重庆市第十一中学2024届高三上学期第一次质量监测数学试题 Word版含解析

重庆市第十一中学高2024届高三第一次质量监测数学试题2023.9一、单项选择：本题共8小题，每小题5分，共40分1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式得集合，然后由交集定义计算．【详解】由题意，∴．故选：A．2.直线的倾斜角为（）A.30° B.60° C.150° D.120°【答案】B【解析】【分析】先由直线方程求出斜率，再由斜率求出直线的倾斜角得解.【详解】，故选：B【点睛】此题考查由直线方程求直线的倾斜角，属于基础题.3.已知直线，，若且，则的值为（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】由两直线的平行与垂直求得值后可得结论.【详解】由题意,，，，所以．故选：C．4.设随机变量服从正态分布，若，则（）A.0.8 B.0.7 C.0.9 D.0.2【答案】A【解析】【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案.【详解】由于，所以，所以.故选：A5.已知圆与圆的公共弦所在直线经过定点P，且点在直线上，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将两圆的方程相减求得两圆的公共弦方程，继而求得，从而得到，由此利用配方法即可得解.【详解】因为圆，圆，两圆相减得，两圆的公共弦方程为，故定点满足，即，故.又点在直线上，故，即，所以，故的取值范围是.故选：A.6.已知曲线与直线相切，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设切点为，由导数几何意义写出切线方程，由切线方程是得出关系，消去得的关系式，然后令，再利用导数求得的最大值，即可得结论．【详解】设切点为，，时，，，切线方程，又切线方程为，即，所以，消去得，易知，所以，令，则，当时，，递增，当时，，递减，所以时，，从而取得最大值．故选：C．7.已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误得数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平均数与方差的定义判断．【详解】因为，因此平均数不变，即，设其他48个数据依次为，因此，，，∴，故选：C．8.椭圆和圆，（为椭圆的半焦距），对任意的恒有四个交点，则椭圆的离心率的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由圆的半径大于椭圆的短半轴长且小于椭圆的长半轴长得不等关系，从而得的不等关系，再结合可得离心率的范围．【详解】由题意对于恒成立，∴，由得，，，，又，即，整理得，又，∴．故选：B．二、多项选择：本题共4小题，每小题5分，共20分9.已知圆，则下列说法正确的是（）A.直线与圆相切B.圆截y轴所得的弦长为C.点在圆外D.圆上的点到直线的最小距离为【答案】AC【解析】【分析】由直线与圆的位置关系可以判断AB，由点与圆的位置关系可以判断C，由直线与圆的位置关系结合点到直线的距离的公式可判断D【详解】因为，所以，则圆心，半径，对于A：因为圆心到直线的距离为，故A正确；对于B：圆截y轴所得的弦长为，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：因为圆心到直线的距离为，则圆上点到直线的最小距离为，故D错误.故选：AC.10.已知，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据二项式定理以及赋值法相关知识直接计算求解即可.【详解】对于A，令，得到，故A正确；对于B，的通项公式为，令，得到，令，得到，所以，故B错误；对于C，令，得到，故C正确；对于D，令，则，又因为，两式相减得，则，故D正确.故选：ACD11.公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为“黄金分割比”，把离心率为“黄金分割比”倒数的双曲线叫做“黄金双曲线”．黄金双曲线的一个顶点为，与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦，为中点．设双曲线的离心率为，则下列说法中，正确的有（）A. B.C. D.若，则恒成立【答案】ABC【解析】【分析】由黄金分割双曲线定义求得双曲线的离心率，判断A，证明，利用射影定理证明，判断B，利用点差法求判断C，联立方程求出坐标，计算，判断D.