2021届新疆高考数学第二次诊断性测试试卷（理科）附答案详解

2021届新疆高考数学第二次诊断性测试试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知复数2=cos23。+is讥23。（2为虚数单位），则z•z=（）

A.cos46°B.sin46°C.cos45°D.tan45°

2.已知集合4={2,468},8={幻34不46},则71门3=（）

A.{2,4}B.{4,6}C.{6,8}D.{3,4,6}

3.已知△ABC是边长为4的正三角形，D、P是△ABC内部的两点，且满足同=；（荏+而），AP=

AD+^BC,则4针。的面积是（）

O

A.更B.更C.立D.夜

6433

4.若;>：,则下列不等式中，一定正确的有（）

①a+b>ab②|a|<网③a>b（4）ab2>a2b

A.0个B.1个C.2个D.3个

5.已知实数x6{1,2,3,456,7,8,9},执行如图所示的程序框图，则输出的x大于120的概率为（）

6.己知三条不重合的直线m,n,I,三个不重合的平面a,（3,y,下列命题中正确的是（）

Afj'W"B.比=吸

C.射；=a//0DC。//

7.已知（1,1）是直线/被椭圆，+?=1所截得的线段的中点，贝〃的斜率是（）

A--1B.1C.D.i

8.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型（）

X45678910

y15171921232527

A.一次函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型

9.若sin《_a)=$cos(y+2a)=()

A.|B.D.-J

10.甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3,乙击中敌机的概率为0.5,敌机被击中

的概率为()

A.0.95B,0.8C.0.65D.0.15

22

11.与双曲线?一半=1共同的渐近线，且过点(一3,2)的双曲线的标准方程是()

12.若函数/(*)=子,则g(x)=f(4x)-x的零点是()

A.2B.；C.4D.7

24

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知(；+3)(我+£)5的展开式的常数项为io,则草/+5讥乃双=

14.已知凶且叵1,若区|,则叵］0.

15.△的内角4B,C所对的边分别为a,b,c.已知s讥A：sinB：sinC=Zn2：Zn4：Int,且石？.CB=

me2,有下列结论：

①2<t<8；

③当2遍<t<8时，△ABC为钝角三角形；

④当t=4,a="2时，△ABC的面积为粤必.

其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)

16.已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四

个顶点在半球体的底面圆内.则该半球体的体积为.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.已知数列｛an｝是单调递增的等比数列，且各项均为正数，其前n项和为无，州•=81，S2,a3,

。4一53成等差数列.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)若,求也八,｝的前几项和治,并求治的最小值.

从以下所给的三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上，并解答此问题.

①数列｛九｝满足：瓦=1,3bn+i6N*)；

②数列｛3｝的前n项和Tn=n2(neN*)；

③数列｛九｝的前n项和〃满足：6Tn-bn=5(neN*).

18.某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得

了每人的周末“阅读时间”(单位：小时)，按照［0,0.5),［0.5,1),…，［4,4.5］分成9组，制成样本

的频率分布直方图如图所示.

(I)求图中a的值；

(口)估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；

(HI)在［1,1.5),口.5,2)这两组中采用分层抽样共抽取7人，求在这两组中分别抽取多少人.

频率

19.如图，等边三角形。4B的边长为88，且其三个顶点均在抛物线E：

2py(p>0)±,求抛物线E的方程.

20.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD,ABLAD,AB=

AD=AP=2CD=2,M是棱PB上一点.

(1)若8"=2”「，求证：PD〃平面M4C；

(II)若平面/MB1平面ABCD,平面04DJL平面/BCD,求证：PA1平面力BCD；

(HI)在(II)的条件下，若二面角8-AC—M的余弦值为；，求警的值.

3rD

21.已知函数/'(%)=(aZnx—1)(%—1)+lnx(a>0).

(1)当a=［时，讨论/(x)的导函数/'(x)的单调性；

(2)当x>l时，/(X)>0,求a的取值范围.

