基于实物期权的最优资本结构模型

基于实物期权的最优资本结构模型

一、关于最优资本结构的理论分析和实践反思支持公司投资和运营的资本包括债务和权益。资本结构通常由债务比率即杠杆比率(leverageratio)来代表。选择(最优)资本结构的一个常见思路是比较与利用债务资本有关的预期效益(收益)和成本(风险)。这也是权衡理论(trade–offtheory)的思路。按照普遍的共识,利用债务资本的主要好处是公司所得税的节约,通常称为税盾或节税收益(taxshield);而主要不利则来源于破产风险,通常称为破产成本(bankruptcycost)或财务困境成本(financialdistresscost)(Kraus和Litzenberger,1973;Bradley等,1984;Kane等,1984;Brennan等,1984;Frank和Goyal,2007)。众所周知,MM模型I和II(Modigliani和Miller,1958和1963)拉开了现代资本结构研究的大幕。MM模型I既没有考虑债务的节税收益,也没有考虑破产成本,其理论贡献在于定量描述了增加债务带来的股权成本的变化,以及资本总成本和公司价值保持不变的原理。MM模型II考虑了债务的节税收益,但仍然没有考虑破产成本。其理论贡献在于在MM模型I的基础上又定量描述了债务节税收益及其对资本成本和公司价值的影响。在没有公司所得税和破产风险的前提下,MM模型I是成立的;在有公司所得税但没有破产风险的前提下,MM模型II也是成立的。但一个明显的事实是,要得出最优资本结构,必须进行利弊比较,即同时考虑债务带来的所得税节约和破产风险。所以,MM模型I和II的假设前提就决定了它们不可能解决最优资本结构问题。继MM模型I和II之后,权衡理论提出了考虑最优资本结构问题的全面框架。权衡理论作为研究最优资本结构问题的框架既简单又合理。然而,不幸的是,权衡理论一开始就陷入基本概念的错误,包括节税收益和破产成本的概念,再加上破产成本计量的困难,最终导致权衡理论至今没能修成正果。实际上,近年来相关研究已经知难而退,避实就虚,从“求解最优资本结构”转向“解释现实资本结构”,基本不再提“最优”两字,而只是以“资本结构研究”称之。稍做思考就不难明白,“资本结构研究”与“最优资本结构研究”相比,内涵和难度相差甚远。因此,目前各种关于资本结构研究的最新理论进展,诸如信息非对称、融资顺序、代理成本、市场竞争、投资决策、组织形式等等花样翻新的解释(Frank和Goyal,2007)),基本上都不涉及最优资本结构决策的核心利弊(节税收益和破产成本)比较。难怪有调查显示,这些关于资本结构问题的新学说在实际融资和资本结构决策中都不是重要考虑(Servaes和Tufano,2006)。时至今日,虽然相关研究论文越来越多,最初的基本概念错误还是“完好”如初,破产成本的计量也基本没有实质性进展,特别是无法计量健康公司的因负债而产生的破产成本。然而,在基本概念和假设不正确、对变量关系没有更深入理解的情况下,拿来再多的样本数据、做再多的实证研究都是没有意义的。其实,一个理论或决策模型的好坏,一不取决于样本数据的规模,二不取决于考虑变量的多少。相反,正确的基本概念和简明清晰的逻辑才是建立有效模型的两个必备条件。而且在没有遗漏重要变量的前提下,模型中包含的变量越少,则调整余地越大,适应性才越强,应用范围也越广。将相对不重要的变量纳入模型只会掩盖核心的变量关系,损害模型的解释能力和应用潜力。鉴于以往研究的局限和教训,本文的研究首先从更正节税收益和破产成本的定义开始,并在分析变量关系时,力求通过最大程度的概念和思路创新简化数学应用和推导过程,最终得出简单而有效的最优资本结构模型。本文其余部分安排如下:第2部分重新解释最优资本结构和相关的概念,即节税收益和破产成本;第3部分讨论节税收益的估价;第4部分讨论破产成本的估价;第5部分建立最优资本结构模型,即三个ZZ杠杆模型;第6部分总结全文。二、最佳资本结构和相关概念(一)最优资本结构与破产成本权衡理论的基本逻辑是,随着企业资本结构中债务资本比率从无到有逐渐增加,破产成本开始低于节税收益,但以高于节税收益的速度不断增加。