新高考2023届高考数学二轮复习专题突破精练第2讲函数的嵌套问题教师版

第2讲函数的嵌套问题一．选择题（共15小题）1．（2020•合肥一模）已知函数，则函数的零点个数为是自然对数的底数）．A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：不妨设，，易知，在，上恒成立，且在，单调递增；，设，由当时，，（1），且函数在上单增，故函数存在唯一零点，使得，即，则，故当时，，，单减；当，时，，，单增，故，故；令，，当时，，解得，此时易知有一个解；当时，，即，作函数与函数如下图所示，由图可知，函数与函数有两个交点，设这两个交点为，，且，，而由图观察易知，，均有两个交点，故此时共有四个解；综上，函数的零点个数为5．故选：．【点评】本题考查函数与方程，考查分段函数零点个数的判定，考查利用导数研究函数的零点问题，考查转化思想，换元思想，数形结合思想，分类讨论思想以及数据分析能力，运算求解能力，逻辑推理能力等综合数学素养，属于较难题目．2．（2021•绵阳模拟）已知函数，关于的方程有四个相异的实数根，则的取值范围是A． B． C．， D．，【解答】解：当时，，函数的导数，当时，，当时，，则当时函数取得极小值（1），当时，，函数的导数，此时恒成立，此时函数为增函数，作出函数的图象如图：设，则时，有3个根，当时，有2个根当时，有1个根，当时，有0个根，则有四个相异的实数根，等价为有2个相异的实数根，其中，，设，则，即，即，即，即实数的取值范围是，，故选：．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次函数，利用数形结合以及根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．3．（2020•海淀区校级开学）已知函数是定义域为的奇函数．当时，若关于的方程，有且仅有2个不同实数根，则实数的取值范围是A．，， B．，， C．，， D．，【解答】解：作出函数的图象如图所示，令，则由图象可得：当或时，方程有1解；当或时，方程有2解；当或时，方程无解；因为，所以或，因为关于的方程有且仅有2个不同实数根，又有2解，所以无解或方程的解也是方程的解，故或或，故选：．【点评】本题主要考查了方程根的个数的判定与应用问题，其中解答中涉及到一元二次方程根的求解，函数的图象的应用等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中正确作出函数的图象和合理应用的根的个数的应用是解答的关键．4．（2021•三门峡一模）已知函数，方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是A． B．， C．， D．【解答】解：当时，，则，由得，当时，，当时，，即当时，函数取得极大值，此时，且当时，，当时，，设，则当时，方程有两个根，当或时，方程有1个根，当时，方程有3个根，当时，方程有0个根，则方程等价为，即或，当时，方程有1个根，若方程有四个不相等的实数根，则等价为有3个根，即，得，故选：．【点评】本题主要考查函数根的个数的判断，求函数的导数，研究函数的取值范围，利用换元法和图象法进行求解是解决本题的关键．5．（2021秋•北碚区校级月考）已知函数，函数零点的个数为A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：令，令，则，当时，则，所以，，．当时，，则，当时，；当时，．此时，函数在处取得极大值，且极大值为．所以，当时，，则方程在时无解．再考虑方程的根的个数，作出函数的图象如下图所示，由于，所以，直线与函数的图象只有一个交点，因此，函数只有一个零点，故选：．【点评】本题考查函数的零点个数，考查复合函数的零点个数问题，解决本题的关键在于灵活处理内层函数与外层函数零点之间的关系，属于难题．6．（2021春•渝北区校级期末）已知函数，．若存在三个零点，则实数的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：因为存在三个零点，所以方程存在三个实根，因为当时，，即有且只有一个实根，所以当时，，即有且只有2个实根，令，，则，由，得，由，得，所以在上递增，在上递减，所以当时，取得最大值，又时，，时，，由函数，的图象可知，．所以实数的取值范围是．故选：．【点评】本题考查了函数的零点方程根的关系，转化成函数图象的交点的关系是关键，考查数形结合的思想，是中档题．7．已知函数，关于的方程有四个相异的实数根，则的取值范围是A． B．， C．， D．，，【解答】解：函数的图象如图：方程有四个相异的实数根，必须由两个解，一个，一个，，或者，，另一个，，可得，当时，，．满足题意．当时，，，不满足题意．考察选项可知，正确；故选：．【点评】本题考查分段函数的应用，函数与方程的应用，考察最值思想以及计算能力．本题如果直接求解，难度比较大，关于的不等式组不易求解．采用回代验证，方便快速得到结果．8．（2021•大东区一模）已知函数，关于的方程有3个相异的实数根，则的取值范围是A．