2022-2023学年江西省赣州市高一下学期6月期末考试数学试题-附答案

2022-2023学年江西省赣州市高一下学期6月期末考试数学试题一、单选题1．若两个非零向量，满足，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据数量积的运算律得到，即可得解；【详解】解：因为，所以，即，即，所以，即与的夹角为；故选：C2．已知，且恰好与垂直，则实数的值是（）A．1 B．－1 C．1或－1 D．以上都不对【答案】B【分析】求出，利用向量垂直数量积为零列方程求解即可.【详解】因为，所以，又因为恰好与垂直，所以，，故选：B.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.3．已知一个正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，体积为，则该正四棱台的高为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，结合棱台的体积公式，列出方程，即可求解.【详解】由正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，体积为，设正四棱台的高为，根据棱台的体积公式，可得，解得.故选：D.4．已知扇形的面积为，当扇形的周长最小时，扇形的圆心角为（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】先表示出扇形的面积得到圆心角与半径的关系，再利用基本不等式求出周长的最小值，进而求出圆心角的度数.【详解】设扇形的圆心角为，半径为，则由题意可得∴，当且仅当时,即时取等号，∴当扇形的圆心角为2时,扇形的周长取得最小值32.故选：B.5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的等腰三角形，其中，则原平面图形的面积为A．1 B． C． D．2【答案】A【详解】还原后的图形可知OB=2，OA=1，所以面积为6．如图,在平行四边形中,,是边的中点,是上靠近的三等分点,若,则（

）A．4 B． C． D．8【答案】A【分析】将通过平面向量基本定理转化到上,展开计算,再将代入即可求得.【详解】解:由题知,所以,记,因为且为平行四边形,所以,解得:(舍)或.故选:A7．纳斯卡线条是一种巨型的地上绘图，有着广大宽阔的直线，看起来就像机场跑道一样，描绘的大多是动植物，位于南美洲西部的秘鲁南部的纳斯卡荒原上，是存在了2000年的谜局：究竟是谁创造了它们并且为了什么而创造，至今仍无人能解，因此被列入“十大谜团”.在这些图案中，最清晰的图案之一是一只身长50米的大蜘蛛(如图)，据说这是一种学名为“节腹目”的蜘蛛的形状.这种蜘蛛十分罕见，只有亚马孙河雨林中最偏远隐秘的地区才能找到.现用视角为的摄像头(注：当摄像头和所拍摄的圆形区域构成一个圆锥时，该圆锥的轴截面的顶角称为该摄像头的视角)在该蜘蛛的上方拍摄，使得整个蜘蛛图案落在边长为50米的正方形区域内，则该摄像头距地面的高度的最小值是（

）A．50米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】由题意要使整个蜘蛛图案落在边长为50米的正方形区域内，即拍摄区域的圆的直径最小为，应用余弦定理求圆锥母线长，根据圆锥的高、母线、底面半径的关系求高即可.【详解】由题设知：要使整个蜘蛛图案落在边长为50米的正方形区域内，则拍摄区域的圆的直径最小为，若所成圆锥的母线长为a，∴由余弦定理知：，即，∴该摄像头距地面的高度最小值米.故选：B.8．已知三棱锥的外接球体积为，，，则三棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正弦定理得外接圆的半径为，根据余弦定理结合基本不等式可得底面面积的最大值，再由外接球的球心到平面的距离，点到平面的距离的最大值为，进而得解.【详解】设三棱锥的外接球的半径为，外接圆的半径为，则，解得，，由余弦定理可得，所以，故的面积，又外接球的球心到平面的距离，当且仅当时等号成立，所以点到平面的距离的最大值为，所以三棱锥体积的最大值为，故选：A．二、多选题9．已知在复数范围内关于的方程两根为，则下列结论正确的是（

）A．与互为共轭复数 B．C． D．【答案】AC【分析】根据实系数一元二次方程求根公式求出，然后逐一判断即可.【详解】由，或，显然与互为共轭复数，因此选项A正确；因为，所以选项B不正确；因为，所以选项C正确；因为，所以选项D不正确，故选：AC10．对于，有如下判断，其中正确的判断是（

）A．若，则B．若，则为等腰三角形C．若，，，则符合条件的有两个D．若，则是锐角三角形【答案】AC【分析】根据三角函数的单调性可判断A选项，根据正弦函数单调性和对称性可判断B选项，利用正弦定理可判断C选项，利用正弦定理及余弦定理可判断D选项.【详解】对于A：由，则当时，，当时，由可知，所以，故A选项正确；对于B：由，，，得：或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B选项错误；对于C：由，，，根据正弦定理得：，，且，所以满足条件的三角形有两个，C选项正确；对于D：由正弦定理可将转化为，则，所以，但无法判断的范围，D选项错误.故选：AC.11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（

）A．该圆台轴截面面积为B．该圆台的体积为C．该圆台的侧面积为D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为【答案】ACD【分析】求出圆台的高，由梯形的面积公式可判断选项A；由台体的体积公式可判断选项B；由台体的侧面积公式可判断选项C；将圆台补成圆锥，侧面展开，取的中点为，连接，可判断选项D.【详解】对于，由，且，可得，高，则圆台轴截面的面积为，故A正确；对于B，圆台的体积为，故B错误；对于C，圆台的体积为，故C正确；对于，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，侧面展开图的圆心角．设的中点为，连接，可得，则．所以沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为，故正确．故选：ACD．12．在棱长为2的正方体中，P为线段上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（

