初中正方形性质及判定数学试卷

#正方形性质以及判定试题一、单选题（共8题；共16分）1•下列说法不正确的是（）A.一组邻边相等的矩形是正方形B.对角线相等的菱形是正方形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.有一个角是直角的平行四边形是正方形2•如图，每个小正方形的边长为1，A,B，C是小正方形的顶点，则/ABC的度数为（）90°B.60°C.45°D.30°3•如图，边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3,则另一边长是(*(*A.2m+3B.2m+6C.m+3D.m+64.如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DEIIAC交BC的延长线于E,则图中与AABC全等的三角形共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个下列命题中，真命题是（）A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B.等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形C.圆的切线垂直于经过切点的半径D.垂直于同一直线的两条直线互相垂直如图，矩形ABCD中,AB>AD，AB=a,AN平分/DAB.DM丄AN于点M，CN丄AN于点N,贝VDM+CN的值为（用含有a的代数式表示）（）

A.aB.為D.A.aB.為D.7.如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，ZBEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连结AH,则与ZBEG相等的角的个数为（）A.4B.3C.2D.18.如图，正方形ABCD的边长为8,在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（）AHDA.30B.34C.36D.40二、填空题（共6题；共7分）9.如图，已知正方形ABCD，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE,连结DE,CE,则ZDEC=10•如图，已知矩形ABCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C',若ZADU=20°,贝眩BDC的度数为11.如图，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE是等边三角形，那么ZDCE=如果DE的延长线交BC于G,则ZBEG=12.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C'处，折痕为EF,若/ABE=20°,那么厶EFC'的度数为.度.厶EFC'的度数为.度.13.正方形OA1B1Ciy\1A2B2C2>A2A3B3C3，按如图放置，其中点A.A2、A3在x轴的正半轴上，点B】、B2、B3在直线y=-x+2上，则点An的坐标为14•如图，正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为三、综合题（共8题；共80分）15.在平面内正方形ABCD和正方形CEFH如图放置，连接DE，BH两线交于点M.M.求证：BH=DE；BH丄DE.16.在厶ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE丄AB,DF丄AC,垂足分别是E,F.BDC说明:DE=DF只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形•请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线，无需证明。17.如图，△ABC中，AB=AC，AD是厶ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E,使OE=OD，连接AE，BE.cA求证：四边形AEBD是矩形；当厶ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由18.如图,△ABC是等腰直角三角形/A=90°,点P,Q分别是AB,AC上的一动点,且满足BP=AQ,D是BC的中点.求证:△PDQ是等腰直角三角形.当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,并说明理由.