， B． C． D．【解答】解：当时，，函数的导数，当时，，当时，，则当时函数取得极小值（1），当时，，函数的导数，此时恒成立，此时函数为增函数，作出函数的图象如图：设，则时，有3个根，当时，有2个根当时，有1个根，当时，有0个根，则有三个相异的实数根，等价为有2个相异的实数根，其中，，当时，，即，此时满足条件．故选：．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次函数，利用数形结合以及根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．9．（2020秋•天津期末）已知函数为自然对数的底数），关于的方程恰有四个不同的实数根，则的取值范围为A． B． C． D．【解答】解：，时，，，令，解得：，令，解得：，故在递减，在，递增，故，时，，，函数的图象，如图示：，设，方程等价于，而△，若关于的方程恰有四个不同的实数根，则，，设，则，即解得：，故选：．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及数形结合思想，转化思想，换元思想，考查二次函数的性质，是一道中档题．10．（2020秋•谯城区校级期末）已知函数，若关于的方程有8个不相等的实数根，则实数的取值范围为A． B．， C．， D．，【解答】解：设，则，化为，作出的图象，由图知，若关于的方程有8个不相等的实数根，则关于的方程有两个不等实根．设，，则由图知，，解得：，故选：．【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了转化的思想和数形结合的思想，属于中档题．11．（2021•郑州校级模拟）已知函数是定义域为的偶函数．当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是A．或 B．或 C．或 D．或【解答】解：函数是定义域为的偶函数，当时，，当时，．作出函数的图象如右．由于关于的方程，解得或，当时，，，时，，．由，则有4个实根，由题意，只要有2个实根，则由图象可得当时，有2个实根，当时，有2个实根．综上可得：或．故选：．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查方程和函数的转化思想，运用数形结合的思想方法是解决的常用方法．12．（2021•和平区四模）已知函数，函数，则关于的方程的实根最多有A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【解答】解：作出函数和的图象如图：由得，设，则，由的图象知，①当时，方程有两个根，或，由的图象知，当时，有0个根，当时，有0个根，此时方程有0个根，②当时，方程有两个根，或由的图象知，当时，有0个根，当时，有3个根，此时方程有3个根，③当时，方程有两个根，或，由的图象知，当时，有3个根，当时，有3个根，此时方程有个根，④当时，方程有两个根，或，由的图象知，当时，有3个根，当时，有3个根，此时方程有个根⑤当时，方程有1个根，由的图象知，当时，有3或2个或1个根，此时方程有3或2个或1个根，综上方程的实根最多有6个根，故选：．【点评】本题主要考查根的个数的判断，利用换元法转化为两个函数的交点个数问题，利用分类讨论和数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．13．（2021•余姚市模拟）已知函数，，则方程为正实数）的根的个数不可能为A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【解答】解：函数，画出函数的图象，如图示：我们易求出与的交点情况为：当时，有一个交点；当时，有两个交点；当时，有三个交点；，画出函数的图象，如图示：我们易求出与的交点情况为：当时，有2个交点；当时，有2个交点；当时，有2个交点；方程为正实数）的根的个数可能为：4个，5个，6个，不可能为3个，故选：．【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中分析内外函数的图象是解答本题的关键．14．（2021春•安徽期末）已知函数，，则当方程有6个解时的取值范围是A． B．或 C． D．【解答】解：函数，，，令得：，或，故当时，函数取极大值1，当时，函数取极小值；则与的交点情况为：当，或时，有一个交点；当，或时，有两个交点；当时，有三个交点；与的交点情况为：当时有两个交点，一个在区间上，一个在区间上；当时有两个交点，一个为，一个为；当时有两个交点，一个在区间上，一个在区间，上．若方程有6个解，有两个根，均在上，故，故选：．【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中分析内外函数的图象是解答本题的关键．15．（2021春•舒城县校级期中）已知函数，其中为自然对数的底数，关于的方程有四个相异实根，则实数的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：．