第三章-等价线性化法、谐波平衡法

第三章等价线性化法、谐波平衡法、

里兹

迦辽金法与迭代法

3.1等价线性化法

3.1.1自治系统3.1.2非自治系统

3.2谐波平衡法

3.3迦辽金法与里兹法

3.3.1里兹法3.3.2迦辽金法

3.4迭代法

3.4.1杜芬迭代法3.4.2拉舍迭代法

3.1等价线性化法

3.1.1自治系统已知某非线性振动方程，其阻尼力与弹性力具有非线性特征，其振动方程可表示为以下形式：

(3-1)式中

非线性惯性力与非线性阻尼力的综合表达式；

非线性阻尼力与非线性弹性力的综合表达式。

用等价线性化方法求非线性振动方程的解，首先应建立一个与非线性振动方程相对应的等价线性化振动方程，即

(3-2)式中

等价质量；

等价阻力系数；

等价弹簧刚度。

设等价线性振动方程(3-2)有以下形式的解：

(3-3)

对于小阻尼情况,式中的振幅a

和等效阻尼比与等效固有频率可表示为

(3-4)

将式(3-3)代入式(3-1)和式(3-2)中,并将非线性函数展为富氐级数,便可求出等价质量、等价阻力系数与等价弹簧刚度的值。首先将非线性函数展为富氏级数，即:(3-5)

对于一般非线性振动系统，按富氏级数展开的一次谐波力远大于二次及其他高次谐波力，因此可以将后者看作是小量，近似计算时可略去。这时可取近似值为

(3-6)

按照富氏级数的公式，系数、c1、d1和、、可按下式计算：

(3.7)

将式(3-6)和式(3-7)代入式(3-1)中，可得：

(3-8)

当考虑(3-3)式的近似值时，有

对应于式(3-2)的等价质量、等价阻力系数与等价刚度分别为：

(3-9)

将式(3-9)的值代入式(3-4)中,便可求出等价衰减系数与等价固有频率：

(3-10)3.1.2

非自治系统假如已知某非线性振动方程，其阻尼力与弹性力具有非线性特征，其振动方程可表示为以下形式：

(3-11)式中

非线性惯性力与非线性阻尼力的综合表达式；

非线性阻尼力与非线性弹性力的综合表达式。非线性振动方程(3-11)相对应的等价线性化振动方程为

(3-12)式中等价质量；

等价阻力系数；

等价弹簧刚度;

不变的作用力。

只要求出等价质量、等价阻力系数和等价弹簧刚度,非线性振动方程就可以近似地按照线性振动方程进行求解。由于阻尼的存在,自由振动在经过一定时间后将会消失,所以可设等价线性振动方程(3-12)有以下形式的强迫振动解：

(3-13)

因此，等价线性化振幅A、相位差角分别可由下式求出：

(3-14)

等价质量、等价阻力系数与等价弹簧刚度的值，可以通过将非线性惯性力、非线性阻尼力与非性弹性力是按富氏级数展开的方法得出：

(3-15)对于一般非线性振动系统，按富氏级数展开的一次谐波力远大于二次和其他高次谐波力及常数项，因此可以将后者看作是小量，近似计算时略去。这时可取近似值为

(3-16)

按照富氏级数的公式，系数、c1、d1和、、可按下式计算：

(3-17)

将式(3-16)和式(3-17)代入式(3-11)中，可得：

(3-18)或

(3-19)

等价质量、等价阻力系数与等价刚度、等价衰减系数与等价固有频率分别为：

(3-20)

（3-21）将式(3-20)的值代入式(3-14)中便可求出等价线性化振幅A及相位差。

例3.1.1

用等价线性化方法求下列非线性振动方程的等价阻力系数与等价弹簧刚度。

式中

与位移成三次及五次方的恢复力系数。

解:

