2022-2023学年辽宁省辽阳市高一年级下册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年辽宁省辽阳市高一下学期期末数学试题一、单选题1．复数的虚部为（

）A．5 B．3 C． D．【答案】A【分析】先将复数化为代数形式，可得虚部为5.【详解】，则复数的虚部为5．故选：A2．若是第二象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【分析】先判断角终边的位置，然后再判断出角终边的位置.【详解】由与的终边关于轴对称，可知若是第二象限角，则是第三象限角，所以是第二象限角．故选：B.3．已知向量，若，则（

）A． B．1 C．3 D．7【答案】D【分析】先求出，根据即可求解.【详解】，由，可得，即，解得.故选：D.4．已知为平面外一点，则下列判断错误的是（

）A．过点只能作一个平面与平行 B．过点可以作无数条直线与平行C．过点只能作一个平面与垂直 D．过点只能作一条直线与垂直【答案】C【分析】利用空间中线与面的平行关系与垂直关系进行判断即可.【详解】过平面外一点只能作一个平面与平行，故A正确；平面外一点可以作无数条直线与平行，故B正确；平面外一点只能作一条直线与垂直，故D正确；平面外一点可以作无数个平面与垂直，故C错误.故选：C.5．已知函数在上的最小值为，则的值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】根据余弦函数的图象性质判断即可.【详解】因为，所以．由于函数在上的最小值为，则在上的最小值为，又所以，解得．故选：C.6．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先由诱导公式得，再根据正弦函数，正切函数的单调性可得.【详解】，因为，又因在上单调递增，所以，又，在上单调递增，所以，所以．故选：A7．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，PA=4，E为侧棱PC的中点，则异面直线BE与PA所成角的正切值为（

）

A． B． C．1 D．【答案】D【分析】根据线线平行即可得∠BEO为异面直线BE与PA所成的角，由三角形的边角关系即可求解.【详解】连接AC，BD，设AC∩BD=O，则O是AC，BD的中点，连接OE，由于E是PC的中点，所以，则∠BEO为异面直线BE与PA所成的角，OE=PA=2，BO=，由于PA⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD，而平面,所以，则.故选：D

8．罗定文塔，位于广东省云浮市罗定市城区．罗定文塔原名为三元宝塔，“三元”的意思是希望当时广东罗定州的考生在科举考试中能连中“三元”．宝塔平面上呈八角形，各层塔檐微微翘起，状如绽开的花瓣．顶层的莲花座铁柱、塔刹九霄盘、宝珠等铸件总重逾七吨，为广东古塔之最．如图，为了测量罗定文塔的高度，选取了与该塔底在同一平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得罗定文塔顶端的仰角为，则罗定文塔的高度（

）（参考数据：取）

A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出，在中由正弦定理求出，再由，计算可得结果.【详解】因为，，所以，在中由正弦定理，即，在中故选：B二、多选题9．已知复数满足，则（

）A． B．是纯虚数C． D．复数z在复平面内对应的点在第四象限【答案】ABD【分析】根据复数的概念以及几何意义、除法运算求解即可.【详解】设，则，由，可得，所以解得，因此，A正确；，为纯虚数，B正确；，C错误；，其在复平面内对应的点为，在第四象限，D正确．故选:ABD．10．已知函数，则（

）A．的最小正周期为2π B．为奇函数C．在区间上单调递增 D．的最小值为【答案】BCD【分析】根据二倍角公式可化简，进而根据正弦型函数的性质即可结合选项逐一求解.【详解】，则的最小正周期，故A错，又，所以为奇函数，故B正确，令,解得，所以的单调递增区间为，令，得的其中一个单调递增区间为，故C正确，当时，取最小值为，故D正确.故选：BCD.11．已知的内角的对边分别为，已知，锐角C满足，则（

）A．的面稘为 B．C． D．【答案】BC【分析】由三角形的面积公式，可判定A错误；由三角函数的基本关系式，可判定B正确，由余弦定理，可判定C正确，D错误.【详解】在中，因为，且，由三角形的面积公式，可得，所以A错误；由为锐角，且，可得，所以B正确；由余弦定理得，可得，所以C正确；由余弦定理得，所以D不正确.故选：BC.12．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则（

）A．该圆锥的底面半径为2B．该圆锥的高为C．该圆锥的表面积为D．能制作的零件体积的最大值为【答案】BCD【分析】根据侧面展开图和圆锥的关系可求得圆锥底面圆的半径以及圆锥的高，进而可求圆锥的表面积，再根据圆锥内切球的半径与轴截面内切圆的半径相等即可求能制作的零件体积的最大值.【详解】由题意得该圆锥的母线长为4，设圆锥的底面半径为，高为，由，得，A错误；则，B正确；所以该圆锥的表面积为，C正确；

