大学物理下第一次课

#大学物理实验（下）第一次课教案第一部分根据上学期实验报告中的错误，复习有效数字的运算法则，列表法、图示法、图解法的注意点，直接测量量标准不确定度的估算，测量结果的表述。一.有效数字的定义及运算法则（P23）.有效数字的定义：若干位可靠数字与最后一位存疑数字构成了有效数字。有效数字位数越多，测量越准确。有效数字是测量结果的客观反映，它的位数多少不能随意增减。.科学标记法：即小数点前一律取一位有效数字，数值上的不同可用乘以10的不同次幂表示。.有效数字的运算法则：加减结果的存疑位以参与运算的各个量中存疑位最大的为准，可称为“尾数对齐”。乘除结果有效数字位数与参与运算的各个因子中有效数字位数最少的相同，可称为“位数对齐”。乘方、开方的有效数字位数与底相同，这是乘除法的特例。函数运算结果的有效数字位数一般与原函数相同。.使用有效数字的注意点：有效数字前面的0不是有效数字，例如：3.24cm=0.0324m=0.000这三个数都是三位有效数字，3前面的0都不是有效数字，而是由于单位换算所引起。因此，有效数字的位数不等于小数点后保留几位。有效数字中间和后面的0也是有效数字。电子秒表、电阻箱、便携式惠斯登电桥等仪器无法进行估读。这些仪器在测得值的最后一位就存在着仪器误差，就是存疑数字，而不必再估读。参与运算的常数如1/2、兀、＜2等，由于它们不是测得量，其字的位数是无限的。兀可根据需要来选取，不应少选而损失有效字。如:S=汽d2/4=3.14X1.0042/4=0.7913^0.791,如S=汽d2/4=3.1416X1.0042/4=0.7917，汽可根据1.004多选1、2位，而不应少选而损失有效字。5．用有效数字运算法则计算下列各式，并将结果用科学标记法表示：（1）19.03-1.26-0.2x17.6=1.76x101（2）100.74+28.2+1.3x130.2=1.302x102（3）232.1x11x2.6x103（不能得2553.1）（4）0.03870+1.20x3.22x10-2（不能得0.03225）（5）<14400.0=1.20000x102+210.0（6）200.0x（6.6+3.412+210.0（（88.00-87.0）x10.000+210.0200.0x+210.01.0x10.000=2.0x102+2.100x102(7)光电效应实验中的作光照特性图线L=0.2483m,L-2=16.22m-2，不能取16.2m-2。(8)粘度实验中的v=s/t°=170.0/32.15=5.288mm/s,不能取5.29mm/s。为了防止多次取舍而造成的积累效应,运算的中间过程可多取几位有效数字。不确定度决定了测得值的欠准数字,因此,最佳测得值的最后一位必须与不确定度的最后一位取齐,由不确定度决定测得值的存疑位(即由不确定度决定测得值取几位有效数字)。二．列表法、图示法、图解法的注意点.列表法列表时各栏目要标明各物理量的名称和单位,而不必每个测量数据后都后缀单位。.实验数据的作图法(1)坐标纸的大小应根据实验数据的范围和有效数字的位数确定,坐标纸的最小分度应与数据中的可靠数字的最后一位相同,也可以与存疑位相同,以便从图上反映的有效数字位数与实际测量数据相当。(2)以横轴代表自变量,纵轴代表因变量,并划两条粗细适当的线表示纵轴和横轴。在轴的末端近旁注明所代表的物理量及其单位。适当选取坐标轴的起点和标度,使图线大方美观地呈现出来,不要缩在一边或一角。坐标的起点不一定从零开始。(3)依据实验数据用削尖的硬铅笔在坐标纸上描点。因图上的点不醒目,在连线时容易被遮盖,而且同一图上有几条图线时,都用点来描点很可能混淆,故常以该点为中心,用+、X、。、火等符号标明，每种符号代表什么内容应在图纸的空白处注明。