2021届人教a版（文科数学） 推理与证明单元测试

2021届人教A版（文科数学）推理与证明单元测试

（3）

1、甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面

试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人

中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）

A.丙被录用了B.乙被录用了C.甲被录用了D.无法确定谁被录用了

2、用反证法证明命题：”一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个

步骤：

o

（l）A+B+C=90+90°+C>180°f这与三角形内角和为180°相矛盾，

4=8=90。不成立（2）所以一个三角形中不能有两个直角（3）假设三角形的三

个内角A.氏C中有两个直角，不妨设4=3=90。，正确顺序的序号为（）

A.（1）⑵（3人.⑶⑴⑵c⑴⑶⑵D.⑵⑶⑴

3、德国数学家希尔伯特说：“谁也不把我们从我们创造的花园中赶走”，赞赏在

1871年提出了集合论的某位数学家，请问是下列哪位数学家（）

A.德.摩根B.高斯C.欧拉D.康托尔

4、若实数a，b,c满足a+b+c=l,给出以下说法：①a,b,c中至少有一个大于3；②a,b,c

11

中至少有一个小于3；③a，b,c中至少有一个不大于1；④a,b,c中至少有一个不小于4.

其中正确说法的个数是（）

A.3B.2C.1D.0

5、因为指数函数y=罐是增函数，而'=是指数函数，所以函数y=*是增函

数，

该推理的错误在于（）

A.大前提错误导致结论错B.小前提错误导致结论错

C.推理形式错误导致结论错D.大前提和小前提错误导致结论错

6、

2,

二维空间中圆的一维测度（周长）1=271r,二维测度（面积）S=nr,观察发现S=I；三

43

2V=-nr.

维空间球的二维测度（表面积）S=4兀r,三维测度（体积）3,观察发现V=S.

3

则由四维空间中“超球”的三维测度Mr,猜想其四维测度亚=

2424

A.2471rB.2nrc.12nrD.mr

7、若自然数”使得作竖式加法〃+(〃+1)+(〃+2)均不产生进位现象，则称〃为“开

心数”.例如：32是“开心数”.因32+33+34不产生进位现象；23不是“开心数”，

因23+24+25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为()

A.9B.10C.11D.12

8、一名法官在审理一起盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁分述如下：甲说：

“罪犯在乙、丙、丁三人之中”，乙说：“我没有作案，是丙偷的”，丙说：“在

甲和乙中有一个人是罪犯”，丁说：“乙说的是事实”，经调查核实，这四人中只

有一人是罪犯，并且得知有两人说的是真话，两人说的是假话，由此可判断罪犯是

()

A.甲B.乙C.丙D.T

9、

定义A*8,5*C,C*D,D*A的运算分别对应下面图中的(1),(2),(3),(4),则

图中(5),(6)对应的运算是()

(*>⑴(4)

国(D

(5)的

A.B*D,A*DB.B*D,A*CC.B*C,A*DD.C*D,A*D

10、下列说法中正确的是().

A.合情推理就是正确的推理

B.合情推理就是归纳推理

C.归纳推理是从一般到特殊的推理过程

D.类比推理是从特殊到特殊的推理过程

11、我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割

之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的

转化过程.比如在表达式1+—『中"即代表无限次重复，但原式却是个

1+--

定值，它可以通过方程l+』=x求得％=巨笠，类似上述过程，则小3+13+7

x2

()

A.5+1B.3C.6D.272

2

⑵用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数”h°中恰有一个偶数”正确的

反设为()

A.a,b,。都是奇数

B.a,b,c都是偶数

C.a,b,c中至少有两个偶数

D.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数

13、如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从

一根针上全部移到另一根针上.

213

(1)每次只能移动一个金属片；

(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.

将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n),则f(n)=,

14、在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为*,外接圆面积为

S,,则立=上.推广到空间几何体中可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切

2

S24

球体积为匕，外接球体积为匕，则乜=__________.

匕

15、学校艺术节对A、B、C、D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，

乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：

甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖，，；

丙说：“A、D两件作品未获得一等奖，，；丁说：“是q乍品获得一等奖”.

评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是

16、观察下列等式：

16,17,19,20,22,23

——+——+—+—+—+—=39；

333333

则当机<“且根,"wN时，

3m+13m+23加+43m+53n-23/?-1_/旦匚人・田

+十।++十-------(最后结果

3-----3-------3-------3----------3-------3

用7%,”表示).