在破产成本抵消掉所有的节税收益之前,债务资本比率的增加应该达到一点,在这一点,扣除破产成本的净节税收益达到最大,此时企业便达到了债务资本的最优利用,此时的债务比率就是企业的最优资本结构。所以,最优资本结构通常可定义为:使节税收益和破产成本之差达到最大的债务比率。从这个认识出发,为解决最优资本结构问题或建立最优资本结构模型,本文将集中讨论节税收益和破产或者财务困境成本的问题,而不是其他相对不重要的收益和成本。这也符合权衡理论的传统。在财务上,收益和成本通常逐年计量;而连续数年的总收益和总成本则通过折现加总按其总价值计算。为简便起见,本文将多年节税收益的总价值直接称为节税收益,而将破产成本的价值直接称为破产成本。如果说在不考虑破产风险的前提下,MM模型II假定公司可以在未来无限长时间中获得节税收益(从而总价值为DT)(1)还是可以接受的;那么,在权衡模型下,既然要考虑破产成本,还假定公司可以在未来无限长时间中获得节税收益(DT)就是自相矛盾的了。根据ZZ悖论,在无限长时间中,企业肯定会破产(张志强,2008)。假设企业可以永远获得节税收益明显是错误的。这样假定既过高估计了节税收益,也违背了财务决策的稳健原则。然而,这样的概念错误长期以来没有得到重视和纠正。按照传统的概念,企业债务到期时如果资不抵债就将发生破产,其业务将被迫中断,企业价值将下降到其债务的账面价值之下,而其股权价值将下跌到零。所以,从股东财富考虑,避免破产的重要性远超过节税收益。因此,如果企业真的是依据无限长时间的情况进行最优资本结构决策,那就应该明确地选择0%的债务(或100%的股权),而不是如MM模型II所得出的100%的债务。当然,100%股权和100%债务都不是最优资本结构的正确选择。得出100%股权或100%债务的结论只能说明,在决定最优资本结构时,考虑未来无限长时间范围是一个错误的时期假定。在这样的时期假定下,最优资本结构问题没有解决的可能。不妨设身处地考虑企业面临资本结构决策的情形。首先,资本结构是企业融资决策的结果。因此,融资决策和资本结构决策是同一个决策。根据上面的分析,所谓资本结构决策,主要是权衡节税收益和破产成本。显然,每轮融资或资本结构决策只影响由该轮融资决定的债务规模所带来的节税收益和破产成本。也就是说,决策者要比较和权衡的是“当前”的融资决策所决定的节税收益和破产成本。一般而言,这个“当前”的决策所决定的节税收益和破产成本与以前各轮融资决策无关,与以后各轮融资决策也无关。当然,与未来无限长时间的融资决策更是无关。所以,只要企业在每轮融资决策中选择最优的资本结构,就可以保证企业的资本结构在长期中是动态最优的。接下来的一个问题就是企业的一轮融资周期具体有多长,或者说两次融资之间的间隔有多长?直接思考这个问题有点复杂。在现实中,企业的融资行为受多种因素的影响,有些因素还有很大的不确定性,甚至连企业自己也不清楚究竟下一轮融资是在哪一年。最为确定的情况是,在本轮融资决定的债务到期时企业需要再次考虑融资问题;更为重要的是,在债务到期之前一般不需要考虑破产问题,而债务的到期时间恰巧是决定破产是否发生的时间。破产在传统概念上是指债务到期时公司发生资不抵债的情形。所以,债务周期也正是考虑破产风险和破产成本的最恰当周期。破产在传统概念上是指债务到期时公司发生资不抵债的情形。所以,债务周期也正是考虑破产风险和破产成本的最恰当周期。有些学者在研究资本结构决策时考虑了债务到期之前发生破产的可能性(NengjiuJu,2005),但本文将集中考虑最普遍和最典型的情况,即破产只可能在债务到期时发生。因此,最为合理的考察周期应该是本轮融资决定的债务期限。根据上述分析,重新定义最优资本结构问题为:在债务期限之内使节税收益和破产成本之差达到最大的债务比率。(二)债务资本的种类和期限本文将在一轮融资或一个债务周期的基础上考虑最优资本结构问题。当然,确定了正确的考察周期问题,还只是彻底更正以往节税收益和破产成本概念错误的第一步。关于节税收益和破产成本的概念,还有若干重要的问题需要考虑。在现实中,企业经常有多种到期时间的债务。企业的债务通常被划分为长期债务和短期债务。短期债务的大部分是商业信用以及其他无息债务,许多人认为其没有节税收益,因此目前的资本结构研究通常将这部分债务排除在外,只考虑长期债务。但是,这部分债务同样会造成破产风险,如果不考虑显然会造成破产成本的低估。