0

等价式为ξ(t)=ξc(t)cosωct-ξs(t)sinωct

其中：ξc(t)=aξ(t)cosφξ(t)

ξs(t)=aξ(t)sinφξ(t)

式中,aξ(t)及φξ(t)分别是ξ(t)的随机包络和随机相位，ξc(t)及ξs(t)分别称为ξ(t)的同相分量和正交分量。4窄带随机过程(3)用同相分量和正交分量表示信号的形式很有用2023/10/930同相分量和正交分量也是随机过程，显然它们的变化相对于载波cosωct的变化要缓慢得多。由前4式看出，ξ(t)的统计特性可由aξ(t)，φξ(t)或ξc(t),ξs(t)的统计特性确定。反之，如果已知ξ(t)的统计特性则可确定aξ(t),φξ(t)以及ξc(t)，ξs(t)的统计特性。4窄带随机过程(4)2023/10/931

2.同相和正交分量的统计特性设窄带过程ξ(t)是平稳高斯窄带过程，且均值为零，方差为。下面将证明它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是零均值的平稳高斯过程，而且与ξ(t)具有相同的方差。

1)数学期望

求数学期望:

E[ξ(t)]=E[ξc(t)]cosωct-E[ξs(t)]sinωct

∵ξ(t)平稳、均值为0，∴对任意t都有E[ξ(t)]=0可得：4窄带随机过程(5)2023/10/932

E［ξc(t)］=0;E［ξs(t)］=02)自相关函数

Rξ(t,t+τ)=E［ξ(t)ξ(t+τ)］

=E{[ξc(t)cosωct-ξs(t)sinωct]

·[ξc(t+τ)cosωc(t+τ)-ξs(t+τ)sinωc(t+τ)]}

=Rc(t,t+τ)cosωctcosωc(t+τ)-Rcs(t,t+τ)cosωctsinωc(t+τ)-Rsc(t,t+τ)sinωctcosωc(t+τ)+Rs(t,t+τ)sinωctsinωc(t+τ)(3.5－7)4窄带随机过程(6)2023/10/933式中

Rc(t,t+τ)=E［ξc(t)ξc(t+τ)］

Rcs(t,t+τ)=E［ξc(t)ξs(t+τ)］

Rsc(t,t+τ)=E［ξs(t)ξc(t+τ)］

Rs(t,t+τ)=E［ξs(t)ξs(t+τ)］

因为ξ(t)是平稳的，故有Rξ(t,t+τ)=R(τ)

即(3.5－7)式与时间t无关，仅与τ有关。所以令t=0，(3.5－7)式还成立，变为：4窄带随机过程(7)2023/10/934

Rξ(τ)=Rc(t,t+τ)cosωcτ-Rcs(t,t+τ)sinωcτ

这时，显然应有

Rc(t,t+τ)=Rc(τ)Rcs(t,t+τ)=Rcs(τ)所以，上式变为

Rξ(τ)=Rc(τ)cosωcτ-Rcs(τ)sinωcτ

再取使cosωct=0的t值，令t=π/2ωc同理有

Rξ(τ)=Rs(τ)cosωcτ+Rsc(τ)sinωcτ)4窄带随机过程(8)2023/10/935其中应有

Rs(t,t+τ)=Rs(τ)Rsc(t,t+τ)=Rsc(τ)

由以上的数学期望和自相关函数分析可知，如果窄带过程ξ(t)是平稳的，则ξc(t)与ξs(t)也必将是平稳的。

进一步分析有

Rc(τ)=Rs(τ)Rcs(τ)=-Rsc(τ)

可见，同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)具有相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，应有4窄带随机过程(9)2023/10/936Rcs(τ)=Rsc(-τ)

将上式代入式（2.5-12），可得

Rsc(τ)=-Rsc(-τ)

同理可推得

Rcs(τ)=-Rcs(-τ)