22.已知极坐标系的原点在直角坐标系的原点处，极轴为x轴正半轴，直线］的参数方程为

俨=T+图(t为参数)，曲线C的极坐标方程为p=4cosd.

\y=t

(1)写出C的直角坐标方程，并说明C是什么曲线？

(2)设直线/与曲线C相交于P,Q两点，求|PQ|.

23.已知不等式/—5ax+b>0的解集为{x|x>4或x<1}

(1)求实数a，b的值；

(2)若0<x<1,/(x)=j+]_x，求，(无)的最小值。

参考答案及解析

I.答案：D

解析：

利用互为共规复数的运算性质即可得出.

本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

解：z-z=COS223°+sin223°=1=tan45°-

故选：D.

2.答案：B

解析：

本题考查集合的交集运算，属于基础题.

直接利用交集的定义，即可得出结论.

解：•••集合A={2,4,6,8},B={x|3<x<6},

：.AC\B={4,6].

故选8.

3.答案：B

解析：解：以4为原点，以BC的垂直平分线为、轴，建立直角坐标系.

•••等边三角形△的边长为4,

•••B(-2,-2V3),C(2,-2V3)

由而=X荏+而)=；[(-2,-2V3)+(2,-2V3)]=(0,-V3),

AP=AD+^BC=(0,-^3)+i(4,0)=(；,-V3),

OOZ

.•.△APD的面积S=g|衲.|而|=|xV3x1=^.

故选:B.

以4为原点，以BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.由于等边三角形△的边长为4,可得

B(-2,-2V3),C(2,-2V3).再利用向量的坐标运算和数乘运算可得而，AP.利用AAPD的面积S=

而|•|前|即可得出.

本题考查了向量的坐标运算和数乘运算、三角形的面积计算公式，属于中档题.

4.答案：B

解析：解：若£>w，a2b2>-xa2b2,.•.ab2>dib,④正确.

若a,b<0,则①②③不正确.

故选:B.

1111

由

得

可2b2

->--Xa>-22

匕

aa匕xab,可得泌2>。2匕，可得④正确.取a,b<0,即可判断出①②③

的是否正确.

本题考查了不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

5.答案：B

解析：解：经过第一次循环得到x=3x+l,n=2,

经过第二循环得到x=3(3x+1)+1,n=3,

经过第三次循环得到x=3[3(3%+1)+1]+1,n=3此时输出x,

输出的值为27x+13,

令27x+13>120,得x>3.9,

由几何概型得到输出的x大于120的概率为：|.

故选：B.

由程序框图的流程,写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于120

得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x大于120的概率.

解决程序框图中的循环结构时，一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果，根据结果找规

律，属于基础题.

6.答案：。

解析：解：A.mll,nil,则rn与n平行、相交或为异面直线三种情况都有可能，因此不正确；

B.l1a,I1n,则n〃a或nua,因此不正确；

C.a1y,/?ly,贝b〃。或a与夕相交，因此不正确；

D.m1a,ml)?,可得a〃0,因此正确.

故选：D.

A.mll,nil,可得m与n平行、相交或为异面直线三种情况都有可能，即可判断出正误；

员利用线面垂直与平行的位置关系进而判断出结论；

C利用面面垂直与平行的位置关系进而判断出结论；

。.利用面面垂直与平行的位置关系进而判断出结论.

本题考查了空间位置关系及其判断、简易逻辑的判定方法，考查了了推理能力与计算能力，属于基

础题.

7.答案：C

解析：解：设直线I被椭圆墓+?=1所截得的线段曲做勺/），8（（X2,丫2）

线段4B中点为（1,1）,二与+右=2,yr+y2=2

近+城=],遐+或=]=（%L-2）（Xl+%2）+（%-，2）（%+力）_Q,

36十9-’36十9-369―

=孑二资=一；，Z的斜率是

工1一%244

故选：C

设直线，被椭圆过+日=1所截得的线段4B，4（乙,%）,B（（x2,y2）

369

直+五=],立+理=]=（%一-2）（巧+：2）+01-乃）31+乃）=0,=%f=一工，

36+9-'36+9-369-松-与4’

本题考查了中点弦问题，点差法是最好的方法，属于基础题.