）A．三棱锥的外接球表面积为B．三棱锥的体积为定值C．过点P平行于平面的平面被正方体截得的多边形面积为D．直线与平面所成角的正弦值的范围为【答案】BCD【分析】求出三棱锥外接球的直径与表面积，可判断A选项；利用锥体的体积公式可判断B选项；做出截面图形，利用三角形的面积公式可判断C选项；计算出点到平面的距离，以及的取值范围，结合线面角的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，三棱锥外接球即为正方体的外接球，正方体的外接球直径为，故三棱锥外接球的表面积为，A错误；对于B选项，因为且，故四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，平面，，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，，，B正确；对于C选项，且，则四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，所以，平面，又因为平面，，所以，平面平面，所以，过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形为，易知是边长为的等边三角形，该三角形的面积为，C正确；设点到平面的距离为，由知，点到平面的距离为，当点在线段上运动时，因为，若为的中点时，，，当点为线段的端点时，，即，设直线与平面所成角为，，D正确.故选：BCD．三、填空题13．．【答案】【详解】,,故答案为.【解析】三角函数诱导公式、切割化弦思想.14．已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=.【答案】【详解】∵平面向量与的夹角为，∴.∴故答案为.点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．(2)常用来求向量的模．15．已知两条不重合的直线，，两个不重合的平面，，有下列四个命题：①若，，则；②若，，且，则；③若，，，，则；④若，，且，，则．其中所有正确命题的序号为．【答案】②④【分析】由题意，利用线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理、面面平行的判定定理逐一考查所给的命题是否成立即可.【详解】逐一考查所给的命题：①若，，有可能，不一定有，题中的命题错误；②若，，且，由线面垂直的性质定理可得，题中的命题正确；③若，，，，若，有可能与相交，题中的命题错误；④若，，且，，由线面垂直的性质定理可得，题中的命题正确．综上可得：正确命题的序号为②④.【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.16．如图正三棱锥，其中，，点分别为校的中点，则四面体的体积为；【答案】【解析】通过分析判断出，由此求得四面体的体积.【详解】由于分别为棱的中点，所以三角形的面积是三角形的面积的四分之一，而到平面的距离是到平面的距离的一半，所以.正三角形的外接圆半径为，所以正三棱锥的高为，所以，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查锥体体积计算，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.四、解答题17．已知复数，且在复平面内对应的点在函数的图象上.(1)证明：.(2)求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用复数的乘法运算可得，再由复数的几何意义可得，显然，即；（2）由（1）中可得，即的取值范围是.【详解】（1）证明：由题意得，所以在复平面内对应的点为，又在复平面内对应的点在函数的图象上，则，得；所以.（2）由（1）得，则，则.当时，；故的取值范围为.18．已知，，是第三象限角，．求：(1)的值；(2)的值．【答案】(1)(2)【分析】(1)利用给定条件结合同角公式求，再利用二倍角正弦公式计算即得；(2)由条件求出，由(1)求出，再借助和角的余弦公式计算即得.【详解】（1）因为是第三象限角，，则．所以，（2）因为，，则，又，所以19．在（1），；（2），；（3），.这三个条件中，任选一个补充在下面问题中的横线处，并加以解答.已知的内角，，的对边分别为，，，若，______，求的周长和面积.【答案】答案见解析【分析】选①，用两角和的正弦公式和诱导公式求出，再由正弦定理求出，，从而得得三角形周长，由面积公式计算面积；选②，用正弦定理化角为边，再结合余弦定理求出，，从而得得三角形周长，由面积公式计算面积；选③，由余弦定理求出后可得周长，由面积公式可计算面积．【详解】选①因为，，且，，所以，.在中，，即，所以，由正弦定理得，因为，所以，所以的周长，的面积.选②因为，所以由正弦定理得，.因为，所以.又因为，由余弦定理得，所以，解得，所以，所以的周长，的面积.选③因为，，所以由余弦定理得，，即，解得或(舍去).所以的周长.因为，所以，所以的面积.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，其中正弦定理常用来进行边角关系的转换．考查三角形面积公式，属于中档题．20．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点D是AB的中点．（1）求证：AC1//平面CDB1；（2）求证：AC⊥BC1．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）设与的交点为,连接,可证得，从而可得线面平行；（2）由勾股定理逆定理得，由直棱柱性质可得，从而有线面垂直，再得线线垂直．【详解】（1）设与的交点为,连接,如图，则四边形为矩形，∴是的中点，又∵是的中点，∴.∵平面平面,∴平面．（2）在直三棱柱中，底面三边长，所以又因为,所以平面.因为平面，所以21．如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足．(1)求的取值范围；(2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由题意得，结合即可得解；（2）由，求解即可.【详解】（1）在直角三角形中，．∴，，，∵，∴．（2）令，得或（舍）.∴存在实数，使得．22．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点在线段上，且．(1)探究在线段上是否存在点，使得平面，若存在，试证明你的结论；若不存在，请说明理由．(2)设二面角的大小为，若，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)存在点，当时平面，证明见解析；(2)【分析】（1）当时平面，连接，交于点，连接，利用相似比证明，然后由线面平行的判定定理证明即可；（2）取的中点，连接，，可得为二面角的平面角，在中利用余弦定理求解，过点作，交于点，可证平面，又平面，所以即为点到平面的距离，再利用等面积法求出，再求出的长，利用边角关系求解即可．【详解】（1