为避免这种偏差,本文的债务资本是指企业的总债务,包括长期债务和短期债务。与之相对应,债务的期限是指企业所有债务的平均到期期限,包括长期和短期债务;同样,债务的利率是企业长期债务和短期债务的平均利率。(三)从客观成本到最优资本结构关于破产成本的定义目前有多种多样。按照较为广泛接受的定义,破产成本包括直接成本(directcost)和间接成本(indirectcost)。直接成本包括象法律、会计和其他专业服务的费用、债务和组织重组的成本等。以往曾有研究发现在破产之前三年,这类直接成本相当于公司价值的4%到10%之间(Altman,1984)。破产的间接成本包括因销售减少、投入品成本增加、关键员工流失、管理者时间和努力的损失等原因造成的利润下降等。这样的间接成本很难计量(Haugen和Senbet,1988;Andrade和Kaplan,1998),因而,多数以往的研究集中于直接成本。然而,实际上间接成本比直接成本更重要。一般而言,破产的间接成本远远大于更容易观察到的直接成本。不仅如此,间接成本还比直接成本更早和更经常地发生。在多数情况下,企业在其债务到期之后一直保持健康状态,即最终没有发生破产,从而也就不会发生上述直接成本。但即使在这样的情况下,由于债务比率的增加,也会导致企业内部或外部的磨擦增加,从而发生所谓的间接破产成本。所以,至今为止的研究不可避免会低估破产成本。虽然至今没有解决“最优资本结构”问题,但由于节税收益被高估而破产成本被低估,理论上往往认为,与债务的节税收益相比,破产成本不重要,企业应该充分利用债务资本来增加股权收益和企业价值。根据这样的“理论标准”评判现实中的实际资本结构,就会发现在利用债务资本时,绝大多数企业都比较保守。理论上目前将这样一种难以解释的现象称为企业的“财务保守现象”。例如,Graham(2000,2001)发现,典型的企业总是借入远低于理论上最优的债务。深入思考不难明白,间接成本才是真正的破产成本,因而是重要的和不可忽略的,而直接成本不过是破产的交易成本。从而,如果不能计量间接成本,就等于无法计量破产成本,也就无法应用权衡理论。能否计量直接成本其实并不重要。因为一般情况下,企业进在行融资决策时,经理并不考虑当遇到债务支付困难时需要支付多少律师费和会计师费。正如Servaes和Tufano(2006)的调查所显示,传统的破产成本对企业债务融资或资本结构决策而言并不重要。从最早的权衡理论至今,没有人认真追究或质疑过破产成本的定义。但显然,在这样含糊的定义之上很难成功地建立正确的最优资本结构模型。实际上,至今为止的破产成本概念是一个事后的统计概念。但是,当我们考虑债务融资或资本结构决策时,所谓的破产成本应该是指事先考虑的在将来或许会发生的成本的期望值。所以,纠正破产成本概念的错误不是简单地舍弃直接成本或总成本,也不是简单地接受间接成本,而是必须从破产成本的或然特性出发,重新定义它。定义这样的成本概念并不容易。这里先暂时将它定义为随着债务资本的增加所带来的破产风险的增加而减少的企业价值。虽然这不是破产成本的最后定义,但它与破产风险相联系,体现了其“或有”的内在特征。本文的第4部分将进一步通过实物期权来定义破产成本,并通过使用期权定价方法来对其进行定量描述。三、模型假设和变量有多种指标可以用来反映资本结构。本文以总债务的当前价值与总资产(即公司)的当前价值的比率来计量。这与MM模型不同,MM模型是以债务与股权的当前价值比率来计量资本结构的。只要明确计量方式,并在研究中保持始终一致,以这样或那样的方式计量资本结构实际上并不重要。因为很显然,这些计量指标之间可以很方便地相互转换。这里之所以选择这样的计量方式,一是照顾实践中的普遍理解,二是照顾应用定价模型的方便。参照期权定价模型(Black和Scholes,1973),本文以S表示当前公司价值,以X表示当前债务价值。因此,资本结构可以由债务或杠杆比率X/S来代表。遵循期权或实物期权定价的传统,假设公司价值和债务价值预期将按照无风险利率r以连续复利增长,在模型中也以连续复利(利率为r)计算现值(因此有效的年利率实际上大于r)。由于在正常情况即公司健康的情况下,债务的当前市场价值不会明显偏离其账面价值,因此可以假设债务的当前市场价值和账面价值之间没有区别。