8.答案：A

解析：解：随着自变量每增加1函数值增加2,函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模

型.

故选:A.

利用表格中的自变量与函数值的对应关系，发现自变量增加一个单位，函数值是均匀增加的，可以

确定该函数模型是一次函数模型.

本题考查给出函数关系的表格法，通过表格可以很清楚地发现函数值随着自变量的变化而变化的规

律.从而确定出该函数的类型.

9.答案：D

解析：

本题考查诱导公式的应用，二倍角公式的应用，考查计算能力.

通过诱导公式化简所求的表达式，然后通过二倍角公式求解表达式的值即可.

解：•••sin(^-a)=

o3

cos(-+Q)=COS碎一（9一M=sin/一1）=*

・••cos(手+2a)=2cos2(g4-a)—1=^—1=—

故选：D.

10.答案:c

解析：

本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系,

属于基础题.

由题意，根据相互独立事件的概率乘法公式求得甲乙都没有击中敌机的概率，用1减去此概率，即得

所求.

解：由题意可得，甲乙都没有击中敌机的概率为(1-0.3)x(l-0.5)=0.35,

故敌机被击中的概率为1-0.35=0.65.

故选C.

11.答案：B

2222

解析：解：设与双曲线匕一二=1共同的渐近线的双曲线方程为匕一±=2(；1力0),

4343v7

・••双曲线过点P(-3,2),

Aa

•-----=九即入=1—3=-2.

43

2222

•・•所求双曲线方程为匕一二=一2.即上一匕=1,

4368

故选：B.

根据条件设出双曲线的渐近线系方程，由双曲线过点p(-3,2),将点P的坐标代入可得a的值，进而

可得答案.

本题考查双曲线的标准方程的求法，需要学生熟练掌握已知渐近线方程时，利用渐近线相同设出渐

近线系方程是解决本题的关键.

12.答案：B

解析：解：函数y(x)=U，则gQ)=/(4x)-X=§/■-x=o,

可得把上比=o,可得％

4x2

函数f(x)=?,则g(x)=/(4x)-x的零点是：i

故选:B.

利用函数的零点与方程根的关系，列出方程求解即可.

本题考查函数的零点的求法，函数的零点与方程根的关系，考查计算能力.

13.答案：y-cos2

解析：解：；C+3)(SE+J=(：+3)(x2+5ax+10。2彳-之+i0a3%-2+Sa。-5+

的展开式的常数项为5a=10,二a=2,

则/+sinx)dx=］(%2+sinx)dx=(y—cosx)l=y—cos2,

故答案为：-~—cos2.

把所给的式子按照二项式定理展开，可得它的常数项，再根据常数项为10,求得a的值，求定积分得

到f(/+si?ix)dx的值.

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求定积分，属于中档题.

14.答案：0

解析：试题分析：由囚得国，即国.

设［3,则有国，又［3,而函数S是奇函数，区，即回，.

【考点】奇函数的性质，综合问题.

15.答案：①②③

解析：解：根据题意，依次分析4个结论：

对于①，根据题意，若s讥力：sinB：sinC=ln2：ln4：Int,则Q：b：c=ln2：ln4：Int,

故可设a=kln2,b=kln4=2kln2,c=klnt,fc>0.

则有b-Q<c<b+Q,则k)2VcV3依n2,变形可得2V£V8,①正确；

对于②，C4♦C5=abcosC=ab•。"了、=。"标"<=2m"一"=2,

J2ab22

CACB5fc2ln22-c25fc2ln221

Am=——=-------；——=--；------

C22c22C22

vkln2<c<3kln2,

5k25k25k2口n55/1/25

"18k21n22<2c2<2fc2ln22，18<2c2<2

变形可得：-|<m<2；②正确；

对于③，当26<(;<8时，此时a：b：c=ln2：ln4：Int,则有a?+力2一。2V0,故△4BC为钝

角三角形；③正确；

对于④，当t=4,a=m2时，则b=ln4,c=Int=ln4,则有6=c=2a,此时△力BC的面积为

④不正确：

综合可得：四个结论中，①②③正确；

故答案为：①②③.

