函数、方程、不等式以及它们的图像

函数是中学数学的一个重要概念。函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决。第一页第二页，共88页。和函数有必然联系的是方程，方程的图像与x轴的交点的横坐标，函数的解就是函数也可以看作二元方程，通过方程进行研究。第二页第三页，共88页。，在x轴下方则是的作用还可以使动态的y=f(x)的图像上、下、左、右的移动。不等式是函数与方程关系的一个更为广泛的补充。函数y=f(x)图像在x轴上方是。不等式第三页第四页，共88页。函数思想在解题中的应用主要体现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。第四页第五页，共88页。方程思想在解题中的应用主要表现在：从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式，或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。第五页第六页，共88页。图像将使上述的思想具体化、形象化。它从几何的角度描述问题的本质、变化的规律，使数学问题更具有生命力。第六页第七页，共88页。许多数学问题，不能简单地归结于函数、方程或是不等式，而是它们的综合。通过解决这些数学问题，不仅是对我们数学知识掌握的考查，是对我们逻辑思维能力、形象思维能力、综合解题能力、探索创新能力的考查，更重要的是让我们体会到数学知识之间是如何相互联系、相互渗透的，又是联系渗透得那么惊人的深刻，那么意想不到的精彩。第七页第八页，共88页。二、典型习题例题1、已知实数，，，求与的范围。第八页第九页，共88页。解：，且第九页第十页，共88页。解：即a,b是一元二次方程的根，且两根都大于c，令x轴有两个交点且都在又图像开口向上的两个不相等，则图像与内，第十页第十一页，共88页。解：xyoc第十一页第十二页，共88页。解：第十二页第十三页，共88页。解：,,第十三页第十四页，共88页。例题2、已知，求函数的最大值和最小值。第十四页第十五页，共88页。解：建立方程组（两式相乘并相减）由题意x，y不能同时为零，不妨设第十五页第十六页，共88页。解：即为关于的一元二次方程，有实根第十六页第十七页，共88页。例题3、设f(x)是定义在R上的偶函数，都有，且（1）求及；（2）证明f(x)是求。其图像关于x=1对称，对任意的周期函数；（3）已知第十七页第十八页，共88页。解：（1）对任意的，都有类似地，

第十八页第十九页，共88页。解：（2）已知f(x)图像关于x=1对称（，都有）有

第十九页第二十页，共88页。解：又f(x)是R上的偶函数即f(x)是以2为周期的周期函数第二十页第二十一页，共88页。解：（3）由（2）知2n也是f(x)的周期（把1分为2n个的和）第二十一页第二十二页，共88页。解：第二十二页第二十三页，共88页。例题4、已知集合M是满足下列性质的的全体：存在非零常数T，对任意，有成立。（2）设函数的图像与的图像有公共点，证明：；（3）若函数，求实数k的取值范围。（1）函数是否属于集合M？说明理由；第二十三页第二十四页，共88页。解：（1）对于非零常数T，，由于对于任意的，不能恒成立，所以不属于集合M。第二十四页第二十五页，共88页。解：（2）由题意可知方程组有解显然不是方程的解，所以存在非零常数T，使得第二十五页第二十六页，共88页。解：对于，有第二十六页第二十七页，共88页。解：（3）当时，，显然当时，已知对于任意恒成立存在非零常数T，对于任意有成立，即第二十七页第二十八页，共88页。解：①当时，恒成立，②当时，恒成立由于x的任意性，则只有当的时候可能恒成立第二十八页第二十九页，共88页。解：由①②可知，实数k的取值范围是第二十九页第三十页，共88页。例题5、函数在上有定义，且满足时，有。（1）证明：在上是奇函数；第三十页第三十一页，共88页。（2）对于数列，若，，试求：（3）求证：。；第三十一页第三十二页，共88页。证明（1）：令令第三十二页第三十三页，共88页。证明（1）：在上是奇函数；第三十三页第三十四页，共88页。证明（2）：第三十四页第三十五页，共88页。证明（2）：是以公比的等比数列为首项，2为第三十五页第三十六页，共88页。证明（3）：由（2）第三十六页第三十七页，共88页。证明（3）：证毕。第三十七页第三十八页，共88页。例题6、已知，设P：函数单调递减，Q：不等式的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，在R上求c的取值范围。第三十八页第三十九页，共88页。解：P：函数在R上单调递减Q：不等式的解集为R函数在R上恒大于1第三十九页第四十页，共88页。解：又当函数在R上的最小值是2c，，即Q令第四十页第四十一页，共88页。解：若P正确且Q不正确若P不正确且Q正确的取值范围是。第四十一页第四十二页，共88页。例题7、已知函数（1）若的定义域为判断在定义域上的增减性，并用定时，使的值域为的定义区间请说明理由。。，义证明；（2）当是否存在？第四十二页第四十三页，共88页。解（1）：或，又

