《实变函数》第三章 测度论

./第三章测度论〔总授课时数14学时教学目的引进外测度定义,研究其性质,由此过渡到可测集本章要点要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别,测度概念抽象,要与具体点集诸如面积体积等概念进行比较.§1、外测度教学目的1、掌握外测度的定义及其基本性质.2、理解区间及有理点集的外测度及其证明方法.本节要点外测度的定义及其基本性质.本节难点外测度的定义.授课时数4学时——————————————————————————————一、引言<1>Riemann积分回顾〔分割定义域,,积分与分割、介点集的取法无关。几何意义〔非负函数：函数图象下方图形的面积。〔2新的积分〔Lebesgue积分,从分割值域入手记,,则问题：如何把长度,面积,体积概念推广?达布上和与下和上积分〔外包〔达布上和的极限下积分〔填达布下和的极限二、Lebesgue外测度<外包>1．定义：设,称非负广义实数为开区间}为的Lebesgue外测度。下确界：〔1是数集的下界,即,〔2是数集的最大下界,即使得为开区间}开区间列使得且即：用一开区间列"近似"替换集合例1设是中的全体有理数,试证明的外测度为0.证明：由于为可数集,故不妨令作开区间则且,从而,再由的任意性知思考：１.设是平面上的有理点全体,则的外测度为0提示：找一列包含有理点集的开区间2.平面上的轴的外测度为0提示：找一列包含轴的开区间3.对Lebesgue外测度,我们用可数个开区间覆盖中的有理数全体,是否这可数个开区间也覆盖〔除可数个点外.注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列〔如Cantor集的余集的构成区间2．Lebesgue外测度的性质〔1非负性：,当为空集时,〔2单调性：若则证明:能覆盖的开区间列也一定能覆盖,从而能覆盖的开区间列比能覆盖的开区间列要少,相应的下确界反而大。〔3次可数可加性证明：对任意的,由外测度的定义知,对每个都有一列开区间〔即用一开区间列近似替换使得且从而,且可见由的任意性,即得注：〔1一般证明都是从大的一边开始,因为外测度的定义用的是下确界〔2外测度的次可数可加性的等号即使不交也可能不成立〔反例要用不可测集,但有:若则当区间的直径很小时候,区间不可能同时含有,中的点从而把区间列分成两部分,一部分含有中的点,一部分含有中的点.例2对任意区间,有.思考：书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在？此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广例3Cantor集的外测度为0.证明：令第次等分后留下的闭区间为从而注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集,有限并,可数并仍为零集.——————————————————————————————作业：P751,2练习题1如果将外测度的定义改为"有界集的外测度是包含的闭集的测度的下确界."是否合理？2设,问在什么条件下有3对于有界集,是否必有？4设是直线上的一有界集,,则对任意小于的正数,恒有子集,使§2可测集合教学目的1、深刻理解可测集的定义,学会用Caratheodory条件验证集合的可测性.2、掌握并能运用可测集的性质.本节要点学会用Caratheodory条件验证集合的可测性.本节难点用Caratheodory条件验证集合的可测性.授课时数4学时——————————————————————————————Lebesgue外测度<外包>且为开区间}开区间列使得且即：用一开区间列"近似"替换集合次可数可加性<即使两两不交>一、可测集的定义若有〔Caratheodory条件,则称为Lebesgue可测集,此时的外测度称为的测度,记作.注：Lebesgue开始也是利用外测度与测度相等定义可测集,但此方法对处理问题很不方便,故我们采用上述方法.例1：零集必为可测集证明：,有从而即为可测集。二、Lebesgue可测集的性质〔1集合可测〔即证明：<充分性,<必要性>令〔2若可测,则下述集合也可测即可测集类关于差,余,有限交和可数交,有限并和可数并,以及极限运算封闭；若则,有注:上式由前面可测集的等价刻画立刻可得若两两不交,则〔测度的可数可加性若可测,则有可减性证明：由可测集的定义：有易知可测若可测已证明,则易知,也可测。若当为两两不交时,可测已证明,则通过令可把一般情形转化为两两不交的情形,通过取余即可证明下面证明若可测,则可测证明：,有〔可测〔可测从而下面证明若两两不交,则证明：有从而〔*另外显然有从而可测,并用代入〔*式,即得结论例2：设中可测集满足条件,则必有正测度。证明：单调可测集列的性质<1>若是递增的可测集列,则<2>若是递减的可测集列且,注：〔1左边的极限是集列极限,而右边的极限是数列极限,<2>中的条件不可少,如注：〔2若是递减集列,若是递增集列,若可测,,则——————————————————————————————作业：P755,6练习题1设,能否断定可测？能否断定的任一子集可测？2设是可测集列,且,则3证明：任意点集的外测度等于包含它的开集的测度的下确界,即4设是的子集,可测,证明等式§3可测集类教学目的1、熟悉并掌握用开集、闭集、型集、型集刻画可测集的几个定理,弄清可测集类和Borel集类之间的关系.2、了解一些集合可测的充要条件.本节要点可测集类和Borel集类之间的关系.本节难点可测集类和Borel集类之间的关系.授课时数4学时——————————————————————————————一、可测集例1区间是可测集,且注：〔1零集、区间、开集、闭集、型集〔可数个开集的交、型集〔可数个闭集的并.Borel型集〔粗略说：从开集出发通过取余,取交或并〔有限个或可数个运算得到都是可测集。〔2开集、闭集既是型集也是型集；有理数集是型集,但不是型集；无理数集是型集,但不是型集。有理数集可看成可数个单点集的并,而单点集是闭集；通过取余型集与型集相互转化〔并与交,开集与闭集互换二、可测集与开集、闭集的关系〔1若可测,则,存在开集,使得且即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集〔可测集"差不多"就是开集或闭集,从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。〔2若可测,则,存在闭集,使得且证明：〔1当时,由外测度定义知存在开区间列,使得且令则为开集,且从而〔这里用到<2>当时,这时将分解成可数个互不相交的可测集对每个应用上述结果,存在开集,使得且令,则为开集,且若<1>已证明,由可测可知,存在开集,使得且.取,则为闭集例2设若开集,使得且,则是可测集.证明：对任意的,〔开集,使得且令,则是型集且故从而为可测集.例3：设为[0,1]中的有理数全体,试各写出一个与只相差一小测度集的开集和闭集。开集：闭集：空集.例4：设为中的无理数全体,试各写出一个与只相差一小测度集的开集和闭集。开集:闭集：三、可测集与集和集的关系<1>.若可测,则存在型集,使且可测集可由型集去掉一零集,或型集添上一零集得到。<2>.若可测,则存在型集,使证明：若<1>已证明,由可测可知型集,使得且取,则为型集,且<1>.若可测,则存在型集,使证明：对任意的,存在开集,使得且令,则为型集,且故例5：设为[0,1]中的有理数全体,试各写出一个与只相差一零测度集的型集或型集。型集：型集：空集注：上面的交与并不可交换次序.例6：设为中的无理数全体,试各写出一个与只相差一零测度集的型集或型集。类似可证：若则存在型集使得且〔称为的等测包证明:由外测度定义知,使得且令则为开集,且令,则为型集,且——————————————————————————————作业：P758,9,11练习题1设是的子集,证明不等式2试证有界集可测的充要