因而X也就是债务的账面价值,即是计算利息成本的基础。这与MM模型的假设是相同的。除了债务的规模,节税收益还取决于债务的利率、公司所得税率和债务的期限。下面分别用b、f、T表示这三个变量。正如前文所做的假设,b和T分别代表相关的平均数字。除了债务比率X/S、到期时间T和无风险利率r,破产成本还取决于公司价值的波动性。为保持与Black-Scholes期权定价模型一致,下面用σ表示公司价值的年波动率。将上述讨论的变量总结如下:S=企业的当前市场价值;X=当前债务价值=债务的账面价值;b=债务的年利率;f=公司所得税率;r=年无风险利率;σ=公司价值的年波动率;T=债务到期时间(年)。需要注意的是X与期权定价模型中的约定价格X有所不同。本文中的X等同于标准期权定价模型中的X的现值,即Xe-rT。这样的符号安排既有利于模型中变量数据的获得,也有利于最后的模型简化。根据所有债务的价值X、平均期限T和平均利率b估计债务在未来无限长时间的节税收益现值为:在债务到期时计算的未来无限长时间的节税收益的现值为:所以,债务期限内的节税收益的价值为:式(3)表示的节税收益不同于MM模型II中的节税收益(即DT)。为方便区别和称谓,本文将式(3)的节税收益称为ZZ节税收益。很显然ZZ节税收益<MM节税收益。按照符合现实的考虑,现假设一个基准案例:公司价值S=100;总债务X=50,债务的平均期限T=5年(2);这样,目前的债务比率是50%(这不一定是最优债务比率)。参照当前世界各国的正常情况,进一步假设公司所得税率f=33%(3),无风险利率r=5%。根据式(3),ZZ节税收益是50×33%×(1–e–5%×5)=3.65。四、兄弟担保理论根据第二部分的定义,破产成本是按照价值或成本计量的破产风险的影响。按照公司财务理论,企业有两种风险:一是经营风险,表现为企业随着其内外条件的变化而发生收入、利润和价值的波动;二是破产风险,表现为在债务到期时,一旦总资产价值下降到其债务账面价值之下,企业将被迫中断业务经营的情况。如果企业在其资本结构中没有债务,就只有经营风险而没有破产风险和破产成本。换句话说,没有债务的企业,无论其价值多低,都没有因资不抵债而破产的问题。作为当前的惯例,破产在实践中实际上有双重作用。一方面它导致企业的终结;另一方面它导致债权人的损失。因此,这里出现了双重处罚(doublepunishments)。从概念上讲,破产企业已经通过清算交出了一切,并且债权人也已经承担了损失,在此基础上再“额外”中止零价值的企业的运营是不必要的。换句话说,让零价值的企业继续生存不会进一步伤害债权人。作为另一种现实的惯例,为使自己在破产时免受处罚,债权人可以在提供贷款之前要求债务人找到担保人。即使在这种情况下,破产仍然有双重处罚,企业仍然“需要”因为破产而终止经营,所不同的是,原来由债权人承担的处罚现在则由担保人承担了。无论实践中的“惯例”如何,在概念上或逻辑上,双重处罚既不公平也没有必要。不妨设想一种可以避免双重处罚的情况。考虑一个假设的“兄弟担保”(brother’sguarantee)。假设在“亲兄弟”担保下,哥哥为弟弟(或者弟弟为哥哥)的债务提供担保。在开始时,作为债务人的弟弟向作为担保人的哥哥支付公平的担保费,并且哥哥作为担保人许诺,在债务到期时,如果弟弟没有足够的偿付能力,他将支付债务未能足额支付的部分,从而“私下”或“暗中”将弟弟从破产中拯救出来(但是,弟弟仍然需要清算其资产,尽自己所能归还债务)。这样,有了哥哥的担保,弟弟就能够真正从“破产”风险中解脱出来。注意,这个兄弟债务担保除了解除了弟弟的破产危险,其他与实际情况完会一样。在这样的担保下,通过债务人首先支付担保费,完全解除了债务到期时债务人的破产问题,也解除了债权人遭受损失的问题。换句话说,如果债务人的企业不能如期足额归还债务,只有作为担保人的兄弟负担单一的处罚,而债务人和债权人都不会受到进一步处罚。那么兄弟担保意味着什么?因为担保合约可以为债务人兄弟和债权人消除破产风险,它在概念上就意味着在交易开始时所支付的公允担保费等于破产成本。既然破产成本等于公允担保费,那么破产成本的计量问题就转化为如何计算公允担保费或者担保的价值。