第3章大气边界层支配方程之1课件

第三章大气边界层支配方程3.1基本控制方程3.2平均量方程3.3湍流脉动量方程3.4湍流方差预报方程3.5湍流通量预报方程3.6闭合理论第三章大气边界层支配方程3.1基本控制方程13.1基本控制方程为了定量描述和预报边界层状况，需要借助于流体力学来描述大气中气体动力学和热力学方程。描述气体和液体流动的方程组包括：三个动量守恒方程（Navier-Stokes方程）一个质量守恒方程（连续方程）一个热力学能量方程一个状态方程(水汽及污染物浓度的标量方程类似热量方程)3.1基本控制方程为了定量描述和预报边界层状况，需要借助于23.1基本控制方程3.1.1控制方程3.1.2简化与近似—Boussinesq近似3.1.3坐标系及其变换3.1基本控制方程3.1.1控制方程33.1.1控制方程状态方程质量守恒（连续方程）动量守恒（牛顿第二定律）热量守恒方程（热力学第一定律）3.1.1控制方程状态方程41）状态方程理想气体状态方程：P：气压ρ：湿空气密度R：干空气气体常数（R=287JK-1kg-1）虚温Tv=T(1+0.61q)，q比湿，T温度1）状态方程理想气体状态方程：P：气压52）质量守恒（连续方程）连续性方程的一般形式：不可压缩流体或泰勒假说:2）质量守恒（连续方程）连续性方程的一般形式：不可压缩流6运用Einstein求和符号惯例，以上的连续方程写成：（j=1、2、3分别代表x、y、z三个方向）运用Einstein求和符号惯例，以上的连续方程写成：（j=73）动量守恒（牛顿第二定律）动量方程的表达式：局地时间变化平流项气压梯度力项重力作用项科氏效应粘滞应力项3）动量守恒（牛顿第二定律）动量方程的表达式：局地时间变8δi3为克罗内克符号重力仅在垂直方向起作用思考：方程右端第三项展开？δi3为克罗内克符号重力仅在垂直方向起作用思考：方程右端第94）热量守恒（热力学第一定律）热量守恒关系常用位温方程来表示：sθ：引起空气位温变化的热量源(汇)项（分子热传导、与相变有关的潜热释放、净辐射加热）水汽及污染物的守恒方程形式与热量守恒形式一致关键是要全面准确的了解引起成份变化的源汇项4）热量守恒（热力学第一定律）热量守恒关系常用位温方程来103.1.2简化与近似—Boussinesq近似在一定条件下，控制方程中某些项的量值比其它项小得多，以致可以把它略去，使得方程变得较为简单，有助于方程的求解。必须考虑地球自转的影响大气密度并非均匀，主要在垂直方向上是不均匀的层结流体大气的空间尺度在水平方向远大于铅直方向，可视作浅层流体，不可压缩流体大气边界层主要是湍流运动大气边界层的特点概括有：柯氏力作用Boussinesq近似3.1.2简化与近似—Boussinesq近似11Boussinesq近似的基本假定：流体中的动力学粘滞系数μ=ρν是常数流体中的分子导热系数kT是常数大气是浅层流体，垂直范围约10km描写流体热力状态的特征量可表示为Boussinesq近似的基本假定：流体中的动力学粘滞系数12扰动量远小于基态量：基本状态量假设是静力平衡、绝热的，并且满足理想气体状态方程，即：静力平衡理想气体状态方程绝热过程扰动量远小于基态量：基本状态量假设是静力平衡、绝热的，并且满13Boussinesq近似下的简化方程：连续方程状态方程运动方程热流量方程Boussinesq近似下的简化方程：连续方程141）连续方程当大气为浅层流体，在该范围内密度的变化很小、可以忽略，边界层大气可以近似认为是不可压缩的，连续方程为：或1）连续方程当大气为浅层流体，在该范围内152）状态方程对于干空气，状态方程为P=ρRT，对该式进行对数微分，可以得到：如果运动的垂直尺度相对于大气层厚度而言很小，则取对数：取微分：2）状态方程对于干空气，状态方程为P=ρRT，对该式163）运动方程Navier-Stokes方程中压力梯度项和重力项可以进行改写：将上式代入运动方程得到：

