画法几何垂直问题

3.1平行问题3.1.1直线与平面平行3.1.2平面与平面平行第一页1第二页，共56页。3.1.1直线与平面平行若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。PCDBA第二页2第三页，共56页。例1试判断直线AB是否平行于平面CDE。fg

f

gb

a

abc

e

d

edc结论：直线AB不平行于定平面XO第三页3第四页，共56页。例2过点K作一水平线AB平行于已知平面ΔCDE。b

a

af

fbc

e

d

edk

kcXO第四页4第五页，共56页。3.1.2平面与平面平行

若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直线，则这两个平面平行。PSEFDACB第五页5第六页，共56页。f

e

d

edfc

a

acb

bm

n

mnr

rss

结论：两平面平行XO例3试判断两平面是否平行第六页6第七页，共56页。例4已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rd

dc

a

acb

bk

kXO第七页7第八页，共56页。例5试判断两平面是否平行结论：两平面平行ef

e

fsr

s

d

dc

a

acb

brPHSHXO第八页8第九页，共56页。3.2相交问题3.2.1积聚性法3.2.2辅助平面法第九页9第十页，共56页。交点与交线的性质

直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有线的投影。PABKDBCALKEF第十页10第十一页，共56页。3.2.1积聚性法当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。VHPHPABCacbkNKM第十一页11第十二页，共56页。直线可见性的判别b

ba

acc

m

mn

k

n

特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接判别直线的可见性--观察法VHPHPABCacbkNKMk在平面之前第十二页12第十三页，共56页。XOa’a(b)b’c’e’d’cefdf’kk’例6铅垂线AB与一般位置平面ΔCDE相交，求交点并判别可见性。第十三页13第十四页，共56页。（2）两平面相交f

k

求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。VHMmnlPBCacbPHkfFKNLnlmm

l

n

bacc

a

b

XOfk第十四页14第十五页，共56页。平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLb

bacnlmc

m

a

l

n

fkf

k

XO第十五页15第十六页，共56页。平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLXOb

bacnlmc

m

a

l

n

fkf

k

第十六页16第十七页，共56页。过AB作平面P垂直于H投影面3.2.2辅助平面法DECP12KBA第十七页17第十八页，共56页。2PH1

作题步骤：1、过AB作铅垂平面P。2、求P平面与ΔCDE的交线ⅠⅡ。3、求交线ⅠⅡ与AB的交点K。XOa

b

bacd

e

edc

12

kk

第十八页18第十九页，共56页。直线AB与平面ΔCDE相交，判别可见性。(

)a

b

bace

edc

d

124

（

）kk

XO3

342

1

第十九页19第二十页，共56页。以正垂面为辅助平面求线面交点1

2

QV21步骤：1、过EF作正垂平面Q。2、求Q平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3、求交线ⅠⅡ与EF的交点K。f

e

efba

acb

c

k

k第二十页20第二十一页，共56页。利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。FBCALKED两一般位置平面相交求交线的方法第二十一页21第二十二页，共56页。1、用直线与平面求交点的方法求出两平面的两个共有点K、L。bacc

b

a

dd

eff

e

PVQV21k

kl

l2、连接两个共有点，画出交线KL。XO作题步骤1

2

第二十二页22第二十三页，共56页。利用重影点判别可见性bacc

b

a

ll

nmm

n

kee

k

3

4

()34

21()1

2

XO两平面相交，判别可见性第二十三页23第二十四页，共56页。例7试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交。ac

ba

cb

f

e

efk

kXO第二十四页24第二十五页，共56页。分析FPCABEKH

过已知点K作平面P平行于

ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。第二十五页25第二十六页，共56页。作图步骤m

n

h

hnmff

ac

ba

cb

e

ek

kPV1

12

21、过点K作平面KMN//

ABC平面。2、过直线EF作正垂平面P。3、求平面P与平面KMN的交线ⅠⅡ。4、求交线ⅠⅡ与EF的交点H。5、连接KH，KH即为所求。第二十六页26第二十七页，共56页。3.3垂直问题3.3.1直线与平面垂直3.3.2平面与平面垂直第二十七页27第二十八页，共56页。3.3.1直线与平面垂直VHPAKLDCBE几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。第二十八页28第二十九页，共56页。定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。VPAKLDCBEHa

ad

c

b

dcbe

eknk

n

XO第二十九页29第三十页，共56页。定理2（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。a

cac

n

nkf

d

b

dbfk

VPAKLDCBEHXO第三十页30第三十一页，共56页。a

cac

nn

mf

d

b

dbfm

例8平面由

BDF给定，试过定点M作平面的垂线。第三十一页31第三十二页，共56页。h

hh

hh

hkk

SVk

kPVk

kQH例9试过定点K作特殊位置平面的法线。第三十二页32第三十三页，共56页。e

f

em

nmn

c

a

ad

b

cdbfXO例10平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于定平面。第三十三页33第三十四页，共56页。例11试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60°，与H面的夹角为45°。n

nXO第三十四页34第三十五页，共56页。平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为补角HPAKFDCBEf

分析第三十五页35第三十六页，共56页。直径任取NM|yM-yN||zM-zN|m

h

mnmk|zM-zN||yM-yN|30°45°mnm

n

k

hn

nXO作图过程第三十六页36第三十七页，共56页。3.3.2两平面垂直几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。PAB第三十七页37第三十八页，共56页。反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。ABⅠⅡ两平面垂直两平面不垂直ⅡⅠAB第三十八页38第三十九页，共56页。g

ha

cac

h

kk

f

d

b

dbfgXO例12平面由

BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面第三十九页39第四十页，共56页。g

h

a

chac

kk

b

bgf

fd

d结论：两平面不平行。XO例13试判断

ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。第四十页40第四十一页，共56页。3.4综合问题分析及解法3.4.1空间几何元素定位问题3.4.2空间几何元素度量问题第四十一页41第四十二页，共56页。平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。求解综合问题主要包括：空间几何元素的定位问题（交点、交线）和空间几何元素的度量问题（如距离、角度）。综合问题解题的一般步骤：

1.分析题意2.明确所求结果，找出解题方法3.拟定解题步骤第四十二页42第四十三页，共56页。例14已知三条直线CD、EF和GH，求作一直线AB与CD平行，并且与EF、GH均相交。c

g

h

e

f

d

cefghdXO3.4.1空间几何元素定位问题第四十三页43第四十四页，共56页。分析所求得直线AB一定在平行于CD的平面上，并且与交叉直线EF、GH相交。ABCDHGEF第四十四页44第四十五页，共56页。作图过程k

kc

g

h

e

f

d

cefghdXOPV11

2

2aa

bb

第四十五页45第四十六页，共56页。例15试过定点A作直线与已知直线EF正交。a

efaf

e

XO第四十六页46第四十七页，共56页。分析EQFAK过已知点A作平面与已知直线EF交于点K，连接AK，AK即为所求。第四十七页47第四十八页，共56页。作图过程2

1a

efaf

e

1

22

PVa

efaf

e

1

k

k21第四十八页48第四十九页，共56页。例16求点C到直线AB的距离。c

a

b

cabXO第四十九页49第五十页，共56页。分析PABCK过C点作直线AB的垂线CK一定在过C点并且与AB垂直的平面P内，过C点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与AB的交点K，最后求出垂线CK的实长即为所求。第五十页50第五十一页，共56页。作图过程c

a

b

cabXOe

d

ed1

2

12kk

所求距离第五十一页51第五十二页，共56页。例17求交叉直线AB和CD的公垂线。cc

a

b

abXOdd

3.4.1空间几何元素度量问题第五十二页