第三章2随机变量的分布函数课件

问：在上式中，X,x皆为变量.二者有什么区别？x起什么作用？F(x)是不是概率？X是随机变量,x是参变量.F(x)是r.vX取值不大于

x的概率.问：在上式中，X,x皆为变量.二者1

由定义，对任意实数x1<x2，随机点落在区间（x1,x2]的概率为：P{x1<Xx2

}=P{Xx2}-P{Xx1}=F(x2)-F(x1)

因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.由定义，对任意实数x1<x2，随机点落P{2

分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来研究随机变量.分布函数是一个普通的函数，正是3二、离散型r.v的分布函数设离散型r.vX的概率分布列是P{X=xk

}=pk,

k=1,2,3,…则

F(x)=P(X

x)=

由于F(x)是X取的诸值xk

的概率之和，故又称

F(x)为累积概率函数.二、离散型r.v的分布函数设离散型r.vX的概率分布列是4离散型随机变量分布函数的计算举例离散型随机变量分布函数的计算举例5当x<0时，{X

x}=，故F(x)=0例1.，求F(x).当0x<1时，

F(x)=P(X

x)=P(X=0)=F(x)=P(X

x)解:当x<0时，{Xx}=6当1x<2时，

F(x)=P(X=0)+P(X=1)=+=当x2时，

F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1例1.，求F(x).F(x)=P(X

x)解:当1x<2时，当x7故注意右连续下面我们从图形上来看一下.故注意右连续下面我们从图形上来看一下.8三、分布函数的性质(3)F(x)

非降，即若x1<x2，则F(x1)F(x2);(2)F()=F(x)=0

(4)F(x)

右连续，即

如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.vX的分布函数.也就是说，性质(1)--(4)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.F()=F(x)=1(1)0≤F(x)≤1,－∞<x<+∞;三、分布函数的性质(3)F(x)非降，即若x1<x2，9试说明F(x)能否是某个r.v的分布函数.例2.设有函数F(x)

注意到函数F(x)在上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.不满足性质(2)，可见F(x)也不能是r.v的分布函数.或者解：试说明F(x)能否是某个r.v的分布函数.例2.设有函数10

例3.

在区间[0，a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求X

的分布函数.设F(x)为X

的分布函数，当x<0时，F(x)=P(Xx)=00a当x>a时，F(x)=1

解：

例3.在区间[0，a]上任意投掷一个质点，11当0xa时，P(0Xx)=kx

(k为常数)由于P(0Xa)=1

ka=1，k=1/a0a

F(x)=P(Xx)=P(X<0)+P(0Xx)=x/a

例3

在区间[0，a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求X

的分布函数.设F(x)为X

的分布函数，解:当0xa时，P(0Xx)12

例3.

在区间[0，a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求X

的分布函数.这就是在区间[0，a]上服从均匀分布的随机变量的分布函数.例3.在区间[0，a]上任意投掷一个质点，13第四讲连续型随机变量

连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.第四讲连续型随机变量连续型随机变量14.连续型随机变量、概率密度定义设F（x）是随机变量X的分布函数，若存在一个非负的函数f(x),对任何实数x，有，则称X为连续型随机变量，同时称f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度。

f(x)xoy.连续型随机变量、概率密度定义设F（x）15由定义知：1.连续型随机变量的分布函数F(x)

是连续函数.2.对f(x)的连续点，有由此F(x)与f(x)可以互推。由定义知：1.连续型随机变量的分布函数F(x)2.对f(16概率密度函数的性质1.2.这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某r.vX的概率密度函数的充要条件.o

f(x)xy概率密度函数的性质1.2.这两条性质是判定一个of(x)173．

f(x)xoyx1x23．f(x)xoyx1x218

故X的密度f(x)在x这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.

若x是f(x)的连续点，则：=f(x)4.对f(x)的进一步理解:故X的密度f(x)在x这一点的值19要注意的是，密度函数f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.

f(x)xo要注意的是，密度函数f(x)在某点处a的20若不计高阶无穷小，有：它表示随机变量X取值于的概率近似等于.在连续型r.v理论中所起的作用与在离散型r.v理论中所起的作用相类似.若不计高阶无穷小，有：它表示随机变量X取21连续型r.v取任一指定值的概率为0.即：a为任一指定值这是因为需要指出的是:由于连续型随机变量的分布函数是连续函数，从而P(X=a)=0.连续型r.v取任一指定值的概率为0.即：a为任一指定值这是因22

P(X=a)=0的充分必要条件是F(x)是连续函数。任意a∈R。由此得，1)对连续型r.vX,有P(X=a)=0的充分必要条件是F(232)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件并非必然事件称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.可见，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出B=S2)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能24下面给出几个r.v的例子.由于连续型r.v唯一被它的密度函数所确定.所以，若已知密度函数，该连续型r.v的概率规律就得到了全面描述.

f(x)xo下面给出几个r.v的例子.由于连续型r.v唯一被它25大家一起来作下面的练习.求F(x).例2

设由于f(x)是分段表达的，求F(x)时注意分段求.大家一起来作下面的练习.求F(x).例2设由于f(x)26=01F(x)=01F(x)27对连续型r.v，若已知F(x)，我们通过求导也可求出f(x)，请看下例.即对连续型r.v，若已知F(x)，我们通过求导也可求出f(28例3

设r.vX的分布函数为(1)求X取值在区间(0.3,0.7)的概率；(2)求X的概率密度.解:(1)

P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4

(2)f(x)=注意到F(x)在1处导数不存在，根据改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在没意义的点处，任意规定的值.例3设r.vX的分布函数为(1)求X取值在区间29几种重要的连续型随机变量均匀分布（1）若r.vX的概率密度为：则称X服从区间[a,b]上的均匀分布，记作：X～U(a,b)几种重要的连续型随机变量均匀分布（1）若r.vX的概率密度30它的实际背景是：r.vX取值在区间[a,b]上，并且取值在[a,b]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比.则X具有[a,b]上的均匀分布.分布函数为:f(x)≥0,满足概率密度性质。它的实际背景是：r.vX取值在区间[a,b]上，31若X~U[a,b],

(x1,x2)为[a,b]的任意子区间，则

公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差；若X~U[a,b],(x1,x2)为[a,b]的任32例4.

某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解：依题意，

X～U(0,30)

以7:00为起点0，以分为单位例4.某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即733为使候车时间X少于5分钟，乘客必须在7:10到7:15之间，或在7:25到7:30之间到达车站.所求概率为：从上午7时起，每15分钟来一班车，即

7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.为使候车时间X少于5分钟，乘客必须在7:134例5.设K在[0，5]上服从均匀分布，求方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率。解：K~U[0，5]，有实根等价于Δ≥0，即