扰动温度在重力作用下形成的净浮力项3）运动方程Navier-Stokes方程中压力梯度项和174）热流量方程边界层支配方程中常用到位温θ，Poisson方程：

对该式进行对数微分，近似有此外，有因此，有扰动温度的垂直梯度位温的垂直梯度4）热流量方程边界层支配方程中常用到位温θ，Poisso18如果不考虑相变，热源Sθ

仅考虑分子热传导及辐射加热，则热流量方程为：Rj

:j方向的辐射热通量分子热传导的加热辐射加热上式中Td也可以换成θ

如果不考虑相变，热源Sθ仅考虑分子热传导及辐射加热，则热19以上近似处理最早由Boussinesq(1903)提出－Boussinesq近似该简化方程假定流体不可压、并限制在一薄层内。适用于研究像积云对流、海陆风环流、边界层急流中的重力波活动等发生在浅层内的中尺度运动－浅水方程以上近似处理最早由Boussinesq(1903)提出－Bo20综上所述，Boussinesq近似下的基本方程组为：或或热流量方程运动方程状态方程连续方程综上所述，Boussinesq近似下的基本方程组为：或或热流213.1.2坐标系及其变换通常我们使用笛卡尔坐标系，在实际应用中，将笛卡尔坐标系绕z轴旋转，使x、y轴指向其它方向，能够在处理问题时更方便。例如，使x轴与平均风向、地转风向、表面应力方向、垂直于海岸线、山的方向一致，这样就可以简化控制方程中的某些项。例如，选择x轴与平均风方向一致，就可以求得u=M（平均风速）和v=0，这时，x轴叫做顺风方向，y轴叫做侧风方向。3.1.2坐标系及其变换通常我们223.2平均量方程以上动力方程组无法求解析解，但可以求得数值解。原则上，可以用动力方程组来描述湍流的运动，但是要想囊括所有尺度的湍流运动，计算量太大。为了简化，可以截取一定尺度的涡旋，而在这个尺度以下的涡旋用湍流的统计特征来代替。在一些中尺度和天气尺度模式中，截取尺度为10～100公里，而在边界层模式，比如说大涡模拟，截取尺度一般为10～100米。3.2平均量方程以上动力方程组无法求解析解，但可以求得数值23一出发方程组1.状态方程2.连续性方程3.动量守恒4.热量守恒5.水汽守恒6.标量守恒一出发方程组1.状态方程241、状态方程干空气气体常数1、状态方程干空气气体常数252、连续方程张量展开：2、连续方程张量展开：263、运动方程(动量守恒)Ⅰ存储项Ⅱ平流传输项Ⅲ重力项，仅在垂直方向作用Ⅳ柯氏力项Ⅴ气压梯度力项Ⅵ粘性力项式中：

为分子动粘系数，f=2

sin

。3、运动方程(动量守恒)Ⅰ存储项Ⅱ平流传输项Ⅲ重力项，274、热量守恒Ⅰ存储项Ⅱ平流传输项Ⅵ热扩散项式中：kθ为分子热扩散系数，数值为2.06×10-5m2s-1；Lp为与E相变有关的潜热（0ºC时气液相变取值2.50×106J·kg-1；液固相变取值3.34×105J·kg-1;气固相变取值2.83×106J·kg-1）；cp为湿空气定压比热，与干空气定压比热的关系为cp=cpd(1+0.86q)；cpd取值1004.07J·kg-1·K-1；E为蒸发量Ⅶ辐射加热项Ⅷ与相变有关的潜热释放4、热量守恒Ⅰ存储项Ⅱ平流传输项Ⅵ热扩散项式中：285、水汽守恒Ⅰ存储项Ⅱ平流传输项Ⅵ水汽扩散项式中：vq为空气中水汽分子扩散率，Sq是方程中不含有其余过程时的净水体源项（源-汇），单位是：单位时间单位体积的总水体质量。Ⅶ其它过程的净水体源项5、水汽守恒Ⅰ存储项Ⅱ平流传输项Ⅵ水汽扩散项式中296、标量守恒Ⅰ存储项Ⅱ平流传输项ⅥC的扩散项Ⅶ其它过程的体源项式中：vc为空气中C的分子扩散率，Sc是不存在于方程中的其余过程的体源项，例如化学反应等。6、标量守恒Ⅰ存储项Ⅱ平流传输项ⅥC的扩散项Ⅶ30