(4)连线时应用透明的直尺或曲线板联成光滑的细线,尽量使图线紧贴所有的观测点通过(但应舍弃严重偏离图线的某些点),并使观测点均匀分布在图线的两侧,这样做对多次测量有取平均值的效果。如将此图线延伸到测量数据范围之外,则应按照趋势用虚线表示。(5)在显著位置写出图名。.图解法根据图示法画出的实验图线,利用解析几何知识判断图线的类型,如实验图线是直线,这时横坐标X和纵坐标y反映的物理过程应该有关系y=kx+b,用图解法决定参数k和b的数值时，应在图线上用与实验点不同的符号表示出靠近直线两端的计算点(x,y)和11(X,y),这两计算点的坐标最好为整数，但不能用实验点(原始数据)，于是沙y-y。2 2 k= 2 1X一X21将k值代入y=kx+b或y=kx+b中，就可算出b。当x=0时，y=b，从图上也可以11 22直接读出截距b。求出斜率k和截距b,就得到了经验方程。三．直接测量量不确定度的估算.直接测量量不确定度的A类评定(P20)用统计方法计算出的那些分量都是不确定度的A类评定，统计方法并非只有一种，基本方法是利用贝塞尔公式，即贝塞尔法(Besselmethod)：在相同条件下对物理量X进行了n次测量，测得值为x/x2、x3、…xn，算术平均值为x,由贝塞尔公式得到的算术平均值的标准偏差s(x北是平均值x的A类标准不确定度(standarduncertainty),即

u(Xu(X)=u(X)=s(x)=AA;.15,(H2、一fx^ixx一x/n(n-1)i■ i=1(5.1).直接测量量不确定度的B类评定用非统计方法计算出的那些分量都是不确定度的B类评定。既然B类评定不按统计方法进行,也就是说不需要重复测量,而是根据对测量装置特性的了解和经验;测量装置的生产厂家提供的技术说明文件和产品说明书、检定证书;所用仪器提供的检定数据;取自国家标准、技术规范、手册的参数等形成的一个信息集合，来评定不确定度的B类分量。信息的来源不同,评定的方法也不同,本课程一般只考虑仪器误差这个主要因素。在国家计量技术规范JJF1001)中定义，对给定的测量仪器，由规范、规程等所允许的误差极限值为最大允许误差(maximumpermissibleerrors)或测量仪器的允许误差限。在物理实验中,常将规定条件下正确使用仪器时,仪器的最大允许误差为仪器误差用Am表示。仪器误差是由仪器本身的缺陷和性能的局限性、环境的影响等综合因素造成，因此，仪器误差中既包含有系统误差,也包含有随机误差。在直接测量中，若多次测量的不确定度的A类分量远小于由仪器误差产生的B类分量，就没有必要进行多次测量，只测量一次并以仪器误差来估算不确定度；若多次测量的不确定度的A类分量与仪器误差产生的B类分量相比不可忽略，则可按下文所述的不确定度原理来处理。很多仪器和测量工具都是由生产厂家根据国家标准或行业标准进行生产的，经质量检验，合格后才能出厂。因此,仪器误差可根据有关的标准、检定规程或仪器说明书来估算。例如:Q根据国家标准《GB/T1216—2004外径千分尺》，测量范围为0〜50mm、50〜100mm、100〜150mm时，外径千分尺的示值误差(测量仪器的［示值］误差,JJF1001中定义为测量仪器的示值与对应输入量的真值之差，其实质仍为仪器误差)分别为4gm、5gm、6gm。Q根据国家标准《GB/T7676—1998直接作用模拟指示电测量仪表及其附件》，电流表和电压表的准确度等级指数(或称等级指标)分11级，以百分数表示为C=0.05、0.1、0.2、0.3、0.5、1、1.5、2、2.5、3、5.如果电流表和电压表的测量范围上限为xmax,在参考条件下基本误差的极限A(x)=±C%.xm max(教材P76倒10行是作废的老标准)由上式可知，在参考条件下，电流表和电压表的每个量程所对应的仪器误差Am是个定值。因此，选择电流表和电压表时，要减小仪器误差，不仅要考虑仪器的准确度等级,而且应考虑测量范围上限,使电流表和电压表的示值应尽量大于量程的2/3,但不能超过量程。