第九章单位根检验与ARIMA模型的估计

第九章单位根检验与ARIMA模型的估计

序列平稳性检验

ARIMA模型的估计一、序列平稳性检验

随机时间序列的平稳性有多种定义，但通常是指弱平稳。弱平稳的定义是：对于随机时间序列

，如果其期望值、方差以及自协方差均值不随时间t变化而变化，则称

为弱平稳随机变量，即

必须满足以下条件：

对于所有时间t，有：

（1）

为不变的常数

（2）

为不变常数

（3）

自相关函数ACF的定义为：1、自相关函数与序列平稳性

以平稳的AR(1)模型以及随机游走模型为例：可以证明AR(1)以及随机游走模型的ACF表达式分别为：

可以通过平稳性的定义看出AR(1)过程为平稳的，而随机游走为非平稳的。如果a值较小则AR(1)的ACF值会随着j的增加而迅速减小，从而可以从ACF值的迅速减小来反推序列的平稳性。但是当a绝对值较大接近1时，则不易区分，因为随机游走模型的ACF绝对值随着时间j的推移也是缓慢地减小的，很难通过ACF图来区别时间序列的平稳性。

由于自相关函数图检验时间序列平稳性的缺陷，所以需要引入时间序列平稳性的正式检验方法——单位根检验法。而单位根检验以DF检验和ADF检验最为常见。其实，DF检验是ADF检验的特殊形式，所以在此以DF检验为主解释，ADF检验可以自然拓展。

（1）DF检验的基本概念

检验时间序列是否含有单位根，称为单位根检验，若含有单位根则时间序列为非平稳序列。考虑一个AR(1)模型：

要检验AR(1)是否含有单位根只需要检验原假设=1相对于备择假设<1是否能被拒绝。拒绝择代表模型是平稳的，接受则代表存在单位根为不平稳的。通常在DF检验过程中，一般把模型改写为以下形式：2、单位根检验其中

，这样，原来的假设检验就等价于以下检验：

DF检验一共包括三种形式：

①

②

③

其中，三种情况对应的原假设是相同的，都是指待检验序列为含有单位根的随机游走序列。而备择假设则有些不同，第①种情况是指均值为零的平稳序列，第②种情况是指均值不为零的平稳序列，第③种情况是指含有时间t的趋势平稳序列。（2）ADF检验的基本概念ADF检验是DF检验的拓展，所以DF检验是ADF检验的特殊形式。即ADF检验是DF检验从AR(1)到AR(p)的拓展。

可以将AR(p)模型写成以下形式用于单位根的检验：其中：与DF检验类似，ADF也具有三种形式，在此不再赘述。

案例9.1估计步骤：序列平稳性的自相关函数检验

打开M2序列，在其窗口工具栏依次选择View|Correlogram选项，打开如图9.1所示的CorrelogramSpesification对话框。看原序列的自相关函数图，则Correlogramof栏选择level项，若要看原序列的一阶或二阶差分序列的自相关函数图，则Correlogramof栏选择1stdifference或2nddifference项。Lagstoinclude中可以输入需要观察到的自相关函数的期数，系统默认值是36，如果需要可以自行输入需要的数值。生成如图9.2所示的序列自相关函数图。图9.1序列自相关图生成窗口

图9.2M2序列自相关函数图序列平稳性的ADF单位根检验

序列平稳性的ADF单位根检验步骤是：在案例工作文件窗口中双击M2序列打开M2序列，然后在其窗口工具栏依次选择View|UnitRootTest选项，打开UnitRootTest对话框，最后确定各个选项输出单位根结果，如图9.3所示。9.3M2序列ADF检验结果二、ARIMA模型的估计ARIMA（p,d,q）模型包含三种情况，AR(p)模型，MA(q)模型或是ARMA（p，q），如果原序列是单整的非平稳数据，则对差分平稳后的数据建立以上三种模型。第一种，AR(p)模型对应的代数表达式为：第二种，MA(q)模型对应的代数表达式为：1、ARIMA(p，d，q)模型的表达形式第三种，ARMA（p，q）模型对应的代数表达式为：ARIMA(p，d，q)模型的识别就是指具体的三个参数的确定。

