多因两重模型在排队问题中的应用

多因两重模型在排队问题中的应用

我们必须经历队列等待，如等待付款、等待食物、等电梯等。病人不同于健康人，病人极不愿意接受排队等待，排队等待对病人的身心不利，也会产生人群聚集而不利用医院的预防工作。随着人们的防病意识的增强、生活节奏的加快和对医疗服务水平要求之提高，排队等待的组织管理问题尤显重要。医院如果使病人等待，将导致病人不满意或者可能失去病人。因此，病人排队等待问题是应该引起医院管理者高度重视的问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS(Firstcome,Firstserve)规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，本文主要是通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。1模型11.1病人到达时间和等待时间通过对数据进行分析统计，针对医院就诊排队问题，首先建立了最基本的排队论模型。排队论，或称随即服务系统理论，它是研究服务系统中排队现象规律的科学。每当某项服务的现有需求量超过提供该项服务的现有能力时，排队就会发生。根据对该院数据进行统计分析，在该院目前的FCFS就诊的模式下，除外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，计算得出患者的等待时间平均为12—13天。由于病人到达时间的随机性或诊治病人所需时间的随机性，排队几乎是不可避免的。因此，如何合理安排医护人员及医疗设备，使病人排队等待的时间尽可能减少，正是所要解决的问题。1.2患者到达门诊所选取医院门诊部的就诊患者为研究对象，建立排队系统。以患者到达门诊部进行登记为标志，表示该患者进入了系统的排队系统当中；当患者入院接受医院治疗时，表示该患者接受了服务，当服务完成后，患者即离开排队系统。1.3模型组成实际中的排队系统各有不同，但此问题概括起来是由3个基本部分组成的，包括：输入过程、排队规则及服务机制，分别说明如下：1.3.1顾客到达方式输入过程说明顾客是按怎样的规律到达系统的，需要从三个方面来刻画一个输入过程。1）顾客源总体。可以分为有源总体和无源总体。（假设顾客源总体为无源总体）2）顾客的到达方式。是单个到达还是成批到达。（假设顾客的到达方式是单个到达不是成批到达）3）顾客相继到达的时间间隔分布。这是刻画输入过程的最重要的内容，主要通过一些已知的概率分布来描述，如泊松分布、定长分布、负指数分布等等。（假设患者的到来时相互独立，相继到来的时间间隔是随机的，一定时间的到达服从Poisson分布）1.3.2改变服务的原则排队系统一般分为等待制、损失制和混合制。1）等待制顾客到达系统后，如果没有空闲的服务台，及没有空闲的床位，则顾客即排队等候。等待制服务的方式由：先到先服务（FCFS）、后到先服务（LCFS）、随机服务（SIRO）、优先权服务（PR）四种。在此问题中，主原则是先到先服务原则。由于存在外伤病人，属于急诊病人，有一定的优先权，采取优先权服务。（见改进模型2)2）损失制顾客到达系统时，如果没有空闲的服务台，则顾客离开排队系统，另求服务。这种现象很有可能发生在这个医院，这种现象的发生说明医院没有满足病人的要求。3）混合制介于等待制和损失制之间，通过对排队长度、顾客的等待时间等量的限制来对整个排队模型进行限制。1.3.3多个服务台的混合式指排队系统中服务台的个数、排列及服务方式。排队系统中的服务台的个数是一个或多个。多个服务台可以是串联或者并联。在这个问题中，由于四种不同的眼科疾病的治疗时间不一样，服务台（即病床）是由串联和并联组成的混联。根据四种不同的治疗时间，交互使用病床，使病床的利用率达到最大化。（见改进模型3)1.3.4fcfs排队模型一个实际问题作为排队问题求解时，首先要研究它属于哪个模型。分类的方法为：X—顾客相继到达的间隔时间的分布；Y—服务时间的分布；M—负指数分布、D—确定型、Ek—k阶爱尔朗分布。Z—服务台个数；A—系统容量限制（默认为∞）；B—顾客源数目（默认为∞）；C—服务规则（默认为FCFS）。在这里，我们假设此医院的排队系统是服从M/M/C/∞/∞FCFS排队模型的。