所以ξc(t)、ξs(t)的互相关函数Rsc(τ)、Rcs(τ)都是τ的奇函数，在τ=0时

Rsc(0)=Rcs(0)=0

4窄带随机过程(10)2023/10/937于是得到

Rξ(0)=Rc(0)=Rs(0)

即σ2ξ=σ2c=σ2s

结论：ξ(t)、ξc(t)和ξs(t)具有相同的平均功率或方差（因为均值为0）。另外，因为高斯过程ξ(t)是平稳的，所以ξ(t)在任意时刻的取值都是服从高斯分布的随机变量，故有4窄带随机过程(11)2023/10/938取t=t1=0时，ξ(t1)=ξc(t1)

取t=t2=π/(2ωc)时，ξ(t2)=ξs(t2)

所以ξc(t1)，ξs(t2)也是高斯随机变量，从而ξc(t)、ξs(t)也是高斯随机过程。又，ξc(t)、ξs(t)在同一时刻的取值是互不相关的随机变量，因而它们还是统计独立的。重要结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程ξ(t)，它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的ξc和ξs是互不相关的或统计独立的。4窄带随机过程(12)2023/10/939

3.包络和相位的统计特性

由上面的分析可知，ξc和ξs的联合概率密度函数为

f(ξc,ξs)=f(ξc)·f(ξs)=

设aξ,φξ的联合概率密度函数为f(aξ,φξ)，则利用概率论知识，有

f(aξ,φξ)=f(ξc,ξs)

根据两式在t时刻随机变量之间的关系

ξc=aξcosφξ

ξs=aξsinφξ4窄带随机过程(13)2023/10/940得到Cosφξsinφξ-aξsinφξaξcosφξ

=于是f(aξ,φξ)=aξf(ξc,ξs)=

注意，这里aξ≥0,而φξ在(0，2π)内取值。再利用概率论中边际分布知识将f(aξ,φξ)对φξ积分，可求得包络aξ的一维概率密度函数为4窄带随机过程(14)2023/10/941

可见，aξ服从瑞利分布。

同理，f(aξ,φξ)对aξ积分可求得相位φξ的一维概率密度函数为f(φξ)=可见，φξ服从均匀分布。

4窄带随机过程(15)2023/10/942重要结论：一个均值为零，方差为σ2ξ的窄带平稳高斯过程ξ(t)，其包络aξ(t)的一维分布是瑞利分布，相位φξ(t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，aξ(t)与φξ(t)是统计独立的，即有下式成立：

f(aξ,φξ)=f(aξ)·f(φξ)4窄带随机过程(16)2023/10/9434窄带随机过程(17)结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程，其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同；在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相关的或统计独立的。其包络的一维分布是瑞利分布，而其相位的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，包络和相位是统计独立的。2023/10/9445正弦波加窄带高斯过程(1)常用调制：正弦波作为载波接收机加滤波器的作用：选择信号、滤除噪声接收机输出的是正弦已调信号与窄带高斯噪声的混合波形2023/10/9455正弦波加窄带高斯过程(2)2023/10/9465正弦波加窄带高斯过程(3)广义瑞利分布(莱斯分布)A=0，f(z)~瑞利分布A>>

，f(z)~近似高斯分布2023/10/9476平稳随机过程通过线性系统(1)输出随机过程的均值输出随机过程的自相关函数与功率谱密度平稳2023/10/948重要结论：输出过程功率谱密度是输入过程度功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。2023/10/9496平稳随机过程通过线性系统(2)2023/10/9506平稳随机过程通过线性系统(3)奇函数奇函数高斯独立线性变换2023/10/9517高斯白噪声和带限白噪声白噪声n(t)定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声，即 －双边功率谱密度 或 －单边功率谱密度 式中n0

－正常数白噪声的自相关函数：对双边功率谱密度取傅里叶反变换，得到相关函数：2023/10/952白噪声和其自相关函数的曲线：2023/10/953白噪声的功率

由于白噪声的带宽无限，其平均功率为