19.如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DEIIAC,CEIIBD.试判断四边形OCED的形状，并说明理由；若AB=6,BC=8,求四边形OCED的面积.20.如图，在等边三角形ABC中，点20.如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE.求/CAE的度数；取AB边的中点F,连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形.21.如图所示，在AABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,的延长线交于点F,连结AE、CF.求证：AF=CE；若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论.

22.如图，四边形ABCD是矩形，ZEDC=ZCAB,ZDEC=90°.求证：ACIIDE；过点B作BF丄AC于点F,连结EF,试判断四边形BCEF的形状，并说明理由.四、解答题(共4题；共20分)AE交DG于F.求证:AE=FC+EF.24.已知：如图，矩形ABCD的外角平分线围成四边形EFGH.23.如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点(点G与B、CAE交DG于F.求证:AE=FC+EF.24.已知：如图，矩形ABCD的外角平分线围成四边形EFGH.求证：四边形EFGH是正方形.25.AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE,EF垂直AC交BC于F,求证26.如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由DB关系？请说明理由DB答案解析部分一、单选题【答案】D【考点】正方形的判定与性质【解析】【解答】当一个四边形既是菱形又是矩形时，它就是正方形.故答案为：D.【分析】有一个角是直角的平行四边形可以是矩形.【答案】C【考点】勾股定理的逆定理【解析】【解答】根据勾股定理可以得到:AC=BC=T?,AB="仁.•••AC2+BC2=AB2.「.△ABC是等腰直角三角形.ZABC=45°.故答案为：C.【分析】利用勾股定理和勾股定理的逆定理判断特殊的直角三角形，从而求取特殊角的度数，是本节的重点，也为今后学习一般三角形的余弦定理做一个准备.【答案】A【考点】完全平方公式的几何背景【解析】【解答】设另一边长为a,由面积法可得：（m+3）2=m2+3・a,•a=2m+3.故答案为：A.【分析】由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为3,利用矩形的面积公式即可求出另一边长.【答案】D【考点】直角三角形全等的判定【解析】【解答】根据矩形的性质，△CDA、△BAD、△DCB与氐ABC全等，因为DEIIAC，所以ZCDE=ZDCA，因为CD=DC,ZADC=ZECD，所以△ADC^△ECD，所以与厶ABC全等的三角形有4个.故答案为：D.【分析】根据题中条件，结合图形，可得出与△ABC全等的三角形为厶ADC，△ABD，△DBC，△DCE共4个.【答案】C【考点】切线长定理【解析】【解答】A、注意真命题是正确的命题.A错在对角线还应互相平分，故A不符合题意.B、B错在等腰梯形不是中心对称图形，故B不符合题意.C、圆的切线垂直于经过切点的半径，故C符合题意.D、D错在结论应是互相平行，故D不符合题意.故答案为：C.【分析】根据切线定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.【答案】C【考点】矩形的性质【解析【解答】设AN与DC交于点P,可证DM=PM,CN=PN.设DM=x，则CN=PN=a—x,二DM2+CN=上a2故答案为：C.【分析】根据AN平分/DAB,DM丄AN于点M,CN丄AN于点N得/MDC=ZNCD=45°,所以DM+CN=（DP+PC）cos45°=CDcos45°；再根据矩形ABCD,AB=CD=a,DM+CN的值即可求出.7.【答案】B【考点】翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】连接BH,如图，•••沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，:.乙1=Z2,EB=EH,BH丄EG,而上1>60°,Z1HZAEH,TEB=EH,ZEBH=ZEHB,又•••点E是AB的中点，EH=EB=EA,.EH壬AB,.△AHB为直角三角形，ZAHB=90°,Z3=Z4,Z1=Z3,Z1=Z2=Z3=Z4.则与ZBEG相等的角有3个。故答案为：B.【分析】连接BH,根据折叠的性质得到角相等，EB=EH,BH丄EG,贝业EBH=ZEHB，又点E是AB的中点，得EH=EB=EA，于是判断△AHB为直角三角形，根据等角的余角相等得到与ZBEG相等的角.8.【答案】B【考点】正方形的性质【解析【解答】由题意可知△AEH,△BFE,△CGF,△DHG都是直角边分别为5cm和3cm的直角三角形，所以这四个直角三角形的面积为：4xgx5x3=30cm2,而正方形ABCD的面积为64cm2,所以四边形EFGH的面积是34cm2。故答案为：B.【分析】四边形EFGH的外围有四个直角三角形，每个直角三角形面积=（8-5）x5-2.则四边形EFGH面积=方形ABCD的面积-四个直角三角形面积.