这种模型是患者到达门诊部为最简单流，即患者到达间隔时间服从泊松分布，服务时间均服从负指数分布的多服务台排队系统，各服务台工作相互独立，单队列，患者源无限，排队规则为等待制，先到先服务。1.4数据处理和模型解决1.4.1系统的状态概率系统的空闲概率p0，系统内有n个患者的概率pn以及利用率p分别为：通过对数据进行计算得出：1.4.2数据的预处理1）队长系统内的平均患者数称为队长，记为Ls。根据对已有数据的统计，借助MATLAB软件算出Ls为95.9603。2）等待队长系统内排队等待服务的平均患者称为等待队长，记为Lq。L及Lq越大，说明服务率越低。这个医院现在采用就是FCFS就诊模式，对已有数据进行处理，我们借助MATLAB软件得出Ls以及Lq。Ls=95.9603,Lq=12.2012。3）平均等待时间患者在系统能够内排队等待接收服务的平均时间成为平均等待时间按，记为Wq。借助MATLAB软件算出的平均等待时间：Wq=0.13874）平均逗留时间患者从进入排队系统接收完服务后离开系统的平均时间按称为平均逗留时间，记为Ws。借助MATLAB软件算出的平均逗留时间为：Ws=1.0905据心理学调查，诊病问题中仅仅等待时间按是患者们所关心的。一个排队系统的平均等待时间越短，患者对于该排队系统的满意率就越高。在上述问题求解的基础上，通过研究主要数量指标在平稳状态下的概率分布及数字特征，可以了解整个排队系统的基本特征及运作状况，然后基于此，再来研究整个排队系统的最优化问题，其内容有很多，如服务率控制问题、服务台的开关策略等方面的问题。2模型22.1住院和手术时的优先权在几种疾病中，由于外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。由于存在外伤病人，它有一定的优先权，采取优先权服务。而不是和其他病人一样遵循等待制服务。接下来分两种情况讨论，即根据是否给外伤病人预留病床来分类。2.2模型的构建和求解2.2.1特别法应用于高负荷状态的临时病房通过对给出数据进行分析，可以得知此医院并没有给外伤病人预留床位，当外伤病人准备入院时，只有在有空床的前提下才让进行手术治疗，并没有专门留给外伤患者的病床。急诊工作的特点是病人发病急聚，病人流量不稳定，随机性大，可控性小。因此，在合理安排急诊床位数等方面存在一定的困难。当床位不足时，常出现病人等待时间延长，病人满意度下降；而如果预留床位没有得到使用，则造成不必要的空闲，形成资源浪费。如何在两者之间取得平衡正是我们所面对的问题。最大满足病人及家属的需要，同时有效地避免资源浪费。选取该医院某一个月的外伤患者为研究对象，建立排队系统。在这一排队系统中，病人来源是无限的，以病人进入门诊登记为标志，进入排队系统；排队等待的病人如暂时无床位时，这里假设医院可以在走廊的简易床上接受治疗等待进入手术室。但是简易床数不能过多。在这个群体中，病人按照先到先服务的原则，依次进行手术治疗。统计病人到达间隔和服务时间的经验分布，通过计算，给出理想的急诊病床床数，为实际工作提供可靠的、科学的、有预见性的指导。通过检验得知，病人到达间隔时间T及医生服务时间（手术时间）S均不服从特定的分布，因此只能做一般分布处理。这是，排队系统记为G/G/K，遵循该排队论类型的计算规律和特征。根据排队论理论，G/G/K排队系统的解及其难求，目前数学上尚未有简单有效地解法。我们可以近似认为，在高负荷状态下，即KE[T]-E[S]≈0时，G/G/K系统的所有服务台（床位）都被长期占用。因此整个服务系统看起来类似一个以T为到达间隔，以S/K为服务时间的G/G/K系统。根据参考文献，给出高负荷状态下G/G/K系统延误时间（等待时间）Wq的近似解如下：根据统计资料和数学计算可知，理论上维持急诊工作正常运转需要的床位数的最低值超出了实际可能承受的限度，远远无法满足病人的需要。这必将直接影响病人的诊断和治疗，使急需要治疗的病人无法得到及时的服务。在实际工作中，为缓解病床的不足，在走廊上设置临时床位，为病人进行紧急救治和短期的观察和治疗。从理论上来说，临时床位的数量是无限的，但在实际中，受到物资设备、工作人员的工作负荷等限制。设置临时床位也只是权宜之计。临时床位设施简陋，走廊人员繁杂，病人得不到足够的重视和充分、及时的救护，无法满足病人的要求，也不利于疾病的疗治。统计资料表明，病人可以在走廊上等待的最大忍受上限平均是2.4天。