高考数学(考点解读-命题热点突破)专题03-不等式与线性规划-理

PAGEPAGE1不等式与线性规划【考向解读】不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划求最值；(2)不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档；在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围或在解决导数问题时经常利用不等式进行求解，但难度偏高.【命题热点突破一】不等式的解法1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．2．简单分式不等式的解法(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．例1、【2016高考新课标1卷】若,则()（A）（B）（C）（D）【答案】C【感悟提升】(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．【变式探究】(1)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝________.(2)已知f(x)是R上的减函数，A(3，－1)，B(0,1)是其图象上两点，则不等式|f(1＋lnx)|<1的解集是________________．【答案】(1)eq\f(5,2)(2)(eq\f(1,e)，e2)【命题热点突破二】基本不等式的应用1.利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键.(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错.2.结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式.常见的转化方法有(1)x＋eq\f(b,x－a)＝x－a＋eq\f(b,x－a)＋a(x>a).(2)若eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，则mx＋ny＝(mx＋ny)×1＝(mx＋ny)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))≥ma＋nb＋2eq\r(abmn)(字母均为正数).例2、【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（）（A） （B）6 （C）10 （D）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.【感悟提升】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．【变式探究】(1)定义运算“⊗”：x⊗y＝eq\f(x2－y2,xy)(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________.(2)函数y＝eq\f(\r(x－1),x＋3＋\r(x－1))的最大值为________.【答案】(1)eq\r(2)(2)eq\f(1,5)【解析】(1)由题意，得x⊗y＋(2y)⊗x＝eq\f(x2－y2,xy)＋eq\f(2y2－x2,2yx)＝eq\f(x2＋2y2,2xy)≥eq\f(2\r(x2·2y2),2xy)＝eq\r(2)，当且仅当x＝eq\r(2)y时取等号.(2)令t＝eq\r(x－1)≥0，则x＝t2＋1，所以y＝eq\f(t,t2＋1＋3＋t)＝eq\f(t,t2＋t＋4).当t＝0，即x＝1时，y＝0；当t>0，即x>1时，y＝eq\f(1,t＋\f(4,t)＋1)，因为t＋eq\f(4,t)≥2eq\r(4)＝4(当且仅当t＝2时取等号)，所以y＝eq\f(1,t＋\f(4,t)＋1)≤eq\f(1,5)，即y的最大值为eq\f(1,5)(当t＝2，即x＝5时y取得最大值).【点评】求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值.等号能够取得.【命题热点突破三】简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．例3、【2016年高考北京理数】若，满足，则的最大值为（）A.0B.3C.4D.5【答案】C【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，∴所求最大值为4，故选C.【感悟提升】(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．【变式探究】若x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－y≤0，,x＋y－4≤0，))则eq\f(y,x)的最大值为________.【答案】3【解析】画出可行域如图阴影所示，∵eq\f(y,x)表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x，y)在点A处时eq\f(y,x)最大.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x＋y－4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3.))∴A(1,3).∴eq\f(y,x)的最大值为3.]【高考真题解读】1.【2016高考新课标1卷】若,则()（A）（B）（C）（D）【答案】C2.【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（）（A） （B）6 （C）10 （D）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.3.【2016高考山东理数】若变量x，y满足则的最大值是（）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C【解析】不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为,故选C.4.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（）A．2B．4C．3D．【答案】C【解析】如图为线性区域，区域内的点在直线上的投影构成了线段，即，而，由得，由得，．故选C．5.【2016年高考北京理数】若，满足，则的最大值为（）A.0B.3C.4D.5【答案】C【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，∴所求最大值为4，故选C.6.【2016年高考四川理数】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足则p是q的()（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内，故选A.7.【2016高考新课标3理数】若满足约束条件则的最大值为_____________.【答案】 8.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．【答案】【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么 ①目标函数.二元一次不等式组①等价于 ②作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.将变形,得,平行直线,当直线经过点时,取得最大值.解方程组,得的坐标.所以当,时,.故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.9.【2016高考江苏卷】已知实数满足，则的取值范围是▲.【答案】【解析】由图知原点到直线距离平方为最小值，为，原点到点距离平方为最大值，为，因此取值范围为1.(2015·重庆卷)“x＞1”是“logeq\s\do9(\f(1,2))(x＋2)＜0”的()A.充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析由x＞1x＋2＞3logeq\s\do9(\f(1,2))(x＋2)＜0，logeq\s\do9(\f(1,2))(x＋2)＜0x＋2＞1x＞－1，故“x＞1”是“logeq\s\do9(\f(1,2))(x＋2)＜0”成立的充分不必要条件.因此选B.答案B2.(2015·北京卷)若x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,x＋y≤1，,x≥0，))则z＝x＋2y的最大值为()A.0 B.1 C.eq\f(3,2) D.2解析可行域如图所示.目标函数化为y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)z，当直线y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)z过点A(0，1)时，z取得最大值2.答案D3.(2015·陕西卷)设f(x)＝lnx，0＜a＜b，若p＝f(eq\r(ab))，q＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，r＝eq\f(1,2)(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是()A.q＝r＜p B.q＝r＞pC.p＝r＜q D.p＝r＞q解析∵0＜a＜b，∴eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)，又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))＞f(eq\r(ab))，即q＞p.又r＝eq\f(1,2)(f(a)＋f(b))＝eq\f(1,2)(lna＋lnb)＝eq\f(1,2)lna＋eq\f(1,2)lnb＝ln(ab)eq\s\up6(\f(1,2))＝f(eq\r(ab))＝p.故p＝r＜q.选C.答案C4.(2015·全国Ⅰ卷)若x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－y≤0，,x＋y－4≤0，))则eq\f(y,x)的最大值为________.解析约束条件的可行域如图，由eq\f(y,x)＝eq\f(y－0,x－0)，则最大值为3.答案35.(2015·四川卷)如果函数f(x)＝eq\f(1,2)(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上单调递减，那么mn的最大值为()A.16 B.18 C.25 D.eq\f(81,2)解析令f′(x)＝(m－2)x＋n－8＝0，∴x＝－eq\f(n－8,m－2)，当m＞2时，对称轴x0＝－eq\f(n－8,m－2)，由题意，－eq\f(n－8,m－2)≥2，∴2m＋n≤12，∵eq\r(2mn)≤eq\f(2m＋n,2)≤6，∴mn≤18，由2m＋n＝12且2m＝n知m＝3，n＝6，当m＜2时，抛物线开口向下，由题意－eq\f(n－8,m－2)≤eq\f(1,2)，即2n＋m≤18，∵eq\r(2mn)≤eq\f(2n＋m,2)≤9，∴mn≤eq\f(81,2)，由2n＋m＝18且2n＝m，得m＝9(舍去)，∴mn最大值为18，选B.答案B6.(2015·山东卷)已知x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≤2，,y≥0，))若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝()A.3 B.2 C.－2 D.－3答案B7.(2015·天津卷)设x∈R，则“|x－2|＜1”