当时，由，得，在上为增函数；当时，由，得．当时，，当时，，当时，函数取得极大值为．作出函数的图象的大致形状：令，则方程化为，即，要使关于的方程有四个相异实根，则方程的两根一个在，一个在之间．则，解得．实数的取值范围是，．故选：．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查利用导数求极值，考查数学转化思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．二．多选题（共1小题）16．（2021秋•广州月考）已知函数，则A．对任意的，函数都有零点 B．当时，对，都有成立 C．当时，方程有4个不同的实数根 D．当时，方程有2个不同的实数根【解答】解：对于：作出函数和的图象如图所示：当时，函数只有1个零点，当时，函数有2个零点，当时，函数只有1个零点，故正确；对于：当时，函数单调递增，若当时，对，都有成立，则单调递减，故错误；对于时，得，，当时，方程有两个解，当时，方程有两个解，所以方程有4个不同的实数根，故正确；对于：当时，方程的根为的根，令，作出，的图象：可得函数与有三个交点，其中包括，即方程有三个根，故选：．【点评】本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．三．填空题（共7小题）17．（2021春•安徽期末）已知函数，关于的方程有3个相异的实数根，则的取值范围是．【解答】解：由题得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递减；作出函数的图象如右图，令，则，设函数的两零点分别为，①，，则，解得②，，则，此时无解，综上：，故答案为：【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，数形结合思想，分类讨论思想，属于中档题．18．（2021春•衡阳期末）已知函数是定义域为的偶函数．当时，，则（1），若关于的方程，，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是．【解答】解：（1），作函数的图象如右图，设方程的两个根为，；①若，，故，，故，；②若，，故，故，；故答案为：，，，．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了数形结合的思想的应用．19．（2021秋•全国Ⅰ卷月考）已知函数是定义域在上的偶函数，当时，则函数的零点个数为2．【解答】解：是偶函数，作出函数的图象如图，当时，，则，，当时，，由得，设，则，由，得或，当时，无解，当时，有两个交点，即有两个零点，故答案为：2．【点评】本题主要考查函数与方程的关系，利用换元法转化为两个方程根的个数问题，以及利用数形结合是解决本题的关键，是中档题．20．（2021秋•常熟市月考）已知函数，，若函数有6个零点（互不相同），则实数的取值范围为．【解答】解：作出函数与的图象如图：令，则由图可知，当有3个交点时，，当时，要使，即函数图象在时，与要有2个交点，根据图象可知，故，，故答案为：，．【点评】本题主要考查函数零点个数求解参数取值范围，分段函数图象的画法，数形结合是关键，综合性强，属于难题．21．（2021春•让胡路区校级月考）已知函数，关于的方程有四个相异的实数根，则的取值范围是，．【解答】解：当时，，函数的导数，当时，，当时，，则当时函数取得极小值（1），当时，，函数的导数，此时恒成立，此时函数为增函数，作出函数的图象如图：设，则时，有3个根，当时，有2个根当时，有1个根，当时，有0个根，则有四个相异的实数根，等价为有2个相异的实数根，其中，，设，则，即，即，即，故答案为：，【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次函数，利用数形结合以及根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．22．（2020春•鼓楼区校级期末）函数，关于的方程恰有四个不同的实数解，则正数的取值范围为，．【解答】解：，令得，或1，当时，，函数在上单调递增，且，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以，（1），令，则方程有两个不同的实数根，，且一个根在内，一个根在，内，或者两个根都在内，或者一个根在内，一个根为，因为为正数，所以，又，所以，都为正根，所以两个根不可能在内，令，因为，所以只需，即，得，即的取值范围为：，，故答案为：，．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数的零点与方程根的关系，是中档题．23．（2020春•德阳期中）已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是．【解答】解：化简得，当时