根据题意，由正弦定理和余弦定理依次分析4个结论是否正确，综合即可得答案.

本题考查三角形中的正弦、余弦定理的应用，涉及对数的运算性质，属于基础题.

16.答案：4伤7T

解析：解：由正方体的体积为8,可知正方体的棱长为2,

作其截面图如图，

可得半球体的半径R=0B=j2+(&)2=遍,

则其体积Ux(y/6)3=4V6/r.

故答案为：4V6TT-

由题意画出截面图，结合正方体的体积求出外接球的半径，再由球的体积公式求解.

本题考查多面体外接球体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.

17.答案：解：(1)设数列｛斯｝的公比为q,则由即＞0,即/5=81,所以送=81,

因为即＞0,所以a?=9,

因为S2，a3,。4一53成等差数列，所以2a3=$2+一S3，

即3a3=。4,所以q=?=3,所以的=1,

所以%=3-1.

(2)选择①：因为瓦3bn+i=强・b(71€旷),

所以驾1=/看5€2),

所以台=1X

*3_12

b335'

bn1_1b2b3bn12

XXXXn_1X

bn-i~3n+lb1b2bn_t~3n(n+1)

所以垢=/.就？

当九=1时也成立.

所以％=既=而高=;一击，

所以匕=(i_｝+C_:)+…+(;_W)=i—W=羔，

因为&是递增的，

所以4的最小值为P1=5

选择②：由〃=*可知：

当n=1时，瓦=7\=1,

22

当nN2时，bn=Tn-Tn.t=n-(n-I)=2n—1,验证当九=1时亦满足此关系,

所以%=2n—1

Tl

所以c九=anbn=(2n—1)-3t

所以6=1x1+3x3+5x32+…+(2n-1)x3n-1,

3^=1X3+3X32+5X33+…+(2n-1)x3n,

所以分=(九一1)-3"+1,

因为匕是递增的，所以4的最小值Pi=l,

选择③：因为6〃一%=55£/7*),所

以67n_1—bn_]=5(n>2),

两式相减得6("—Tn_x)—(bn—bn_D=0,

即56n+bn_i=0(n>2),

所以誉=-g522)

Dn-13

而67\—瓦=5,即瓦=1

所以数列｛为｝是以1为首项，为公比的等比数列，

所以bn=（一｝"-】，

n-1

所以c”=anbn=(-|)

所以_

当ri为奇数时，由于（一|尸<0,

故匕>i;

当九为偶数时，由于（一|尸>0，

故匕<P

由4=白1一（一用在n为偶数时单调递增，

o5

所以当71=2时，匕的最小值为=

oN55

解析：（1）利用等比数列的性质的应用求出数列的通项公式；

（2）选①时，利用叠乘法的应用和数列的单调性的应用求出结果；选②时，利用乘公比错位相减法

求出结果.选③时，利用数列的单调性求出结果.

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的递推关系式的应用，数列的单调性的

应用，叠乘法，乘公比错位相减法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

18.答案：解：（I）由题意，高一学生周末“阅读时间”在［0,0.5）,［0.5,1），…，［4,4.5］的概率分别为

0.04,0.08,0.20.0.25.0.07,0.04.0.02,

由1-（0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0.02）=0.5a+0.5a,

解得a=0.30；

（U）设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为m小时，

因为前5组频率和为0.040.08+0.15+0.20+0.25=0.72>0.5,

前4组频率和为0.47<0.5,

所以2<Tn<2.5,

由0.50（机-2）=0.5-0.47,

解得m=2.06；

（HI）在［1,1.5）,［1.5,2）这两组中的人分别有15人、20人，

采用分层抽样抽取7人，分别为3人、4人，

再从7人中随机抽取2人，有废=21种，

抽取的两人恰好都在一组，有量+废=9种，

故所求概率为P=《=,.