二、填空题【答案】30°【考点】等边三角形的性质【解析】【解答】△ABE为等边三角形ZBAE=60°,ZDAE=150°,△ABE为等腰三角形，ZAED=15。同理ZBEC=15°所以ZDEC=30°故答案为：30°.【分析】由题意易证得ZDAE=150°，又AE=AB=AD，ZAED=ZADE=15°.同理ZBEC=15°，用大减小ZBAE-ZAED-ZBEC即可得到答案.【答案】55°【考点】翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】本题考查矩形的性质和折叠全等的问题，设ZBDC=x°，则ZADB=（90—x）°,•••x=90—x+20,•x=55°故答案为：55°.【分析】由折叠的性质可知ZBDC=ZBDU，故ZADB=ZBDC'-ZADC'=ZBDC-20。，根据ZADB+ZBDC=90°，列方程求ZBDC.【答案】ZEDC=150；ZBEG=450【考点】正方形的性质【解析】【解答】T△ABE是等边三角形，ZABE=ZAEB=60°，BE=AB，T四边形ABCD是正方形，AB=BC，ZABC=ZBCD=90°，BE=BC，ZCBE=90-60°=30°，ZBCE=ZBEC=三（180°-30°）=75°，ZDCE=ZBCD-ZBCE=90°-75°=15°；由对称性可得ZAED=ZBEC=75°，ZBEG=180°-ZAED-ZAEB=180°-75°-60°=45°.故答案为：15°；45°.【分析】根据已知可以证明△ADE和厶BCE是两个全等的等腰三角形，由此可求得ZBEC的度数，从而即可求得ZDCE的度数；由上一问得到的结论应用上列等式ZBEG=180°-ZAED-ZAEB，代入数值即可得解.【答案】125【考点】翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】•••在矩形ABCD中，ZABE=20°，•ZAEB=70°.T点D与点B重合，「.ZBEF=ZDEF==55°，TADIIBC，•ZBFE=ZDEF=55°.「.ZEFC=180°—55°=125°.V点C的对应点是C',ZEFC'=125°故答案为：125.【分析】由折叠的性质知：ZEBC'、ZBC'F都是直角，因此BEIC'F,那么ZEFC'和ZBEF互补，欲求ZEFC'的度数，需先求出ZBEF的度数；根据折叠的性质知ZBEF=ZDEF，而ZAEB的度数可在RtAABE中求得，由此可求出ZBEF的度数，即可得解.【答案】（2n-1,2n-1）【考点】与一次函数相关的规律问题【解析】【解答】A】的坐标是（0,1）,A2的坐标是：（1,2）,根据题意得：b=1,k+b=2.解得：b=1,k=1.则直线的解析式是：y=x+1.TA1B1=1,点B2的坐标为（3,2）,二A1的纵坐标是1,A2的纵坐标是2.在直线y=x+1中，令x=3，则纵坐标是：3+1=4=22；则A4的横坐标是：1+2+4=7，则A4的纵坐标是：7+1=8=23；据此可以得到An的纵坐标是：2n-1，横坐标是：2n-1-1.故答案为：（2n-1,2n-1）.【分析】首先根据直线的解析式，分别求得亠，A2，A3…的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解•此题主要考查了一次函数的性质和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键【答案】【考点】正方形的性质【解析】【解答】解：T四边形ABCD为正方形，AB=BC=1，ZB=90°,二AC2=12+22,AC=J［；同理可求：AE=（圏）2,HE=（雋）3...,.第n个正方形的边长an=（返）n-1.故答案为：（#］）n-1.【分析】根据正方形的性质得出ZB=90°,AB=BC=1，根据勾股定理求出AC，再次应用勾股定理可以求出AE,依次类推得到规律.三、综合题【答案】（1）证明：在正方形ABCD与正方形CEFH中，BC=CD,CE=CH,ZBCD=ZECH=90°,.ZBCD+ZDCH=ZECH+ZDCH,即ZBCH=ZDCE,.△BCH竺△DCE,BH=DE（2）证明：由（1）得，ZCBH=ZCDE,ZDMB=ZBCD=90°,.BH丄DE【考点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】根据正方形的性质可得BC=CD,CE=CH,ZBCD=ZECH=90°,然后求出ZBCH=ZDCE,再利用"边角边"证明△BCH和厶DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；由⑴得ZCBH=ZCDE，然后根据三角形的内角和定理求出ZDMB=ZBCD=90°,再根据垂直的定义证明即可.【答案】（1）证明：连结AD,TAB=AC,D为BC的中点.AD为ZBAC的平分线.TDE丄AB,DF丄AC,ADE=DF.(2)ZBAC=90°,DE丄DF.【考点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】根据AAS可证明△BDE^△CDF,即可得出DE=DF；要利用上一问得到的结论DE=DF,然后再根据三个角是直角的四边形是矩形，条件综合即可证四边形EDFA是正方形.