在湍流运动的大气边界层中，上述方程组还不能完整地描述边界层中的全部过程，应将上述的主要变量转换成平均量和脉动量相加。即：平均场方程描述长时间过程，脉动场方程描述短时间过程。二湍流中平均变量方程在湍流运动的大气边界层中，上述方程组还不能31推导思路：出发方程：Boussinesq近似方程组采用雷诺平均的方法，将任意一个物理量表示成平均量和脉动量之和，代入方程组，然后再取平均。

————大气边界层平均量控制方程推导思路：出发方程：Boussinesq近似方程组32雷诺平均规则Stull.书P41-44雷诺平均规则Stull.书P41-44331状态方程进行雷诺平均后：最后一项很小、略去不计平均量的状态方程1状态方程进行雷诺平均后：最后一项很小、略去不计平均量的342连续方程湍流脉动连续方程湍流平均量连续方程2连续方程湍流脉动连续方程湍流平均量连续方程353动量方程3动量方程表示为雷诺应力对平均运动的影响湍流应力或雷诺应力重要！！再进行雷诺平均，得到：3动量方程3动量方程表示为雷诺应力对平均运动的影响36假设，定常状态，即假设，略去下沉，即假设，水平均匀性，即P.S.：定常、水平均匀性、下沉展开任一平均变量ξ的全导数：ⅠⅡⅢⅣ象位温θ、湍流动能e等平均变量，垂直变化大、水平变化很小；风速相反，u、v量级m/s，而w量级mm/s；因此方程中Ⅰ～Ⅳ项多数情况下量级几乎相等。水平平流垂直假设，定常状态，即假设，略去下沉，即假设，水平均匀性，即374、热量方程湍流热通量的输送对温度变化的影响：湍流热通量再进行雷诺平均，得到：分子热传导引起的热通量，通常忽略4、热量方程湍流热通量的输送对温度变化的影响：湍流热通量再进385、水汽守恒6、标量守恒5、水汽守恒6、标量守恒39

上面平均方程组均出现了湍流通量散度项，表现出湍流通量对平均场动量、热量和水汽含量增减的贡献。上面平均方程组均出现了湍流通量散度项，表现出40湍流中平均变量方程概要（略去分子扩散和粘性）状态:连续:动量:热量:水汽:标量:湍流中平均变量方程概要（略去分子扩散和粘性）状态:连续:41【例子1】设湍流热通量按随高度线性递减，其中a=0.3(Kms-1)和b=3×10-4(Ks-1)。如果初始位温廓线是任意形状（即选择某一形状），那么1小时后廓线的最终形状是什么样子？略去下沉、辐射、潜热加热，并假设水平均匀。-------------------【解法】-----------------------略去下沉、辐射、潜热加热，位温平均量方程为：假设水平均匀，略去x和y导数，得到：1小时的增温是【讨论】ML，所有高度空气以相同速率增温，廓线形状不变【例子1】设湍流热通量按42【例子2】如果10m/s的风速把干空气平流到某一区域，该区水汽水平梯度为(5g水/kg气)/100km，那么要保持定常状态的比湿，边界层湍流水汽通量的垂直梯度多大？假设所有水都是气态，且不存在水汽体源。问题中没提到下沉或水平通量梯度，假设为零，得到：-------------------【解法】-----------------------定常即，选择x坐标与平均风向一致，平均量方程:【讨论】梯度大小相等于在垂直距离1km上减少0.5(g/kg)(m/s)【例子2】