的定义域为则，第四十三页第四十四页，共88页。解（1）：第四十四页第四十五页，共88页。解（1）：当时，函数在上是减函数，时，，上是增函数当函数在第四十五页第四十六页，共88页。解（2）：由(1)可知，当时，为减函数，则由其值域为第四十六页第四十七页，共88页。解（2）：第四十七页第四十八页，共88页。解（2）：则为方程的两个根第四十八页第四十九页，共88页。解（2）：方程有两个大于3的不等实根，令第四十九页第五十页，共88页。解（2）：xyo3第五十页第五十一页，共88页。解（2）：当时，存在这样的区间；时，不存在这样的区间。当第五十一页第五十二页，共88页。

例题8、设函数和，已知时，，求实数a的取值范围。恒有第五十二页第五十三页，共88页。

解：，对于恒成立，，令第五十三页第五十四页，共88页。

解：表示以圆为的上半部分；，表示斜率为，截距为的平行直线系（a为参变量）；圆心，2为半径的第五十四页第五十五页，共88页。

解：xyo-2时，恒有的几何意义为半圆恒在直线下方（如图）第五十五页第五十六页，共88页。

解：直线与半圆相切时，有（截距）第五十六页第五十七页，共88页。

解：由图可知，当截距，即时，恒有，即恒有。第五十七页第五十八页，共88页。例题9、已知抛物线和两点直线交曲线C于第一象限内的M、N两点，设点P是弦MN的中点，若直线BP与x轴交于点Q，且点Q在A的左侧，求直线MN的斜率k的取值范围。，过点A作斜率为k的第五十八页第五十九页，共88页。

解：（设直线MN的方程为由）第五十九页第六十页，共88页。

解：设由（1）式直线方程为，令第六十页第六十一页，共88页。

解：已知点Q在点左侧即直线MN的斜率k的取值范围是第六十一页第六十二页，共88页。

例题10、已知对于任意的总过定点，求抛物线与x轴的交点的横坐标的取值范围。，抛物线第六十二页第六十三页，共88页。

解：已知抛物线总过定点该方程对于任意的均成立第六十三页第六十四页，共88页。

解：抛物线方程为第六十四页第六十五页，共88页。

解：设抛物线与x轴的另一交点令y=0第六十五页第六十六页，共88页。

解：当时，由第六十六页第六十七页，共88页。

解：当时，由当时，第六十七页第六十八页，共88页。

解：。综上所述，对于任意的，而点P的横坐标x轴的交点的横坐标的取值范围是,所以抛物线与第六十八页第六十九页，共88页。是定义在R上的奇函数，当时，。(1)求在上的解析式；(2)证明在上是减函数；(3)当时，求关于x的不等式在内的解集。例题11、第六十九页第七十页，共88页。（1）解：，有则已知当时，，第七十页第七十一页，共88页。（1）解：第七十一页第七十二页，共88页。（2）证：第七十二页第七十三页，共88页。（2）证：即，在上是减函数。第七十三页第七十四页，共88页。（3）解：由(2)可知时，当时，由于在上是减函数只有一个实数根第七十四页第七十五页，共88页。（3）解：(不合题意，舍去）第七十五页第七十六页，共88页。（3）解：第七十六页第七十七页，共88页。例题12、已知函数的图像上有两点、，且满足，。第七十七页第七十八页，共88页。（1）求证：（2）求证：的线段长的取值范围是（3）问能否得出，中至少有一个为正数？请证明你的结论。；的图像被x轴所截得；第七十八页第七十九页，共88页。证明（1）：或为方程即的实根第七十九页第八十页，共88页。证明（1）：第八十页第八十一页，共88页。证明（1）：，且第八十一页第八十二页，共88页。证明（2）：设的两