（1）d参数的识别

对于ARIMA(p，d，q)模型的d系数的识别是最简单的，对分析的原序列进行单位根检验，如果是有单位根的，则对其差分后的序列进行判断，如果d阶差分后序列为平稳的，则称序列为d阶单整序列，对这个差分后序列建立ARMA模型即可。如果d阶差分无平稳序列或虽已经平稳但对差分后的序列研究已经没意义，就不用再建立ARMA模型了。

2、ARIMA(p，d，q)模型的识别（2）q的识别

一般可以借助自相关函数ACF图和偏自相关函数PACF图对p和q进行初步的判断。时间序列yt与yt-j的ACF定义为：

一般把不同的j对应的

值绘制成图称为自相关图。以MA（1）过程为例：

基于自相关函数ACF的定义可以推导，

可以证明，MA（q）过程ACF值在q期后为零。（3）p的识别以AR（1）过程为例：

由上可见，yt与yt-2之间通过yt-1是相关的。而部分自相关函数PACF是指yt与yt-k之间剔除了这两期之间由yt-1yt-2…yt-k+1而形成的线性关系后存在的相关性。可见一个AR(1)过程的PACF值在滞后一期后将变为零。可以证明，AR(P)过程PACF值在滞后p期后变为零。

（4）p和q识别总结AR(p)模型，其PACF应该在p期滞后之后突然降为零，而对于MA(q)模型因为其可以转化为AR(∞)形式，所以对应的PACF应该呈现逐渐衰减向零趋近的态势。MA(q)模型，其ACF应该在q期之后陡然变为零，

而对于AR(p)模型，因为其可以转化为MA(∞)形式，所以其ACF应该呈现逐渐衰减向零趋近的态势。由于ARMA(p，q)可以转化为AR(∞)或MA(∞)，所以其对应的特征为两种函数均表现为逐渐衰减的态势。若称陡然降为零为“截尾”，逐渐衰减为“拖尾”，则可以总结AR(p)和MA(q)的识别方法。

表9.2ARIMA模型识别图形判断方法总结但实际操作中，用的都是样本对应的ACF和PACF图来判断，而不是理论上的。（5）最优模型确定的其他准则AR(p)模型MA(q)模型ARMA(p，q)模型ACF拖尾Q期后截尾拖尾PACFP期后截尾拖尾拖尾

上面的判断方法全部是基于图形等的初步判断，实际操作中还要其他辅助的准则进一步进行判断。第一，通过试设模型后进行比较，选择SIC和AIC值最小的和调整后R2最大的模型，这种方法在ARMA(p，q)模型时最重要。第二，如果上述方法无法得到统一的结果，就依“简约原则”进行选择。即选择模型设立单一，滞后期较小的模型。第三，对于AR（p）模型可以进行稳健性检验，排除残差具有序列相关性的模型。

案例9.2估计步骤1.序列平稳性检验M2序列一阶差分序列ADF检验结果2.ARIMA(p，d，q)模型的识别M2一阶差分序列ACF即PACF图3.ARIMA(p，d，q)模型的建立ARIMA（4，1，0）建模回归结果输出窗口ARIMA（3，1，0）建模回归结果输出窗口4.比较ARIMA模型的优劣ARIMA建模需要对比各种可能模型的优劣，取舍得到较优的模型。一般需要比较一些重要指标。下面，以上述对M2序列建立的ARIMA(4,1,0)和ARIMA(3,1,0)为例来比较。调整R2表示模型的整体拟合优度，该值介于0和1之间，越大代表拟合效果越好。AIC和SC都表示信息准则，对于模型来说其值越小越好。残差序列相关性是模型取舍的关键之一，如