专题：抽象函数的单调性及奇偶性的证明学生版

抽象函数单调性与奇偶性特殊模型抽象函数正比例函数f(*)=k*(k≠0)f(*+y)=f(*)+f(y)幂函数f(*)=*nf(*y)=f(*)f(y)[或]指数函数f(*)=a*(a>0且a≠1)f(*+y)=f(*)f(y)[对数函数f(*)=loga*(a>0且a≠1)f(*y)=f(*)+f(y)[1.,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数。2.奇函数在定义域〔-1，1〕递减，求满足的实数的取值围。3.如果=(a>0)对任意的有,比拟的大小4.函数f〔*〕对任意实数*，y，均有f〔*＋y〕＝f〔*〕＋f〔y〕，且当*＞0时，f〔*〕＞0，f〔－1〕＝－2，求f〔*〕在区间[－2，1]上的值域。5.函数f〔*〕对任意，满足条件f〔*〕＋f〔y〕＝2+f〔*＋y〕，且当*＞0时，f〔*〕＞2，f〔3〕＝5，求不等式的解。6.设函数f〔*〕的定义域是〔－∞，＋∞〕，满足条件：存在，使得，对任何*和y，成立。求：〔1〕f〔0〕；〔2〕对任意值*，判断f〔*〕值的正负。7.是否存在函数f〔*〕，使以下三个条件：①f〔*〕＞0，*∈N；②；③f〔2〕＝4。同时成立？假设存在，求出f〔*〕的解析式，如不存在，说明理由。8.设f〔*〕是定义在〔0，＋∞〕上的单调增函数，满足，求：

〔1〕f〔1〕；〔2〕假设f〔*〕＋f〔*－8〕≤2，求*的取值围。9.设函数y＝f〔*〕的反函数是y＝g〔*〕。如果f〔ab〕＝f〔a〕＋f〔b〕，则g〔a＋b〕＝g〔a〕·g〔b〕是否正确，试说明理由。10.己知函数f〔*〕的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：①当是定义域中的数时，有；②f〔a〕＝－1〔a＞0，a是定义域中的一个数〕；③当0＜*＜2a时，f〔*试问：〔1〕f〔*〕的奇偶性如何？说明理由。〔2〕在〔0，4a〕上,f〔*11.函数f〔*〕对任意实数*、y都有f〔*y〕＝f〔*〕·f〔y〕，且f〔－1〕＝1，f〔27〕＝9，当时，。〔1〕判断f〔*〕的奇偶性；〔2〕判断f〔*〕在［0，＋∞〕上的单调性，并给出证明；〔3〕假设，求a的取值围。12.设f(*)定义于实数集上，当时，，且对于任意实数*、y，有，求证：在R上为增函数。13.函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f(*)的奇偶性。14.定义在R上的函数f(*)满足：对任意实数m，n，总有，且当*>0时，0<f(*)<1。判断f(*)的单调性；15.设函数f(*)对任意实数*,y，都有f(*+y)=f(*)+f(y),假设*>0时f(*)<0,且f(1)=-2,求f(*)在[-3，3]上的最大值和最小值.16.设f(*)定义于实数集上，当*>0时，f(*)>1,且对于任意实数*、y，有f(*+y)=f(*)f(y)，求证：f(*)在R上为增函数。17.偶函数f(*)的定义域是*≠0的一切实数，对定义域的任意*1,*2都有，且当时，〔1〕f(*)在(0,+∞)上是增函数；〔2〕解不等式18.函数f(*)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,当*>－时，f(*)>0.求证：f(*)是单调递增函数；19.定义在R+上的函数f(*)满足:①对任意实数m,f(*m)=mf(*);②f(2)=1.(1)求证:f(*y)=f(*)+f(y)对任意正数*,y都成立;(2)证明f(*)是R+上的单调增函数;(3)假设f(*)+f(*-3)≤2,求*的取值围.20.函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f〔*〕的奇偶性。21.函数f(*)的定义域关于原点对称且满足，〔2〕存在正常数a，使f(a)=1.求证：f(*)是奇函数。22.定义在R上的单调函数f(*)满足f(3)=log3且对任意*，y∈R都有f(*+y)=f(*)+f(y)．(1)求证f(*)为奇函数；(2)假设f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意*∈R恒成立，数k的取值围．23.f(*)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的函数a,b都满足f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求f(0)，f(1)的值；(2)判断f(*)的奇偶性,并证明你的结论;24.定义域为R的函数f(*)满足：对于任意的实数*，y都有f(*+y)=f(*)+f(y)成立，且当*＞0时f(*)＜0恒成立.(1)判断函数f(*)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明f(*)为减函数；25.f(*)是定义在［