【详解】由为黄金分割双曲线可得，即，对两边同除以可得，则，A正确；对继续变形得，，，，所以，又，所以，，所以，所以，所以，B正确；设，，，将坐标代入双曲线方程可得，，作差后整理可得，即所以，故C正确；设直线，则直线，将代入双曲线方程，可得，则，，将换成即得，则与，的值有关，故D错误，故选：ABC．【点睛】点差法是解决中点弦问题的常用的方法.12.对函数，以下说法正确的有（）A.在处取得极小值B.只有一个零点C.D.若在上恒成立，则【答案】BCD【解析】【分析】求出导函数，由它确定函数的单调性与极值，判断A，结合零点存在定理确定零点个数，判断C，利用单调性比较大小，判断C，用分离参数法变形不等式，然后求得新函数的最值得参数范围判断D．【详解】时，，递增，时，，递减，因此在处取得极大值，A错；，因此在上有一个零点，时，，无零点，B正确；显然，因此，C正确；在上恒成立，即在上恒成立，设，则，时，，递增，时，，递减，因此，所以由在上恒成立，得．D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4题，每题5分13.设函数，则=__；【答案】1【解析】【分析】先对函数求导，然后再求出【详解】由，得，所以，故答案为：114.已知倾斜角是的直线l过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则弦长_____．【答案】【解析】【分析】设，，利用抛物线的性质，求出，再结合韦达定理求出即可．【详解】解：设，，A，B到准线的距离分别为，，由抛物线的定义可知，，于是，由已知得抛物线的焦点为，斜率，所以直线AB方程为，将代入方程，化简得．由求根公式得，于是，故答案为：．15.临夏刺绣是传统民间工艺，历史悠久，享有“一针一世界，一绣一繁华”的美誉，2018年被列为市级非物质文化遗产名录、刺绣精巧别致、种类多样．现有两人都准备从“床布、门帘、中堂、墙帱”四个物体中随机购买一个，设事件为“两人至少有一人购买墙帱”，事件为“两人选择的物件不同”，则__________．【答案】【解析】【分析】根据条件概率公式可求出结果.【详解】，，所以.故答案为：.16.已知双曲线，过双曲线的上焦点作圆的一条切线，切点为M，交双曲线的下支于点为的中点，则三角形的外接圆的周长为_________【答案】##【解析】【分析】先求得，根据双曲线的定义求得，从而求得，由得到三角形的外接圆的直径，从而求得三角形的外接圆的周长.【详解】依题意，双曲线，，则，，，所以，所以，设是双曲线的下焦点，设，，根据抛物线的定义可知，，在三角形中，由余弦定理得：，解得，由于是的中点，是的中点，所以，由于三角形是直角三角形，，所以是三角形外接圆的直径，所以外接圆的周长为.故答案为：【点睛】有关直线和圆相切的问题，要把握住圆心和切点的连线与切线垂直.研究双曲线焦点三角形有关的问题，可考虑通过双曲线的定义来列方程，建立等量关系式，从而解决所求问题.直角三角形外接圆的直径是直角三角形的斜边.四、解答题：本题共6小题，共70分17.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若方程有两个实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）减区间是，增区间是（2）【解析】【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；（2）由（1）得出的极值及变化趋势，利用的图象与直线有两个交点可得参数范围．【小问1详解】由已知，时，，时，，所以减区间是，增区间是；【小问2详解】由（1）知时，取得极小值也是最小值，显然时，，，时，，在上递减，在上递增，当时，，作出的大致图象及直线，如图，当时，函数的图象与直线有两个交点，即方程有两个解．18.如图，在四棱锥中，，，点E是线段中点.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用中位线定理与平行四边形证得，从而利用线面平行的判定定理即可得证；（2）依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】取的中点，连接，因为线段中点，所以，，因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；【小问2详解】因为平面平面，所以，因为，所以，所以两两垂直，故以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，因为，，不妨设，则，所以，设平面的法向量为，则，令，则，故，因为平面，所以平面的一个法向量为，所以，结合图形可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.19.