二次函数-最值不在顶点处含答案和试题分析和考点分析

二次函数---最值不在顶点处参考答案与试题解析一．解答题〔共15小题〕1．〔2014•〕在美化校园的活动中，*兴趣小组想借助如下图的直角墙角〔两边足够长〕，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD〔篱笆只围AB，BC两边〕，设AB=*m．〔1〕假设花园的面积为192m2，求*的值；〔2〕假设在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园〔含边界，不考虑树的粗细〕，求花园面积S的最大值．【解答】解：〔1〕∵AB=*，则BC=〔28﹣*〕，∴*〔28﹣*〕=192，解得：*1=12，*2=16，答：*的值为12或16；〔2〕∵AB=*m，∴BC=28﹣*，∴S=*〔28﹣*〕=﹣*2+28*=﹣〔*﹣14〕2+196，∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，∵28﹣15=13，∴6≤*≤13，∴当*=13时，S取到最大值为：S=﹣〔13﹣14〕2+196=195，答：花园面积S的最大值为195平方米．2．〔2014•资阳〕*商家方案从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1〔元/台〕与采购数量*1〔台〕满足y1=﹣20*1+1500〔0＜*1≤20，*1为整数〕；冰箱的采购单价y2〔元/台〕与采购数量*2〔台〕满足y2=﹣10*2+1300〔0＜*2≤20，*2为整数〕．〔1〕经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？〔2〕该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在〔1〕的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．【解答】解：〔1〕设空调的采购数量为*台，则冰箱的采购数量为〔20﹣*〕台，由题意得，，解不等式①得，*≥11，解不等式②得，*≤15，所以，不等式组的解集是11≤*≤15，∵*为正整数，∴*可取的值为11、12、13、14、15，所以，该商家共有5种进货方案；〔2〕设总利润为W元，空调的采购数量为*台，y2=﹣10*2+1300=﹣10〔20﹣*〕+1300=10*+1100，则W=〔1760﹣y1〕*1+〔1700﹣y2〕*2，=1760*﹣〔﹣20*+1500〕*+〔1700﹣10*﹣1100〕〔20﹣*〕，=1760*+20*2﹣1500*+10*2﹣800*+12000，=30*2﹣540*+12000，=30〔*﹣9〕2+9570，当*＞9时，W随*的增大而增大，∵11≤*≤15，∴当*=15时，W最大值=30〔15﹣9〕2+9570=10650〔元〕，答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．3．〔2015•〕*企业生产并销售*种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产本钱y1〔单位：元〕、销售价y2〔单位：元〕与产量*〔单位：kg〕之间的函数关系．〔1〕请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；〔2〕求线段AB所表示的y1与*之间的函数表达式；〔3〕当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？【解答】解：〔1〕点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产本钱与销售价相等，都为42元；〔2〕设线段AB所表示的y1与*之间的函数关系式为y=k1*+b1，∵y=k1*+b1的图象过点〔0，60〕与〔90，42〕，∴∴，∴这个一次函数的表达式为；y=﹣0.2*+60〔0≤*≤90〕；〔3〕设y2与*之间的函数关系式为y=k2*+b2，∵经过点〔0，120〕与〔130，42〕，∴，解得：，∴这个一次函数的表达式为y2=﹣0.6*+120〔0≤*≤130〕，设产量为*kg时，获得的利润为W元，当0≤*≤90时，W=*[〔﹣0.6*+120〕﹣〔﹣0.2*+60〕]=﹣0.4〔*﹣75〕2+2250，∴当*=75时，W的值最大，最大值为2250；当90≤*≤130时，W=*[〔﹣0.6*+120〕﹣42]=﹣0.6〔*﹣65〕2+2535，由﹣0.6＜0知，当*＞65时，W随*的增大而减小，∴90≤*≤130时，W≤2160，∴当*=90时，W=﹣0.6〔90﹣65〕2+2535=2160，因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．4．〔2012•〕牡丹花会前夕，我市*工艺厂设计了一款本钱为10元/件的工艺品投放市场进展试销．