高斯小学奥数四年级上册含答案第08讲-数列规律计算

第八讲数列规律计算待修改漫画待修改漫画【漫画修改】原图中从小高出发的是等差数列：1，2，3，4，5，…．现改为双重数列：1，1，2，1，3，1，4，1，5，1，6，1，7，1，…．我们以前学习过找规律以及等差数列，本讲内容就是以这两块知识为基础，并通过找规律、应用等差数列和周期性解决问题．本讲所学的很多数列的规律可要比等差数列复杂得多．例如：1，1，1，2，1，3，1，4，…这样的数列，我们就要把奇数项和偶数项分开来看，或者是两项两项地看．又如：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…奇数项和偶数项的规律不是特别明显，两项两项地看也没有好的发现，但三项三项地看就很容易发现规律了．对于规律较复杂的数列，我们不能拿别的数列规律生搬硬套，要具体问题具体分析．首先让我们来寻找以下数列的规律．找规律（1）40，2，37，4，34，6，31，8，________，________，25，12；

（2）1，2，2，4，3，8，4，16，5，________，________，64，7．例题1观察数列的规律：10，1，10，2，10，3，10，4，10，5，10，6，…，50．

请回答以下问题：

（1）这个数列中有多少项是10？

（2）这个数列中所有项的总和是多少？「分析」这是一个双重数列，试着拆开看看，这两重分别是什么数列呢？根据哪一重求项数呢？

练习1观察数列的规律：1，4，2，4，3，4，4，4，5，4，6，4，…，30，4．

请回答以下问题：

（1）这个数列中有多少项是4？

（2）这个数列中所有项的总和是多少？

例题2观察数列的规律：1，2，2，4，3，6，1，8，2，10，3，12，1，14，2，16，3，18，…，50．

请回答以下问题：

（1）这个数列中有多少项是2？

（2）这个数列所有项的总和是多少？「分析」这是一个双重数列，拆开看看，这两重分别是什么数列呢？根据哪一重求项数呢？练习2观察数列的规律：1，30，3，28，1，26，3，24，1，22，3，20，1，18，3，16，1，14，…，2．请回答以下问题：

（1）这个数列中有多少项是3？

（2）这个数列所有项的总和是多少？例题3观察数列的规律：1，2，2，4，3，6，4，8，5，10，6，12，7，14，8，16，9，18，…，19．

请回答以下问题：

（1）这个数列共有多少项？

（2）这个数列所有项的总和是多少？「分析」这是一个双重数列，试着拆开看看，这两重分别是什么数列呢？根据哪一重求项数呢？最后一个数19是属于哪一重的呢？练习3观察数列的规律：40，1，38，2，36，3，34，4，32，5，30，6，28，7，26，8，24，9，…，2．请回答以下问题：

（1）这个数列共有多少项？

（2）这个数列所有项的总和是多少？例题4观察数组（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…的规律．求：

（1）第10组中三个数的和；

（2）前10组中所有数的和．「分析」解决数组问题，我们可以把数组竖着对齐写，观察一下，每列分别有什么规律呢？

练习4观察数组（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…的规律．求：

（1）第15组中三个数的和；

（2）前20组中所有数的和．解决多重数列问题，首先要把原数列拆成几个简单数列进行分析，而分析过程中，最关键的一步就是要判断清楚原多重数列的最后一项到底是属于哪一重的，进而才能确定两重的项数是否相等．例题5观察数列的规律：2，3，4，6，6，9，8，12，10，15，12，18，14，21，16，24，18，27，…，60．请问：这个数列一共可能有多少项？「分析」这是一个几重数列？试着拆开看看，这两重分别是一个什么数列呢？最后一个60到底是属于哪一重的呢？

例题6一列由两个数组成的数组：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），…．请问：

（1）第70组内的两个数之和是多少？

（2）前55组中“5”这个数出现了多少次？「分析」（1，□）有1组，（2，□）有2组，（3，□）有3组，（4，□）有4组，……，发现这个数组的规律了吗？第70组的第一个数是几呢？你能根据等差数列的和估算出来吗？课堂内外斐波那契数列斐波那契数列，又叫兔子数列，用文字来描述，就是由0和1开始，之后的每一个数都是由前面两个数相加．如下：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，…（一）兔子数列在西方，最先研究这个数列的人是比萨的列奥纳多（又名斐波那契），他描述兔子生长的数目时用上了这个数列，如下为兔子繁殖的规律：第一个月有一对刚诞生的兔子第二个月他们可以生育每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子兔子永不死去每个月兔子对数为：1，2，3，5，8，13，…（二）神奇的自然现象百合花的花瓣是3枚，梅花是5枚，而苹果、梨、杏等蔷薇科植物花瓣也都是5枚，飞燕草是8枚，瓜叶菊是13枚，向日葵有的是21枚，有的是34枚，雏菊有的是34枚、55枚或89枚．这些花瓣数正好就是“斐波那契数”．作业已知一个数列：1，30，1，27，1，24，1，…，1，6，1，3．请问：