如图，为抛物线上四个不同点，直线AB与直线MN相交于点，直线AN过点（1）记A，B的纵坐标分别为，求；（2）记直线AN，BM的斜率分别为，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在说明理由【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，从而求得正确答案.（2）先求得，然后由求得正确答案.【小问1详解】设直线的方程为，由消去并化简得，则.【小问2详解】设直线的方程为，同（1）可求得，设直线的方程为，由消去并化简得，所以.，同理可求得，则，所以存在使得.20.第9届女足世界杯正在澳大利亚和新西兰如火如荼的进行，中国女足再次征战世界杯赛场.为了解我国女子足球水平发展状况，现统计10个省市注册女足职业运动员的数量情况（如下表）;省市辽宁山东湖北广东吉林河南江苏上海河北四川人数320175314212140327344159350189（1）为支持女足的发展，中国足球协会积极推广校园足球基地建设.现注册女足职业运动员有200人以上的地区称为开展女足运动发达地区，不足200人的称为开展女足运动不发达地区，如果中国足球协会准备在上述10个省市随机选择4个地区推进女足校园足球基地建设，记X为选中的女足校园基地为不发达地区的个数，求X的分布列和数学期望；（2）某校为组建女足运动队，对学校女足爱好者进行初步集训并测试，在集训中进行了多轮测试，每轮的测试项目有：1分钟颠球、30米往返跑、12分钟跑.规定：在每一轮测试中，这3项中至少有2项达到“合格”，则概论测试记为“优秀”.已知在一轮测试的3项中，甲队员每个项目达到“合格”的概率均为，每项测试互不影响且每轮测试互不影响.如果甲队员在集训测试中获得“优秀”轮次的平均值不低于3轮，那么至少要进行多少轮测试？【答案】（1）分布列解析，期望为；（2）5.【解析】【分析】（1）确定的可能值为，分别求出概率后可得分布列，再由期望公式计算出期望；（2）求出甲在一轮测试中“优秀”的概率，则其集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，然后求出不等式的最小正整数解即得．【小问1详解】的可能值为,，，，，，所以的分布列为：01234；【小问2详解】记甲一轮测试“优秀”为事件，则，由题意甲队员在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，所以，，因为，所以的最小值为5，所以至少进行5轮测试．21.已知圆：，点，是圆上一动点，若线段的垂直平分线和相交于点.（1）求点的轨迹方程.（2），是的轨迹方程与轴的交点（点在点左边），直线过点与轨迹交于，两点，直线与交于点，求证：动直线过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据几何性质，得出点的轨迹是以，为焦点的椭圆，根据椭圆定义可得标准方程；（2）设直线的方程为，，，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得，写出方程，求得点坐标，再写出方程，令代入方程，结合韦达定理的结论求得，完成证明．【详解】（1）由圆，可得圆心，半径，因为，所以点在圆内，又由点在线段的垂直平分线上，所以，所以，由椭圆的定义知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，，，所以点的轨迹方程为.（2）设直线的方程为，，，，，将代入，得，，，直线的方程为，令得，即，的直线方程为，代入得，所以直线过定点．【点睛】本题考查求椭圆方程，考查椭圆中直线过定点问题，解题关键是掌握椭圆的定义，艇椭圆定义求得椭圆方程，对定点问题，采取设而不的思想方法，即设直线方程，设交点坐标，直线方程代入椭圆方程由韦达定理得，求出动直线的方程，代入定点坐标结合韦达定理的结论完成证明．22.已知函数，为的导函数，（1）当时，（i）求曲线在处的切线方程；（ii）求函数的单调区间；（2）当时，求证：对任意，有.【答案】（1）（i）；（ii）在上单调递减，在上单调递增.（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）（i）利用导数的几何意义求解即可；（ii）求导，通过导函数的符号求解单调区间即可；（2）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证明.【小问1详解】（i）当时，，则，，所以在处切线的斜率，所以切线方程为.（ii）由（i）可知，所以，令解得，所以当时