经过调查，得到如下数据：销售单价*〔元/件〕…2030405060…每天销售量〔y件〕…500400300200100…〔1〕把上表中*、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜测y与*的函数关系，并求出函数关系式；〔2〕当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？〔利润=销售总价﹣本钱总价〕〔3〕市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，则销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？【解答】解：〔1〕画图如图：由图可猜测y与*是一次函数关系，设这个一次函数为y=k*+b〔k≠0〕，∵这个一次函数的图象经过〔20，500〕、〔30，400〕这两点，∴，解得：，∴函数关系式是y=﹣10*+700．〔2〕设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得：W=〔*﹣10〕〔﹣10*+700〕，=﹣10*2+800*﹣7000，=﹣10〔*﹣40〕2+9000，∴当*=40时，W有最大值9000元．〔3〕对于函数W=﹣10〔*﹣40〕2+9000，当*≤35时，W的值随着*值的增大而增大，故销售单价定为35元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．5．〔2015秋•江岸区期中〕2015年十一黄金周商场大促销，*店主方案从厂家采购高级羽绒服和时尚皮衣两种产品共20件，高级羽绒服的采购单价y1〔元/件〕与采购数量*1〔件〕满足y1=﹣20*1+1500〔0＜*1≤20，*1为整数〕；时尚皮衣的采购单价y2〔元/件〕与采购数量*2〔件〕满足y2=﹣10*2+1300〔0＜*2≤20，*2为整数〕．〔1〕经店主与厂家协商，采购高级羽绒服的数量不少于时尚皮衣数量，且高级羽绒服采购单价不低于1240元，问该店主共有几种进货方案？〔2〕该店主分别以1760元/件和1700元/件的销售出高级羽绒服和时尚皮衣，且全部售完，则在〔1〕问的条件下，采购高级羽绒服多少件时总利润最大？并求最大利润．【解答】解：〔1〕设购置羽绒服*件，则购置皮衣〔20﹣*〕件，则：，∴10≤*≤13且为整数，∴该店主有4种进货方案：羽绒服10件，皮衣10件；羽绒服11件，皮衣9件；羽绒服12件，皮衣8件；羽绒服13件，皮衣7件；〔2〕设购置羽绒服*件，利润为W元，则W=〔1760+20*﹣1500〕*+〔1700+10〔20﹣*〕﹣1300〕〔20﹣*〕=30〔*﹣9〕2+9570〔10≤*≤13且为整数〕∵a=30＞0，∴当10≤*≤13且为整数是，W随*的增大而增大，∴当*=13时，最大利润为10050元．答：当采购羽绒服13件时，有最大利润为10050元．6．〔2014•一模〕我市“上品〞房地产开发公司于2010年5月份完工一商品房小区，6月初开场销售，其中6月的销售单价为0.7万元/m2，7月的销售单价为0.72万元/m2，且每月销售价格y1〔单位：万元/m2〕与月份*〔6≤*≤11，*为整数〕之间满足一次函数关系：每月的销售面积为y2〔单位：m2〕，其中y2=﹣2000*+26000〔6≤*≤11，*为整数〕．〔1〕求y1与月份*的函数关系式；〔2〕6～11月中，哪一个月的销售额最高？最高销售额为多少万元？〔3〕2010年11月时，因会受到即将实行的“国八条〞和房产税政策的影响，该公司销售部预计12月份的销售面积会在11月销售面积根底上减少20a%，于是决定将12月份的销售价格在11月的根底上增加a%，该方案顺利完成．为了尽快收回资金，2011年1月公司进展降价促销，该月销售额为〔1500+600a〕万元．这样12月、1月的销售额共为4618.4万元，请根据以上条件求出a的值为多少？【解答】解：〔1〕设y1=k*+b〔k≠0〕，由题意解得：．〔2〕设第*个月的销售额为W万元，则W=y1y2=〔0.02*+0.58〕〔﹣2000*+26000〕=﹣40*2﹣640*+15080，∴对称轴为直线*=﹣=﹣=﹣8，∵当6≤*≤11是W随*的增大而减小，∴当*=6时，Wma*=﹣40×62﹣640×6+15080=9800〔6分〕∴6月份的销售额最大为9800万元．〔3〕11月的销售面积为：﹣2000×11+26000=4000〔m2〕11月份的销售价格为：0.02×11+0.58=0.8〔万元/m2〕由题意得：4000〔1﹣20a%〕×0.8〔1+a%〕+1500+600a=4618.4，化简得：4a2+5a﹣51=0，解得：〔舍〕∴a=3．7．*商场6月份准备出售一批进价为1500元每台的空调，根据市场调查一般这种空调的售价f和销售量q随着天数*的变化如下：q=200+*，销售价格f：当1＜*≤30时，f=1600+*，当30＜*≤60时，f=1500+．〔1〕请计算出第几天售价为1605元每台；〔2〕写出第*天获得的利润y与*的关系；〔3〕这60天中，哪一天出售获得利润最大？最大利润是多少？