17、方程V-(A:+2)x+l—3左=0有两个不等实根x”X2,且0<XI<1<X2<2,求

实数k的取值范围.

18、已知函数/(x)=l+匕尸(-2<xW2).

(1)用分段函数的形式表示该函数；

(2)作出该函数的图象，并写出该函数的值域.

19、设f(x)是R上的函数，且满足f(O)=l,并且对任意实数x,y,有f(x—y)=f(x)

—y(2x—y+1),求f(x)的式.

a=4S„-1

20、已知数列｛叫的前n项和为S”，"""2〃-1,%=1且〃eN*

(1)求也｝的通项公式

0也=~^[h\T]<](〃-*)

(2)设,数列\的前n项和为《，求证：2

21、已知a+b+c=0,求证：ab+bc+ca^O.

+3322

22、已知a，bCR,求证：a+b>ab+ab

参考答案

1、答案C

若乙的说法错误，则甲丙的说法都正确，而两人的说法互相矛盾，

据此可得，乙的说法是正确的，即甲被录用了.

本题选择C选项.

2、答案B

根据反证法的证明步骤：第一步反设，第二步得出矛盾，第三步下结论，从而可得正确

选项。

详解

根据反证法的证明步骤知：

第一步反设：假设三角形的三个内角A.3.C中有两个直角，不妨设A=B=90。；

第二步得出矛盾：A+8+C=90°+90°+C>180。，这与三角形内角和为180。相矛盾,

4=8=90°不成立

第三步下结论：所以一个三角形中不能有两个直角；

故顺序为⑶⑴⑵，

故答案选B

名师点评

反证法是一种简明实用的数学证题的方法，也是一种重要的数学思想，掌握反证法证明

的步骤是关键，本题属于基础题。

3、答案D

结合数学史和四位数学家的主攻领域,采用排除法和正面分析法相结合即可得到答案.

详解

对于A选项:数学家德.摩根主要在分析学、代数学、数学史及逻辑学等方面做出重要贡

献，并且逝世日期为：1871年3月18日.故A排除；

对于B选项:德国数学家高斯逝世日期为：1855年2月23日.故排除B;

对于C选项:瑞士数学家欧拉，1707年4月5日一一1783年9月18日.故排除C；

对于D选项:德国数学家康托尔，1845年3月3日一一1918年1月6日；集合论的创始人,

并且希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布：”没有任何人能将我们从康托尔所创造

的伊甸园中驱赶出来.”D选项正确.

故选:D

名师点评

本题主要考查数学史，旨在拓宽学生的知识面和激起学生对数学的兴趣.属于基础题.

4、答案B

分析：根据反证法思想方法，可判定③④是正确的，通过举例子，可判定①②是错误的.

详解：由题意a，b,c满足a+b+c=l,

1

则在①、②中，当---3时，满足a+b+c=l,所以命题不正确；

对于③中，假设a，b,c三个数列都大于1,则a+b+c>l,这与己知条件是矛盾的，所以假

设不成立，则a，b,c中失少有一个不大于1,所以是正确的;

1

对于④中，假设a，b,c三个数列都小于4,贝ija+b+c<l,这与已知条件是矛盾的，所以假

1

设不成立，贝lja，b,c中失少有一个不小于4,所以是正确的；

综上可知，正确的命题由两个，故选B.

名师点评：本题主要考查了命题个数的真假判定，其中解答中涉及反证法的思想的应

用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

5、答案A

6、答案B

34

由题意可知，四维测度W的导数W，=8nr,则W=2nr

本题选择B选项.

名师点评：一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结

论的正确性是需要证明的.

二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住

一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误.

7、答案D

根据题意个位数需要满足要求：

Vn+（n+1）+（n+2）<10,即nV2.3,

二个位数可取0,1,2三个数，

•..十位数需要满足：3n<10,.,.n<3.3,

十位可以取0,1,2,3四个数，故四个数的“开心数”共有3X4=12个.

故选D.

名师点评：本题的关键是解题策，本题可以列举，但是比较复杂，所以可以通过分析得

到个位数和十位数的特征，从而得到开心数的个数，比较简洁.

8、答案B

由题意可以看出乙、丁两人的观点是一致的，

.•.乙、丁两人的供词应该是同真或同假.

若乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结

论，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，显然这两个结论是相互矛盾的，

，乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话.

由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯.选B.

9、答案B

通过观察得到A表示：“0”，B表示“△”，C表示“1”，D表示“口”.

所以（5）表示8*。，（6）表示A*C.故选B.

10、答案D

11、答案A

由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求

的式子，令个3+43+亡=则两边平方得，得3+8+用点=后,即

3+m-m2,解得小=I+13,加---旦舍去，故选A.

22

12、答案口

“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的反面是“自然数a,b,c•中有两个偶数、三个偶

数或没有偶数”，也即是“a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数”。故选D。

13、答案21'—1

n=l时，f(l)=l；

n=2时，小盘-2号针，大盘一3号针，小盘从2号针一3号针，完成，即f(2)=3=2?

-1;

n=3时，小盘-3号针，中盘一2号针，小盘从3号针一2号针(用f(2)种方法把中、小

两盘移到2号针)，大盘移到3号针；再用f(2)种方法把中、小两盘从2号针移到3号针,

完成，则f(3)=f(2)X2+l=3X2+l=7=23-l.同理，可得f(4)=f(3)X2+l=7X2+l

=15=24-1,…，依此类推,f(n)=f(n-l)X2+l=2D-l.

14、答案，

内切球半径与外接球半径之比为1:3,根据球体的体积公式所以体积之比

3

为1:27.

15、答案B

若A是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若B是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若

C是一等奖，则乙丙正确,甲丁错，符合题意；若D是一等奖，则甲乙丙错，不合题意,

故一等奖是C.

16、答案A?-机2

e行.“7,8,10,117,11,2二3x2+13x4-1+

观察可知：一+—+—+—=z(—+—x)+(+)

333333

(.9,有2(4.2)=4项，3+"+电+型+乌+(16+二

一17

23=一

3一333

33333333

有

22)十119+

一-

+乌)+(更+型)=(5+①)+33

33333苧

2(8—5)=6项，因此

3//Z+1+3机+2+3m+4+3机+5++3〃-2+371-1

共有2(“-加)项，利用倒序

333333

3m+13m+2+3m+4+3m+5+

求和+

3333

(3根+1+3〃-1)("〃?)=(m+n)(n_m._加.

333

考点归纳猜想

17、答案解：因为方程/一(左+2)》+1-3左=0有两个不等实根X”x2,且0<xi〈l

<X2<2,所以设f(x)=x2—(k+2)x+l—3k,画出函数的大致图象如图.

据图象有f(O)=l—3k>0,且f(l)=-4k<0,且f(2)=l—5k>0,所以0<左<］.

所以实数k的取值范围为％0<左<!「

5

X—Y

18、答案解：⑴当0WxW2时，/(x)=l+—=1；

—X—X

当一2<x<0时，,f(x)=ld---=1-A：.

1,0<^<2,

所以/(x)=

1—x,—2<x<0.

(2)函数f(x)的图象如图所示,由图象知，f(x)在(一2,2］上的值域为［1,3).

y-

弋II

二2。2

19、答案因为对任意实数x,y,有f(x—y)=f(x)—y(2x—y+1),

所以令y=x,

,有f(0)=f(x)—x(2x—x+1),

即f(0)=f(x)-x(x+l).

又f(0)=1,f(x)=x(x+1)+1=x2+x+1.

20、答案⑴。“=2〃-1；⑵见

4s-1

试题分析：⑴由1=三工一7,得(2〃-1)。用=4S“-1,

2n-l

当〃N2时,可得(2〃一3)%=45„_,-1,然后两式相减得=兴-,可得｛兽一｝为

2n-l2H+12〃-1

各项为1的常数数列,从而可求得.

1b=―—=——i——1

⑵先得“=而下,再放缩"〃(2〃T)然后利用裂项求

和可证.

详解

=与4s一-1，得(2〃T)*=4S,「1,

⑴由a,

2n-\

当“N2时，可得(2〃-3)a“=4s“t—1,

两式相减得：(2〃+l)a“=(2n-l)a„+i,即

又4=3,可得§=：=1,所以=

332x1—12x1+1

所以｛#-｝为常数数列，

2n-l

所以=所以a“=2〃-1.

2〃一1

⑵由勺=2〃-1,得S“=〃2,

]

所以〃=

〃(