如图，圆锥内切球的半径等于(轴截面)内切圆的半径，设的内切圆为圆，其半径为，由，得，得，故能制作的零件体积的最大值为，D正确；故选:BCD.三、填空题13．若，且，则．【答案】【分析】先根据，，求出，再由两角和的正切公式即可求解.【详解】因为，且，所以，所以，则．故答案为：14．设复数在复平面内对应的点为，若，则的最大值为．【答案】7【分析】根据复数的几何意义分析可得：点组成的集合是圆心在原点O，半径的圆及其内部，结合圆的性质运算求解.【详解】因为，则点组成的集合是圆心在原点O，半径的圆及其内部．的坐标为．所以的最大值为．故答案为：7.四、双空题15．已知外接圆的半径为1，且，则，边的中点为，的面积为，则．【答案】【分析】第一空由正弦定理可得；第二空由三角形面积公式可得，由余弦定理可得，利用平面向量数量积转换可得.【详解】设中角所对的边分别为，由正弦定理可知，因则；

，则，由余弦定理得，则，由题意所以故答案为：；五、填空题16．在数学探究活动课中，小华进行了如下探究:如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点A固定在地面上，使得AD，AB，AA1三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过BB1的中点，若AB=1，则该水平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为.

【答案】/【分析】先根据三条棱与水平面所成角均相等，得出水面与平面A1BD平行，再根据特点得出截面为正六边形，然后可得答案.【详解】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD，AB，AA1与平面A1BD所成的角是相等的，所以水平面平行于平面A1BD，又水平面恰好经过BB1的中点，则水平面截正方体所得的截面是过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积.故答案为：

六、解答题17．已知向量为单位向量，且．(1)求的值；(2)向量在上的投影的数量为，且向量在上的投影的数量为，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平面向量的模长求解数量积，再根据向量夹角余弦公式可得答案；（2）根据数量积的几何意义投影数量公式，结合数量积的云算即可得的值．【详解】（1）因为向量为单位向量，所以所以，即，则．（2）向量在上的投影的数量为，则，又向量在上的投影的数量，又，则，所以．18．已知．(1)求的值；(2)若，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据两角差的余弦公式及辅助角公式将已知化简，再将根据诱导公式结合二倍角的余弦公式即可得解；（2）先根据平方关系求出，再根据结合两角差的余弦公式即可得解.【详解】（1）由，可得，则，所以，则；（2）因为，所以，又，则，所以，．19．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点.

(1)证明：平面.(2)证明：平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明为平行四边形，从而得到，即可得证；（2）首先证明平面，即可得到平面，从而得证.【详解】（1）取的中点，连接、，因为，分别为，的中点，所以且，又三棱柱是正三棱柱，所以，，所以且，所以为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.

（2）在正三棱柱中为的中点，所以，又平面，平面，所以，，平面，所以平面，又，所以平面，又平面，所以平面平面.20．函数的部分图象如图所示.已，，，.(1)求和的解析式;(2)将的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域.【答案】(1)，(2)【分析】（1）设的最小正周期为，则可得，由周期公式可求出，结合图象可求出，再由可求出，然后将代入解析式中可求出的值，从而可求出，（2）由三角函数图象变换规律求出的解析式，再由，可得，然后利用正弦函数的性质可求出函数的值域.【详解】（1）设的最小正周期为，因为，，所以，所以，，所以，，因为，所以，因为，所以，所以，将点的坐标代入，得，所以，解得，因为，所以，所以；（2）将的图象向右平移个单位长度后，可得的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象.由，可得，所以，所以，所以在上的值域为.21．在中，角所对的边分别为，__________．在①；②这两个条件中任选一个，补充在上面横线上，并加以解答．(1)求角；(2)若为锐角三角形，求的取值范围．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．【答案】(1);(2).【分析】（1）选择条件①：由正弦定理、两角和的正弦公式及诱导公式可求出的值，从而可求角；选择条件②：由正弦定理可得，根据两角差的正弦公式，结合角的范围即可求解；（2）由余弦定理可得，根据正弦定理求出的取值范围即可.【详解】（1）若选择条件①．由正弦定理，得，即，因为，所以，所以，则．若选择条件②．因为，由正弦定理可得，即，所以，因为，所以，所以，又因为，所以．（2）由余弦定理，可得，则，所以，则，由正弦定理，得，因为，所以，所以，即的取值范围为．22．如图，在正三棱台中，，.(1)证明:.(2)过的平面α交分别于，若平面，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）综合应用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；（2）综