【解答】解：〔1〕令y=1605．则当1600+*=1650时，解得*=15〔符合题意〕；当1500+=1605时，解得*=〔*不是整数，舍去〕．所以，第15天售价为1605元每台；〔2〕假设第*天获得的利润为W，W=每台的利润×销量=〔每台售价﹣每台进价〕×销量=〔f﹣1500〕×q．当1＜*≤30时，W=〔1600+*﹣1500〕×〔200+*〕=*2+*+20000．当30＜*≤60时，W=〔1500+﹣1500〕×〔200+*〕=+3300；综上所述，第*天获得的利润y与*的关系为：y=；〔3〕①当1＜*≤30时，W=*2+*+20000=〔*+250〕2﹣．∴对称轴为：*=﹣250．∵＞0，∴抛物线开口方向向上，在对称轴的右侧，y随*的增大而增大，∴当*=30时，y最大=〔30+250〕2﹣=25300．②设t=〔30＜*≤60〕．∵660000＞0，∴在第一象限，t随*的增大而减小，∴当30＜*≤60时，+3300＜+3300．综上所述，当*=30时，y最大=25300．答：这60天中，第30天出售获得利润最大，最大利润是25300元．8．〔2016•滕州市校级模拟〕*公司拟用运营指数y来量化考核司机的工作业绩，运营指数〔y〕与运输次数〔n〕和平均速度〔*〕之间满足关系式为y=a*2+bn*+100，当n=1，*=30时，y=190；当n=2，*=40时，y=420．〔1〕用含*和n的式子表示y；〔2〕当运输次数定为3次，求获得最大运营指数时的平均速度；〔3〕假设n=2，*=40，能否在n增加m%〔m＞0〕，同时*减少m%的情况下，而y的值保持不变？假设能，求出m的值；假设不能，请说明理由．参考公式：抛物线y=a*2+b*+c〔a≠0〕的顶点坐标是〔﹣，〕【解答】解：〔1〕由条件可得，解得．故；〔2〕当n=3时，，由可知，要使y最大，；〔3〕把n=2，*=40带入，可得y=420，再由题意，得，即2〔m%〕2﹣m%=0解得m%=，或m%=0〔舍去〕则m=50．9．〔2015•〕市化工材料经销公司购进一种化工原料假设干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y〔千克〕是销售单价*〔元〕的一次函数，且当*=60时，y=80；*=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．〔1〕求出y与*的函数关系式，并写出自变量*的取值围．〔2〕求该公司销售该原料日获利w〔元〕与销售单价*〔元〕之间的函数关系式．〔3〕当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？【解答】解：〔1〕设y=k*+b，根据题意得，解得：k=﹣2，b=200，∴y=﹣2*+200〔30≤*≤60〕；〔2〕W=〔*﹣30〕〔﹣2*+200〕﹣450=﹣2*2+260*﹣6450=﹣2〔*﹣65〕2+2000；〔3〕W=﹣2〔*﹣65〕2+2000，∵30≤*≤60，∴*=60时，w有最大值为1950元，∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元．10．〔2015•〕为了节省材料，*水产养殖户利用水库的岸堤〔岸堤足够长〕为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如下图的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为*m，矩形区域ABCD的面积为ym2．〔1〕求y与*之间的函数关系式，并注明自变量*的取值围；〔2〕*为何值时，y有最大值？最大值是多少？【解答】解：〔1〕∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE=2BE，设BE=a，则AE=2a，∴8a+2*=80，∴a=﹣*+10，3a=﹣*+30，∴y=〔﹣*+30〕*=﹣*2+30*，∵a=﹣*+10＞0，∴*＜40，则y=﹣*2+30*〔0＜*＜40〕；〔2〕∵y=﹣*2+30*=﹣〔*﹣20〕2+300〔0＜*＜40〕，且二次项系数为﹣＜0，∴当*=20时，y有最大值，最大值为300平方米．11．〔2015•〕小明开了一家网店，进展社会实践，方案经销甲、乙两种商品．假设甲商品每件利润10元，乙商品每件利润20元，则每周能卖出甲商品40件，乙商品20件．经调查，甲、乙两种商品零售单价分别每降价1元，这两种商品每周可各多销售10件．为了提高销售量，小明决定把甲、乙两种商品的零售单价都降价*元．〔1〕直接写出甲、乙两种商品每周的销售量y〔件〕与降价*〔元〕之间的函数关系式：y甲=10*+40，y乙=10*+20；〔2〕求出小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润W〔元〕与降价*〔元〕之间的函数关系式？如果每周甲商品的销售量不低于乙商品的销售量的，则当*定为多少元时，才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大？