以往的实物期权研究表明,债务担保是公司价值的一个卖方期权(putoption)(张志强,1999)。如图1所示,包含有风险债务和债务担保的投资组合的内在价值线是一条水平线,这条水平线代表的是无风险债务的内在价值。换句话说,债务担保可以消除有风险债务的风险。图中债务担保的内在价值线完全等同于一个卖方期权的内在价值线,因此,债务担保的价值可以按照卖方期权的价值进行计算。就破产发生的时间而言,如在前面定义中所讨论的,它只可能发生在现有债务到期时,即T时间。因此债务担保作为实物期权正好是一个到期时间为T的标准的欧式卖方期权,可以直接采用标准的Black-Scholes欧式卖方期权定价模型计量破产成本,即:其中,N(-d2)和N(-d1)分别代表在标准正态分布下,变量值取-d2和-d1时的累积概率,而d1和d2则分别通过下面的公式计算:本文的X等同于Black-Scholes模型中的Xe-rT。用X替换式(4)、(5)、(6)中的Xe-rT,可以得出破成本的计量模型:同样为了方便称谓和区别于以往的破产成本概念与计量,本文将式(7)称为ZZ破产成本。不妨在前一部分的“基准案例”基础上再进一步计算具体的破产成本。已知S=100,X=50,f=33%,r=5%,T=5,假设σ=29%(4)。因而。根据式(7)、(8)和(9),d1=1.3931,d2=0.7447;N(-d2)=0.2282,N(-d1)=0.0818;ZZ破产成本=3.23;因此破产成本约为公司价值的3.23/100=3.23%。前一部分得出这家企业的节税收益为3.65,比破产成本稍大些(5)。以往的研究提供了破产成本的一些事实证据。例如,Franks和Torous(1994)发现,破产成本大约为公司价值的50%;Andrade和Kaplan(1998)根据自己的研究样本,得出破产成本相当于公司价值的10-20%;Armstrong和Riddick(2001)发现,在破产发生前36个月期间,股权价值平均将下降61%。撇开这些研究结论的巨大差异不论,这些研究结果对指导健康企业进行资本结构决策意义不大,因为他们的结论都是针对出现财务困境或者接近破产的企业而言的。相反,本文此处的破产成本是针对正常或健康企业的。五、pro34.2最优资本结构模型的建立结合式(3)和(7),即ZZ节税收益减去ZZ破产成本,可以得到利用债务资本的净收益或权衡净值:按照第2部分的定义,随着X的变动,当权衡净值或式(10)达到最大时,资本结构或杠杆比率就达到最优。在数学上,求式(10)关于X的导数,并且令导数等于0,就可以得到最优的债务规模X。这个导数等于0的条件经过简化如式(11)所示(张志强,2008)。令最优债务比率L=X/S,式(9)中的S/X即为“1/L”,则:因此式(11)可以改写为:式(12)代表最优杠杆(或债务)比率L与其重要影响变量之间的确切定量关系。依据式(12),运用Excel中的“目标函数求解”,就可以轻而易举地解出最优杠杆或债务比率。因此,到此为止,最优资本结构的问题已经得到解决。通过“目标函数求解”来求解最优资本结构有时不是很方便,特别是在没有Excel时。因此有必要解出式(12)中的“L”。为此需要借助“probit函数”。probit函数是累积分布函数(CDF)的反函数,即probit(p)=N-1(p)。因此probit[N(p)]=p,即,因此,这是最优资本结构模型的又一个表达式。在Excel中,有一个函数“NORMSINV()”,可以用来计算probit(p)。此外,还可以通过反误差函数(inverseerrorfunction),即erf-1,来表达最优资本结构模型。由于2(f-fe-rT)-1=2f-2fe-rT-1,根据式(15)和(16)则有要计算公式(17)中的erf-1(2f-2fe-rT-1),可以采用MATLAB中的“erfinv”函数,也可以采用Mathematica中的“InverseErf”函数。综上所述,根据式(12)、(15)或者(17)都可以得出最优债务比率,读者可以根据自己的习惯和偏好选择其中一个模型应用。与ZZ节税收益和ZZ破产成本相对应,将式(12)、(15)或(17)称为ZZ杠杆模型或ZZ最优资本结构模型。不妨以前面“基准案例”为基础,计算“典型”情况下的最优资本结