2024届一轮复习人教A版 第3章导数及其应用第2节导数的应用第3课时利用导数证明不等式-构造法证明不等式 课件（20张）_第1页
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第二节导数的应用第3课时利用导数证明不等式——构造法证明不等式第三章导数及其应用关键能力·研析考点强“四翼”考点1移项作差构造函数证明不等式——综合性01考点2放缩构造法——综合性考点3构造双函数法——综合性例1已知函数f(x)＝ex－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0，1)处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；解：f′(x)＝ex－a，因为f′(0)＝－1＝1－a，所以a＝2，所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2.令f′(x)＝0，解得x＝ln2.当x<ln2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x>ln2时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．所以当x＝ln2时，函数f(x)取得极小值，为f(ln2)＝2－2ln2，无极大值．考点1移项作差构造函数证明不等式——综合性(2)求证：当x>0时，x2<ex.证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.由(1)可得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)>0，所以g(x)在R上单调递增，因此，当x>0时，g(x)>g(0)＝1>0，所以x2<ex.待证不等式的两边含有同一个变量时，一般可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，借助所构造函数的单调性和最值证明不等式成立．

例2已知函数f(x)＝sin2xsin2x.(1)讨论f(x)在区间(0，π)上的单调性；解：由函数的解析式可得f(x)＝2sin3xcosx，则f′(x)＝2(3sin2xcos2x－sin4x)＝2sin2x(3cos2x－sin2x)＝2sin2x(4cos2x－1)＝2sin2x(2cosx＋1)(2cosx－1)，考点2放缩构造法——综合性

例3已知函数f(x)＝x2＋2x－2xex.(1)求函数f(x)的极值；解：因为函数f(x)＝x2＋2x－2xex(x∈R)，所以f′(x)＝2x＋2－2ex－2xex＝(2x＋2)(1－ex)．由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝0，列表如下：考点3构造双函数法——综合性

x(－∞，－1)－1(－1，0)0(0，＋∞)

f′(x)－0＋0－

f(x)

极小值

极大值

1．若直接求导比较复杂

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