设方程的强迫振动解为

按照式(3-20),求等价阻力系数：非线性弹性力对等价阻力系数的值没有影响。按照式(3-20)第二式可求出弹簧刚度：

例3.1.2

已知非线性方程

式中

非线性弹性力

求等价刚度、等价固有频率及受迫振动的振幅。。

解:在一次近似的情况下，方程的近似解为：

非线性弹性力在一次近似情况下可改写为以下形式：

式中

间隙e所对应的相位角;

该系统的等价弹簧刚度为：

将x的值代入，并进行分段积分，可求得：

因为

可将和展为幂级数,于是有

等价固有频率：

等价线性化振幅为：

谐波平衡法是将非线性方程的解假设为各次谐波叠加的形式，然后将方程的解代入非线性方程中，消去方程中的正弦与余弦项，即可得到能求出含有未知系数的相应多个代数方程式，进而可求得方程的解。设有非线性方程

(3-22)

若是

t的周期为

T

的函数，并且方程存在着周期等于

T或T

的整数倍的周期解的情形，方程右边在的有限区域内分别满足莱伯尼兹条件，方程的解是唯一的，而且是分段可微的，因此有可能展成为富氏级数，所以可设方程的解为：

3.2谐波平衡法

(3-23)

将它代入等式的两边，等式两边的常数项及cos

、sin

的系数必须分别相等，如果只取到n

次谐波，则可得2n+1个方程，由此可求出包含有n次谐波的近似解。这一方法称为谐波平衡法。

例3.2.1

用谐波平衡法求以下有阻尼Duffing方程的次谐波解（亚谐振动）

解:

设

将自变量变换成τ，因变量变换成ζ，便可写成

如果设

则上述方程为

假设它的次谐波振动解：

将上式代入前式，进行谐波平衡，可得

则有

考虑，解出第一式，得由第二式得

式中,软特性为-1,硬特性为+1。用电子计算机进行迭代求解，可得次谐波振动的幅值、与γ、ν的关系及基波幅值、与γ、ν的关系。

3.3迦辽金法与里兹法

3.3.1迦辽金法采用微分算子,可以将非线性方程写成

(3-24)式中的一般是算子D、因变量

x

和自变量t的某种非线性函数。对于精确解x(t),函数,而对于近似解X(t),

函数,或多或少会产生余项，或称误差ε(t)，即有

(3-25)

对微分方程的近似解可以采取与上述同样的做法，这种方法便是迦辽金法。在这种情况下，如果设我们所考察的自变量区域为a≤t≤b，那么式(3-27)的误差为ε(t),

而“误差的平方和”可以用以下积分式来表示

(3-26)假设近似解X(t)可以用适当的函数的线性组合来表示，即用

(3-27)作为方程(3-24)的最合适的近似解，其中的常数ci可以从式(3-26)的积分取最小值的条件加以确定，即从下述联立方程式

(3-28)来解出。函数可以从物理和其他方面的考虑来选取，使它成为比较逼近的近似解，并且使它满足初始条件。这样，对于来说初始值都等于零。

例3.3.1

用迦辽金法求以下Duffing方程的解

解:

当b甚小时,它的周期解近似于谐振动,所以取圆频率为ω,振幅为A,即取

作为近似解。这相当于取。这时误差ε为

区间(a,b)

可以取为一个周期(0,),

因而最适宜的条件可写成

即有

由此得

或

这是一个关于的一元二次方程，解之得

其中，即k=0.89或k=2.11。

A=0给出方程的显然解，这相当于k=+∞,

这时J=0。而系数0.89与2.11究竟那一个给出J的极小值，可以通过下面的分析弄清楚。因为对于光滑曲线来说，极大值与极小值往往是交替发生的，考虑到这一点，由于k=+∞时，有J=0,

它给出最小值，所以k=2.11对应于J取极大值，而k=0.89对应于J取极小值。k的精确解为0.75，按这种方法求解有一定误差。3.3.2里兹法前一种方法是用误差平方的积分来评价近似解的近似程度。除了上述积分之外，还有其它多种形式的积分，其中之一即拉格朗日函数的积分，或称为哈密顿作用量：

