初中数学常见8种最值问题

00解：设 ，则解：设 ，则最值问题，也就是最大值和最小值问题。它是初中数学竞赛中的常见问题。这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度。本文以例介绍一些常见的求解方法，供读者参考。配方法例1. （2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛）TOC\o"1-5"\h\z2丘+畑十5尸-4x+2尹Y可取得的最小值为 。解：原式■■■ 111■1广1〔:由此可知，当?=- =「时，有最小值■'。设参数法3 3n例2.（《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数二「满足’• …。贝「一•’的最大值为 。解：设''1■■■'，易知匚由'''：：，得从而,（x+^）（x2从而,（x+^）（x2-XF+/）-2，则，则由此可知，"“是关于t的方程； ■- 的两个实根4 9△=P--）20于是，有 '■解得，。故；r的最大值为2。例3. （2004年全国初中联赛武汉选拔赛）可取得的最小值为（）A.3B.11C.D.6y-^-1_z~2

x=A;+Ly=2kz=3k+22丄 2,2x+y+z=14上：+10^4-614（七14（七+2）：14759MTOC\o"1-5"\h\z—-2 59从而可知，当 .时， 「"/取得最小值「。故选（B）三•选主元法例4. （2004年全国初中数学竞赛）实数二、’-'满足■"1" - -"=3。贝Uz的最大值是 。解：由•「+得' 。代入;--」消去y并整理成以⑴为主元的二次方程，由X为实数，则判别式厂O即.1八」-L7二:整理得J■-i|_ -'■-1-1<2<—解得 O13所以，z的最大值是四•夹逼法例5. （2003年北京市初二数学竞赛复赛） "「是非负实数，并且满足…一 ■■■■" -设记［为m的最小值，y为m的最大值。贝U°一 o3a+2b=5~c]2a+b=A+3c=7-1k=7-1k由-k是非负实数，得[7c-3>0J?-lk>03 7-"£一从而，解得’ I•。又.唧-• .：r：■-:-:'——JL故11——JL故11于是,5 1■7丿 11因此,五•构造方程法例6. （2000年山东省初中数学竞赛）已知矩形A的边长为a和b,如果总有另一矩形B使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k,试求k的最小值解：设矩形B的边长为x和y，由题设可得W--「。从而x和y可以看作是关于t的一元二次方程一-■「小的两个实数根，则△■"s+炉-弘必‘。因为'，所以；；」'拓：i-■ |,、,、Aab解得（小）Aab所以k的最小值是:_：血乩"为整数，且的最大值为四血乩"为整数，且的最大值为例7. （2006年全国初中数学竞赛）已知a+b=2006,e-a=2005解：由■ 得，•一：…订，代入• •II得门二-Io而由，• 11和匚；亍可知上的整数。所以，当-III时,a：取得最大值，为，」•-「「 11-0七.借助几何图形法例8. （2004年四川省初中数学联赛）函数-'；：_ ：'' ■'''：的最小值是 o解：显然，若―:-，贝「" '。因而，当'取最小值时，必然有‘；上1o如图1,作线段AB=4,AC.LABrDB,LAB，且AC=1,BD=2对于AB上的任一点O,令OA=x则g二十1,0D~J（4-^+40那么，问题转化为在AB上求一点O,使OC+O最小。设点C关于AB的对称点为E,则DE与AB的交点即为点O,此时,-。作EF//AB与DB的延长线交于Fo在*叮「中，易知'； ■'匸二】所以，「。因此，函数'的最小值为5o八.比较法例9.（2002年全国初中数学竞赛）某项工程，如果有甲、乙两队承包 ■天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包’天完成，需付150000元；由甲、丙2-两队承包 天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？解：设甲、乙、丙单独承包各需二天完成，则TOC\o"1-5"\h\zfl1 5一+■== Xy121 1 4J—+—= .\y< 151 1 7=+— zz20%.[x=4ly=6又设甲、乙、丙单独工作一天，各需付-"1;元，则ri2+v)=180000—(v+w)=150000420—(w+u)=1600007u