因此必须进一步采取有效措施，改善现状，以最少的支出获得最大的成效。对医院的改进意见：1）适当增加急诊床位数，完善设施和配备，解决排队成龙现象。2）应规划治疗，统一救治程序，有效缩短平均逗留时间及其波动程度，提高效率，加快周转率。数据表明，如标准差降低1/3，则可在相同情况下使急诊病人等待时间按和等待队长明显下降。2.2.2马尔可夫性的应然类型—类型二———预留病床当医院为急诊病人预留了专门病床时，情况如下：将准予住院治疗的病人分为急诊病人和一般病人两种，其到达分别服从参数为λn和λp的Paisson分布。两种病人住院时间均服从参数为u的指数分布。预先给定一个病床占有限制数B（规定B小于拥有的最大病床位数S）。当实际占用的病床数C<B时，无论何种类型的病人均可立即住院；当B≤C<S时，则急诊病人被允许住院，而一般病人则登记排队等待入院；当C=S时，急诊病人激励转院（被拒收），而一般病人则登记排队等待住院。令：Pn及Pp分别为急诊病人及一般病人占准予住院治疗的全体病人之比例；则(2)将λn/μ定义为λn，将λp/μ定义为λp则λp+λn定义为γ，其中γ=λ×1/μ,λ=λn+λp(3)Cn为n个病床被占用的稳态概率；(4)J(n,q）为n个病床被占用而q个病人在排队等待的联合稳态概率这样满足上述条件的住院系统就是一个具有马尔可夫的生灭过程。它是一类重要随机过程，在已知它目前的状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。当实际的住院系统符合前面所述的假设时，可用得到的状态概率方程组，以及稳态情况下的差分方程设计相应的计算机程序求出该排队系统的稳态概率Cn及排队队长概率Qk，在此基础上进一步算出：所有病床被占用的天数比率F。然而许多实际的住院排队系统并不完全满足前面的基本假设。但是据我们对于给出数据的初步统计与分析，预测出一个有待进一步精确的结果:B=3时，可以大致满足外伤患者的需求，也不至于造成资源的浪费，其他患者的治疗基本上也可以得到满足。3模型33.1将不同疾病纳入“优先权就诊”模式考虑到不同疾病的差异性，服务台（即病床）可以看作是由串联和并联组成的混联。根据五种不同的治疗时间，交互使用病床，使病床的利用率达到最大化。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但根据医院的要求，一般不安排在周一、周三。根据对不同疾病治疗时间的统计，白内障（单眼）为5.23天，白内障（双眼）为8.56天，视网膜疾病为12.54，青光眼为10.49天，外伤疾病为7.04天，这些治疗时间是由当前医疗水平和医院本身条件所决定，不能在短时间内缩短其时间。综合考虑各种疾病的治疗时间以及医院的资源条件的限制，接下来建立了一个逐步优先权就诊模式。尽量使病床利用率达到最大，病人的等待时间缩短。3.2视网膜手术安排住院时外伤随机性较大，同时外伤者优先，即无论是哪天前来就诊，只要有空床立刻安排住院，白内障手术之前需要准备一两天，星期一、六、日接收白内障患者（包括双眼白内障患者），其他疾病，青光眼和视网膜疾病患者，入院后两三天即可手术，并且白内障手术在周一、二，青光眼和视网膜手术和白内障手术不安排在同一天，因此，星期二、三、四接收青光眼、视网膜患者，星期五不受限制，按照先到先服务的原则安排住院。按照此方法安排住院时，当天前来就诊而未安排住院的患者就要等到下一轮医院可以接收此种病患者的那一天方可入院。例如，星期一前来就诊的青光眼患者和视网膜患者没有被安排住院，就需要等到星期二医院安排这两类病患者住院，此时此病人的等待时间为1天。综上，白内障患者可在周一、六、日住院，青光眼和视网膜患者可在周二、三、四住院，这些病人的手术时间均为周四、五、六、日。3.3研究时段及总得到性时间由已知的数据可知，医院眼科病床大部分时间是达到饱和状态的，因为用床的紧张，所以只要患者住院，则经过所需的准备期之后立马手术，因而不用考虑多于准备期而占用床位的情况。病床安排的总原则为：白内障患者可在周一、六、日住院，青光眼和视网膜患者可在周二、三、四住院。由于医院病床安排是一个连续的问题，而原表中给出的只是其中的一部分数据，利用这五类病的平均治疗时间可算出大约经过9天，可使在医院的79个病人全部出院。假设那天医院没有任何住院病人，病床使用率为0。经计算，25天之后