(3-29)式中T

系统的动能；

U

系统的势能。

对于方程的周期解来说，哈密顿的作用量J的变分可取为0，即

(3-30)式中

T

周期；

Xi、Yi、、Zi

三个座标方向上的有势力；

mi

质体i的质量；、、质体i在三个座标方向上的加速度。采用以上方法，可以求出方程的解。

下面来看前面列举的非线性方程f(D,x,t)=0。假设该方程是二阶方程，那么它就可以看作是一个力，即相当于式(3-30)中的,因而方程f(D,x,t)=0应满足式(3-34)的条件，即

(3-31)

使式(3-29)中的J

取最小值的近似解为X(t)，也可以把它看作是近似度最好的近似解。所以式(3-25)的解可由下式求得

(3-32)

可设方程的解

(3-33)因而有

(3-34)按照哈密顿原理：

(3-35)即

(3-36)待定系数ci便可由上式确定。

对于无阻尼非线性系统，可设方程的近似解为或(3-37)

对于有阻尼的非线性系统，可设方程的近似解为

(3-38)或

(3-39)

由(3-38)有

(3-40)

将(3-44)代入(3-32)式，待定系数

ci

与可由下式求出

(3-41)

将近似解代入上式中，完成积分计算，便可得到一个代数方程或代数方程组。因此用迦辽金

里兹方法时，其问题归结于代数方程组的求解。但有时得到的代数方程是超越方程或超越方程组，计算往往是相当复杂的。

例3.3.2

某非线性方程

试用本节的方法求方程的解。解:

由上式得

设一次近似解为：

代入式(3-35)中，得

将非线性函数f(X)的近似值代入上式，进行分段积分，并化简得：

整理后可得

因为可将和展为幂级数，于是有：

为了求得A值，可采用图解法或数值方法。由上面解式可见，等号左边和右边分别为

上式若以为自变量，用坐标横轴来表示；而和为纵坐标，则第一方程为两条曲线和，第二方程为直线。这二组线的交点即为方程的解。用数值方法计算时，将具体数值代入上式，利用两式相等的条件，即可求出,当e值确定后，便可求出A值。

3.4.1杜芬迭代法杜芬方程的近似解可用杜芬迭代法求出。设杜芬方程有以下形式：

(3-42)

假设b很小，F也很小，而且接近于a,这时方程可写成：

(3-43)

在上述假设下，方程右端为小量，因此可以先将它略去，方程成为：

(3-44)3.4迭代法其解为

(3-45)并作为零次近似解。将它代入式(3-47)右端，有

(3-46)

根据上式来确定一次近似解时，为保证x1是周期的，即方程的解中不出现长期项(或称永年项，久期项)：与,上式右端cos

的系数应等于零，因而有

(3-47)

由式(3-39)可解出一次近似解：

(3-48)

式中的ν可由(3-47)确定。在这一方程中，我们有意不给定ν，而把它看作是基波振幅A的函数。将一次近似解代入式(3-43)的右端，再按方程(3-47)确定二次近似解x2(t)。假设代入后右端可写成以下形式

(3-49)则为了使x2(t)是周期等于的周期函数，须有P1(A)=0，即

(3-50)而二次近似解为：

(3-51)以下各次近似解可依次类推。

式(3-47)可看作以激振力幅F为参数的共振曲线或响应曲线的一次近似关系式，即

(3-52)

如果b=0,

它就退化为线性强迫振动共振曲线的关系式。按照式(3-52)作图，利用平面(A,)，它可以由抛物线和双曲线横座标迭加得出(图3-2)。由图可见，作为A的函数是单值的，相反A作为的函数在某些区域是三值的。对于具有线性阻尼的杜芬方程，可以用类似的迭代法进行求解。3.4.2拉舍迭代法这种方法仅要求激振力幅为小量，非线性函数f(x)则可以是任意的。因而对于方程：

(3-53)可设

(3-54)

将变量t置换成变量θ，式(3-46)可改写成

(3-55)

为说明方便，假定非线性特性有反对称性，即