（1）这个数列共有多少项？

（2）这个数列中所有数的和是多少？

1，2，2，4，3，6，1，8，2，10，3，12，…，42．观察上面数列的规律，请问：

（1）这个数列中有多少个1？

（2）这个数列中所有数的总和是多少？

2，3，4，6，6，9，8，12，10，15，…，33．观察上面数列的规律，请问：

（1）这个数列共有多少项？

（2）这个数列中所有数的和是多少？

观察数列：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…．三个数为一组，请问：10第一次出现在第几组？

该组的三个数之和是多少？

观察数列的规律：1，3，1，7，1，11，1，15，1，19，1，23，…，39．观察上面数列的规律，请问：

（1）数列中有多少个1？

（2）数列中所有数的总和是多少？第八讲数列规律计算例题1答案：51项；1775详解：（1）奇数项是由常数10组成的，偶数项是从1开始连续的自然数．偶数项有50项，所以奇数项也有50项，那么在奇数项中有50个10，在偶数项中还有1个，所以有51项是10；（2）奇数项的和是，偶数项的和是，所以所有项的总和是．

例题2答案：9项；699详解：（1）奇数项是由1、2、3组成的周期数列，偶数项是从2开始连续的偶数．偶数项有项，所以奇数项也有25项，，那么在奇数项有8个完整周期还多余1个数，每个周期中有1个2，多出来的1项是1，所以奇数项一共有8个2，在偶数项中还有1个，所以有9项是2；（2）奇数项的和是，偶数项的和是，所以所有项的总和是．

例题3答案：37项；532详解：（1）奇数项是由从1开始连续的自然数组成，偶数项是从2开始连续的偶数．最后一项是奇数项，奇数项有19项，偶数项有18项．共有37项；（2）奇数项之和是；偶数项的最后一项是，所以偶数项之和是，所有项的总和是．

例题4答案：33；195详解：（1）观察数组的规律，可以知道数组里面三个数都是连续的自然数，而且每组的第一个数组成了从1开始连续的自然数，所以第10组三个数是

（10，11，12），三个数的和是；（2）第1组三个数的和是，第2组三个数的和是，依次类推，前10组所有数的和是．

例题5答案：59项或40项详解：奇数项是从2开始连续的偶数组成，偶数项是从3开始公差为3的等差数列组成．60可能是奇数项也可能是偶数项．当60是奇数项的时候，奇数项有项，所以偶数项有29项，共有59项；当60是偶数项的时候，偶数项有项，所以奇数项也有20项，共有40项．例题6答案：16；11次详解：（1）观察数组的规律，第一个数是1的有1组，第一个数是2的有2组，第一个数是3的有3组，因为组，所以从第67组开始，每组的第一个数是12，第67组是（12，1），依此类推第70组是（12，4），两个数的和是；（2）因为组，所以第55组恰好是

（10，10），第一个数是5的有5组，即（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），

（5，5）．第二个数是5的只能是（5，5），（6，5），（7，5），（8，5），（9，5），（10，5），出现了6次，所以“5”这个数出现了11次．练习1答案：31；585详解：（1）偶数项是由常数4组成的，奇数项是从1开始连续的自然数．奇数项有30项，所以偶数项也有30项，那么在偶数项中有30个4，在奇数项中还有1个，所以有31项是4；（2）偶数项的和是，奇数项的和是，所以所有项的总和是．

练习2答案：7项；269详解：（1）奇数项是由1、3组成的周期数列，偶数项是30~2连续的偶数．偶数项有项，所以奇数项也有15项，，那么在奇数项有7个周期还多余1个数，每个周期中有1个3，多出来的1项是1，所以奇数项一共有7个3，在偶数项中没有3，所以共有7项是3；（2）奇数项的和是，偶数项的和是，所以所有项的总和是．

练习3答案：39项；610简答：（1）偶数项是由从1开始连续的自然数组成，奇数项是40~2连续的偶数．最后一项是奇数项，奇数项有项，偶数项有19项，共有39项；（2）奇数项之和是；偶数项的最后一项是19，所以偶数项之和是，所有项的总和是．练习4答案：48；690简答：（1）观察数组的规律，可以知道数组里面三个数都是连续的自然数，而且每组的第一个数组成了从1开始连续的自然数，所以第15组三个数是

（15，16，17），三个数的和是；（2）第1组三个数的和是，第2组三个数的和是，依次类推，前20组所有数的和是．作业1答案：20；175简答：（1）奇数项都是1，偶数项是公差为3的等差数列，偶数项有10项，整个数列有20项；（2）奇数项之和为10，偶数项之和为，所有数之和为175．作业2答案：7；504简答：（1）偶数项是2，4，6，…，42，有21项；奇数项也有21项，是1，2，3这三个数为一个周期的循环数列，21个数包含7个完整周期．偶数项中没有1，奇数项中有7个1，因此一共有7个1；（2）偶数项总和为，奇数项总和为，所有数之和为504．作业3答案：22；330简答：（1）偶数项是3，6，9，…，33，有11项；奇数项也有11项，整个数列有22项；（2）奇数项是2，4，6，8，…共11项，所以第11项是22，所以奇数项之和是，所有偶数