【解答】解：〔1〕由题意得，y甲=10*+40；y乙=10*+20；〔2〕由题意得，W=〔10﹣*〕〔10*+40〕+〔20﹣*〕〔10*+20〕=﹣20*2+240*+800，由题意得，10*+40≥〔10*+20〕解得*≤2，W=﹣20*2+240*+800=﹣20〔*﹣6〕2+1520，∵a=﹣20＜0，∴当*＜6时，W随*增大而增大，∴当*=2时，W的值最大．答：当*定为2元时，才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大．12．〔2015•〕*动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票窗口，普通售票窗口从上午8点开放，而无人售票窗口从上午7点开放，*日从上午7点到10点，每个普通售票窗口售出的车票数y1〔〕与售票时间*〔小时〕的变化趋势如图1，每个无人售票窗口售出的车票数y2〔〕与售票时间*〔小时〕的变化趋势是以原点为顶点的抛物线的一局部，如图2，假设该日截至上午9点，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好一样．〔1〕求图2中所确定抛物线的解析式；〔2〕假设该日共开放5个无人售票窗口，截至上午10点，两种窗口共售出的车票数不少于900，则至少需要开放多少个普通售票窗口？【解答】解：〔1〕设，当*=2时，y1=y2=40，把〔2，40〕代入，4a=40，解得：a=10，∴．〔2〕设y1=k*+b〔1≤*≤3〕，把〔1，0〕，〔2，40〕分别代入y1=k*+b得：解得：，∴y1=40*﹣40，当*=3时，y1=80，y2=90，设需要开放m个普通售票窗口，∴80m+90×5≥900，∴m≥5，∴m取整数，∴m≥6．答：至少需要开放6个普通售票窗口．13．〔2015•**自主招生〕如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底120米，下底180米，上下底相距80米，在两腰中点连线〔虚线〕处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为*米．〔1〕用含*的式子表示横向甬道的面积；〔2〕当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；〔3〕根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用〔万元〕与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余局部的绿化费用为每平方米0.02万元，则当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？【解答】解：〔1〕横向甬道的面积为：*=150*〔m2〕；〔2〕横向甬道的面积为：*=150*〔m2〕；甬道总面积为150*+160*﹣2*2=310*﹣2*2，依题意：310*﹣2*2=××80，整理得：*2﹣155*+750=0，*1=5，*2=150〔不符合题意，舍去〕，∴甬道的宽为5米；〔3〕∵花坛上底120米，下底180米，上下底相距80米，∴等腰梯形的面积为：〔120+180〕×80=12000，∵甬道总面积为S=310*﹣2*2，绿化总面积为12000﹣S，花坛总费用y=甬道总费用+绿化总费用：∴y=5.7*+〔12000﹣S〕×0.02，=5.7*﹣0.02S+240，=5.7*﹣0.02〔310*﹣2*2〕+240，=0.04*2﹣0.5*+240，当*=﹣=6.25时，y的值最小．∵根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，∴当*=6米时，总费用最少．即最少费用为：0.04×62﹣3+240=238.44万元．14．〔2015•铜梁县校级模拟〕直辖市之一的，开展的速度是不容置疑的．很多人把作为旅游的首选之地．“不览夜景，未到〞．乘游船夜游两江，犹如在星河中畅游，是一个近距离认识的最正确窗口．“两江号〞游轮经过核算，每位游客的接待本钱为30元．根据市场调查，同一时间段里，票价为40元时，每晚将售出船票600，而票价每涨1元，就会少售出10船票．〔1〕假设该游轮每晚获得10000元利润，则票价应定为多少元？〔2〕端午节期间，工商管理部门规定游轮船票单价不能低于42元，同时该游轮为提高市场占有率，决定每晚售出船票数量不少于560，则票价应定为多少元，才能使每晚获得的利润最大？最大利润是多少？【解答】解：〔1〕设假设该游轮每晚获利10000元，票价为*元〔*﹣30〕[600﹣10〔*﹣40〕]=10000*2﹣130*+4000=0〔*﹣50〕〔*﹣80〕=0*1=50，*2=80；答：设假设该游轮每晚获利10000元，票价为50元，或票价为80元．〔2〕设票价为m元，利润为W元解得42≤m≤44W=〔*﹣30〕[600﹣10〔*﹣40〕]=﹣10*2+1300*﹣30000=﹣10〔*2﹣1