正多边形的有关计算

正多边形的有关计算【根底知识精讲】一、定理:正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.二、正多边形有关计算(1)正n边形角的计算公式：①每个角等于(n为大于或等于3的整数)；②每个外角＝每个中心角＝.(2)正n边形的其他有关计算，由于正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素之间的关系，所以，可以把正n边形的计算转化为解直角三角形的问题，这个直角三角形的斜边为外接圆半径R，一条直角边是边心距rn，另一条直角边是边长an的一半(即)；两个锐角分别为中心角的一半(即)和一个角的一半(即)或(即90°-).【重点难点解析】重点是把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形问题.难点是通过作正n边形的半径和边心距把正多边形的问题转化为解直角三角形的问题.例1.*正多边形的每个角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.解：设此正多边形的边数为n，则各角为，外角为，依题意得：-＝100°.解得n＝9答：这个正多边形的边数为9.例2.如图7-42，：正三角形ABC外接圆的半径为R，求它的边长，边心距、周长和面积.解：连结OB，过O作OM⊥BC于M∴∠BOM＝＝60°，∴∠OBM＝30°∴OM＝OB＝R，∴γ3＝BM＝＝＝R∴a3＝BC＝2BM＝R∴P3＝3a3＝3R∴S3＝3S△BOC＝3×R·＝R2例3.一个正三角形和一个正六边形的面积相等，求它们边长的比.解：如图7-43，设O，O′分别是正三角形ABC，正六边形EFGHIJ的中心，分别作OD⊥BC于D，作O′K⊥GH于K，连OB，O′G，则在Rt△ODB中，∠BOD＝＝60°，BD＝a3，∴r3＝OD＝BD·ctg60°＝a3，∴S3＝6S△ODB＝6×BD·OD＝6××a3×a3＝a32.在Rt△O′KG中，∠GO′K＝＝30°，GK＝a6∴r6＝O′K＝GK·ctg30°＝a6∴S6＝12S△O′GK＝12××GK×O′K＝12××a32×a6＝a62∵S3＝S6，∴a23＝a26∴＝，∴＝，即a3∶a2＝例4.求证：正n边形的面积Sn等于其周长Pn与边心距rn的积的一半.证明：如图7-44，设⊙O是正n边形ABC…的切圆，其中AB与⊙O相切于D，连OA，OD，OB，知OD⊥AB且OD＝rn，∴S△OAB＝·AB·OD＝··rn.∵正n边形有n个如同△OAB的等腰三角形，∴Sn＝nS△OAB＝n···rn＝Pnrn.【难题巧解点拨】例1.：如图7-45，⊙O半径为R，求⊙O接正八边形的边长a8，边心距r8和中心角.解：连结OA、OB，并作OK⊥AB于点K，中心角α＝∠AOB＝＝45°在Rt△AOK中，∠AKO＝90°，OA＝R，∠AOK＝α＝22.5°故AK＝OA×sin∠AOK＝R·sin22.5°，∴AK＝0.3827R∴a8＝AB＝2AK＝0.7654Rr8＝OK＝OA·cos∠AOK＝R·cos22.5°＝0.9239R〔说明〕(1)正多边形的半径、边心距和边长的一半组成的一个直角三角形，有关正多边形的计算常常归结为解这个直角三角形.(2)假设正n边形的半径为R，则它的中心角α＝，边长an＝2R·sin，边心距ra＝R·cos.例2.如图7-46，等边△ABC的边长为a，求其切圆的接正方形DEFG的面积.解：设BC切⊙O于M，连OM，OB，则OM⊥BC，在Rt△OMB中，∠BOM＝＝60°BM＝BC＝aOM＝BM·ctg∠BOM＝a·ctg60°＝a连结OE，作ON⊥EF于N，则OE＝OM＝a在Rt△ONE中，∠EON＝＝45°，OE＝a∴EN＝OE·sin∠EON＝a·＝a∴EF＝2EN＝a∴S正方形DEFG＝EF2＝(a)2＝〔说明〕解这类问题是正确画出图形，构造直角三角形，在此题中，由于正三角形切圆O的半径既是正三角形的边心距，又是正方形的半径，所以求出⊙O的半径是个突破口.【课本难题解答】例.：半径为R的圆接正n边形的边长为an，求证：同圆接正2n边形的面积等于nRan，利用这个结果，求半径为R的圆接正八边形的面积(用代数式表示).提示：如图7-47，连结OA，OB，OA′AB，则OA′⊥AB，∴四边形OAA′B的面积等于AB·OA′＝Ran∴半径为R的圆接正2n边形的面积等于nRan半径为R的正八边形的面积等于4Ra4＝2R2【命题趋势分析】正多边形的有关计算是正多边形和圆的一个重点命题容，主要在各类考试中的填空和选择题中.【典型热点考题】例1.正六边形的半径为3cm，则这个正六边形的周长为cm.(2000年)分析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用P6＝6an求出周长.例2.正多边形的边心距与边长的比为，则此正多边形为().A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形(2000年)分析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选(B).例3.同圆的接正三角形与接正方形的边长的比是()A. B. C. D.(2000年石景山)分析：分别求出正三角形、正方形的边长，知应选(A).【同步达纲练习】一、填空题1.正n边形的半径和边心距把正n边形分成个全等的直角三角形.2.正三角形的半径为R，则边长为，边心距为，面积为.假设正三角形边长为a，则半径为.3.正n边形的一个外角为30°，则它的边数为，它的角和为.4.如果一正n边形的一个外角等于一个角的三分之二，则这个正n边形的边数n＝.5.正六边形的边长为1，则它的半径为，面积为.6.同圆的接正三边形、正四边形、正六边形的边长之比为.7.正三角形的高∶半径∶边心距为.8.边长为1的正六边形的切圆的面积是.二、选择题1.正方形的外接圆半径与切圆的半径之比是()A.∶1 B.2∶1 C.1∶ D.1∶22.两圆半径之比为2∶3，小圆的外切正六边形与大圆的接正六边形面积之比为()A.2∶3 B.4∶9 C.16∶27D.4∶33.正三角形的外接圆半径是4cm，以正三角形的一边为边作正方形，则此正方形外接圆半径长为()A.8cmB.4cm C.2cmD.cm三、计算题1.一个正n边形的外接圆半径和切圆半径分别为20cm，10cm，求：这个多边形的边长和面积.2.⊙O的半径为R，求它的接正三角形的切圆的接正方形的周长.【素质优化训练】1.如图7-48所示，三个等圆⊙A、⊙B、⊙C两两外切，E点为⊙A、⊙C的切点，ED⊥BC于D，圆的半径为1，求DE的长.证明：如果延长正六边形的各边，使其两两相交，顺次连结各交点，则得一个新的正六边形，而它的面积等于原正六边形面积的三倍.【知识探究学习】如图7-49，ABCD为正方形，E、F分别在BC、CD上，且ΔAEF为正三角形，四边形A′B′C′D′为ΔAEF的接正方形，ΔA′E′F′为正方形A′B′C′D′的接正三角形。(1)试猜想与的大小关系，并证明你的结论；(2)求的值.