解析：(I)求出高一学生周末“阅读时间”在［0,0.5),@5,1),…，［4,4.5］的概率，即可求图中a的值；

(H)确定2Wm<2.5,由0.50(m-2)=0.5-0.47,得m的值，即可估计该校高一学生周末”阅读

时间”的中位数：

(皿)确定基本事件的个数，即可得出结论.

本题主要考查了频率分步直方图和中位数的应用问题,也考查了概率的计算问题，是中档题.

19.答案：解：如图，•••等边三角形。48的边长为8国,

且其三个顶点均在抛物线C：x2=2py(p>0)±.

•••4(—4封12)，B(4V3,12).0(0,0),

A(±475)2=24p，

解得p=2.

••・抛物线C的方程为M=4y.

解析：由已知得做—475,12)，B(4g,12)，0(0,0),从而(±4^)2=24p,由此能求出抛物线C的方

程.

本题考查抛物线方程的求法，是基础题，解题时要注意待定系数法的合理运用.

20.答案：证明：(1)连结8。交4。于点。，连结OM.

因为AB〃CD,AB=2CD,所以需=霁=2.

因为BM=2MP,所以处=2,所以处=也.

PMPMDO

所以。M〃PD....(2分)

因为OMu平面MAC,PDU平面MAC,

所以PD〃平面MAC....(4分)

(H)因为平面24。_L平面4BC0,AD1AB,

平面PA。C平面力BCD=AD,ABu平面ABC。，

所以AB1平面PAD....(6分)

因为P4u平面PAD,所以4BIP4.

同理可证：AD1PA.

因为ADu平面4BCD,ABu平面ABCD,ADdAB=A,

所以241平面4BCD....(9分)

解：(III)分别以边AD,AB,4P所在直线为x,y,z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系.

由4B=AD=AP=2CD=2,

得4(0,0,0),B(0,2,0),C(2,l,0),D(2,0,0),P(0,0,2),

则1?=(2,l,0)，~PB=(0,2,-2).

由(口)得：PAL^-^ABCD.

所以平面ABCD的一个法向量为元=(0,0,1)…,(10分)

设翳=A(O<A<1),即丽=4而.所以AM=AP+XPB=(0,22,2—22).

设平面4MC的法向量为沅=(%,y,z),

则巴匹=0,即像2笳70

(m-AM=0(2A-y+(2-2A)-z=0.

令x=A-1,则y=2-2A,z=-2无所以m=(A-1,2-24,-22).

因为二面角B-AC-M的余弦值为I，

所以北的值为;….(14分)

rDL

解析：(1)连结8。交4。于点0,连结。M,推导出。M〃PD,由此能证明PD〃平面MAC.

(H)推导出AB1P4,AD1PA,由此能证明24_L平面力BCD.

(HI)分别以边4D,AB"P所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出警的值.

rD

本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查线段的比值的求法，是中档题，解题时要认

真审题，注意向量法的合理运用.

21.答案：解:(1)当a=.时,f(x)=i(/nx+i-l),(⑺=；(：》=；•詈，

当xG(0,1)时,f"(x)<0,(。)的单调递减区间为(0,1)；

当x6(1,+8)时，f"(x)>0,/'(x)的单调递增区间为(1,+8).

(2)f'(x)=alnx-+(a-1)=(a—1)^^+alnx,

(i)当a>1时，/'(%)>0,

所以/(%)在(l,+8)上单调递增,/(%)>/(1)=0,满足条件；

(")当0<a<1时，f"(X)=£+等=axf-a),

由/'"(x)=0,得x=

①当三a<1时，1,所以x>?时，

f'M>0,f'(x)在(1,+8)上单调递增，

又由广(1)=0所以/'(%)>O即/(x)在(1,+8)上单调递增，

所以有f(x)>/(I)=0,满足条件;

②当0<a<：时，1,当x6(1,拶)时，

/(x)<0,/'(X)在(1,平)上单调递减，

又由尸(1)