【答案】(1)证明：T点O为AB的中点，连接DO并延长到点E,使OE=OD，A四边形AEBD是平行四边形，TAB=AC,AD>△ABC的角平分线，AAD丄BC,AZADB=90°,A平行四边形AEBD是矩形(2)解：当ZBAC=90。时,理由:TZBAC=90°,AB=AC,AD>△ABC的角平分线，AAD=BD=CD,T由(1)得四边形AEBD是矩形，A矩形AEBD是正方形【考点】正方形的判定【解析】【分析】利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出ZADB=90°,即可得AEBD是矩形；利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD,进而利用正方形的判定得出即可.【答案】(1)证明：连接AD.T△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中点，AAD丄BC,AD=BD=DC,ZDAQ=ZB,又TBP=AQ,A△BPD竺△AQD,APD=QD,ZBDP=ZADQ,TZBDP+ZADP=90°,AZADP+ZADQ=ZPDQ=90°,A△PDQ为等腰直角三角形(2)解：当P点运动到AB的中点时,四边形APDQ是正方形;理由如下：由⑴知厶ABD为等腰直角三角形，当P为AB的中点时,DP丄AB,即ZAPD=90°,又TZBAC=90°,ZPDQ=90°,A四边形APDQ为矩形，又TDP=AP=WAB,A四边形APDQ为正方形【考点】正方形的判定【解析】【分析】连接AD,根据直角三角形的性质可得AD=BD=DC,从而证明厶BPD^△AQD，得到PD=QD,ZADQ=ZBDP,则厶PDQ是等腰三角形；由ZBDP+ZADP=90°,得出ZADP+ZADQ=90°,得到△PDQ是直角三角形，从而证出△PDQ是等腰直角三角形；若四边形APDQ是正方形，则DP丄AB,得到P点是AB的中点.19.【答案】(1)解：四边形OCED是菱形.TDEIIAC,CEIIBD,二四边形OCED是平行四边形，又在矩形ABCD中，OC=OD,二四边形OCED是菱形.(2)解：连结OE.由菱形OCED得CD丄0E,OEIIBC,又CEIIBD,••四边形BCEO是平行四边形..OE=BC=8,…S四边形E亍丞OE・CD=丞x8x6=24【考点】菱形的性质【解析【分析】首先由CEIIBD,DEIIAC,可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形CODE是菱形，由矩形的性质可知四边形OCED的面积为矩形ABCD面积的一半.【答案】(1)解：在等边三角形ABC中，T点D是BC边的中点,.ZDAC=30°.又•••△ADE为等边三角形，•ZDAE=60°.ZCAE=ZDAE-ZDAC=30°(2)解：由⑴知,ZEAF=90°,由F为AB的中点知，ZCFA=90°,.CFIIEA.在等边三角形ABC中，CF=AD.在等边三角形ADE中，AD=EA.CF=EA.•四边形AFCE为平行四边形.又TZCFA=90°,•四边形AFCE为矩形.【考点】矩形的性质【解析】【分析】根据等边三角形三线合一的特点，易求得ZDAC=30°,则ZCAE=ZDAE-ZDAC.先证明四边形AECF是平行四边形，然后根据ZCFA=ZFAE=90°,由矩形的定义判定四边形AFCE是矩形.【答案】(1)证明：在厶ADF和厶CDE中，TAFIIBE,•ZFAD=ZECD.又TD是AC的中点，•AD=CD.TZADF=ZCDE,•△ADF竺△CDE,•AF=CE.(2)证明：若AC=EF，则四边形AFCE是平行四边形.由(1)知AFIICE,AF=CE,•四边形的AFCE是平行四边形，又TAC=EF,•四边形AFCE是矩形【考点】矩形的性质【解析】【分析】由已知条件证明厶ADF^△CDE得到AF=CE.矩形的对角线相等且互相平分，证明矩形就是证明对角线相等.22【答案】(1)证明：在矩形ABCD中，ACIIDE,AZDCA=ZCAB.VZEDC=ZCAB,AZDCA=ZEDC,ACIIDE(2)解：四边形BCEF是平行四边形．理由：由ZDEC=90°,BF丄AC,可得ZAFB=ZDEC=90°,又ZEDC=ZCAB,AB=CD,A△DEC竺△AFB,ADE=AF,由⑴得ACIIDE,A四边形AFED是平行四边形，AADIEF且AD=EF,T在矩形ABCD中,ADIBC且AD=BC,AEFIIBC且EF=BC,A四边形BCEF是平行四边形：【考点】平行四边形的判定【解析】【分析】要证ACIIDE，只要证明，ZEDC=ZDCA即可；要判断四边形BCEF的形状，可以先猜后证,利用三角形的全等,证明四边形的两组对边分别相等.四、解答题【答案】解：T四边形ABCD是正方形，AAD=DC,ZADC=90°,又TAE丄DG,CFIIAE,AZAED=ZDFC=90°,AZEAD+ZADE=ZFDC+ZADE=90°,AZEAD=ZFDC,A△AED竺△DFC(AAS),AAE=DF,ED=FC,TDF=DE+EF,