如果环境温度、相对湿度等影响量在参考条件范围之外、但在标称使用范围极限内，电流表和电压表的仪器误差中除包含基本误差的极限外，还应包含由影响量所产生变差。因为仪器误差Am是允许误差的极限值，即误差在［-Am，Am］区间内的概率约为100%,那么,B类标准不确定度m mu(x)=A(x)/k (5.2)Bm式中因子k由仪器误差可能的分布决定:按正态分布、均匀分布、三角分布时，k分别取3、＜3、&；如不知误差的概率分布，k可取•v3(宁小勿大)。本课程中，仪器误差可能的分布一般是未知的,k应取为，”.对物理量X的测量结果中，如果不仅存在若干个由(5.1)式估算出的标准不确定度的A类分量uAi(x)，还存在由(5.2)式估算出B类分量u均(x)时，在各个不确定度分量互相独立、不相关的情形下，计算A类和B类评定的总贡献时，应将各个不确定度分量按“方和根”的方法合成，这时，直接测量结果的标准不确定度的总贡献u(x)为u(x)=u(x)=Eu2(x)+Zu2(x)Ai-i=1Bjj=11/2(5.3).结果表示(报告)得到了最佳测得值x(最佳测得值也可以是修正过的算数平均值、计量标准器所复现的值等)和u(x),直接测量的结果就可以表示(报告)为(5.4)(x)=x(u(x))(5.4)这样表示的意义是：物理量X的量值x，以一定的置信概率p满足x-u(x)<x<x+u(x)，即置信区间为[x-u(x),x+u(x)],标准不确定度u(x)为置信区间的半宽，如果u(x)为正态分布,置信概率p=68%。第二部分间接测量量的合成标准不确定度的估算一．间接测量量的合成标准不确定度的估算设间接测量量n与直接测量量x、y、Z、…之间满足函数关系N=f(x、y、z、...) (5.5)各直接测量量的最佳估计值(或称最佳测得值,如已修正过的算数平均值、计量标准器所复现的值等)为x0、y0、z0、…；各直接测量量的标准不确定度为u(x)、u(y)、u(z)、…，它们可得自A类评定、B类评定或A类和B类评定的总贡献。当各个直接测量量x、y、z、…是互相独立、不相关的，则间接测量量N的最佳估计值(或最佳测得值)TOC\o"1-5"\h\zN0fx0、y0、z0、…) (5.6)由于直接测量量具有不确定度,从而导致间接测量量也具有不确定度。因为不确定度是微小量,就可利用微分学方法来处理。取(5.5)式的全微分dN=fdx+fdy+fdz+… (5-7)dx dydz也可先对(5.5)式两边取自然对数,再取全微分,得dNdInf, dInf, dInz, (5.8)=ddx+dy+dz+…N dx dy dz各直接测量量x、y、z、…的标准不确定度为u(x)、u(y)、u(z)、…,分别与dx、dy、dz、…对应；间接测量量N的合成标准不确定度u(N)与dN对应。当各个直接测量量是互c1/2(5.9)相独立、不相关的,可将直接测量量的不确定度分量按“方和根”的方法合成,1/2(5.9)u(N)=[fu(x)T+[^-u(y)]+flf-u(z)；+c [I。x ) \Jy )I。z )式中If=c、f=c、f=c为灵敏系数，合成标准不确定度的大小不仅与各直接测。xx。yyIzz

量量的标准不确定度有关，而且与对应的灵敏系数有关.令量量的标准不确定度有关，而且与对应的灵敏系数有关.令dxxuQ)=cu(x)=ufu(y)=cu(y)=u、Ifu(z)=cu(z)=u为间接测量量N的标准不确定度的分量，(5.9)dy yy dz zz式可写成(5.10)u(N)=02+u2+u2H )/2(5.10)c xyz间接测量量N的相对合成标准不确定度为ucrN二恒ucrN二恒nfu(4+[等u(y)fdx1/2(5.11)表5-1中给出了常用函数的合成标准不确定度的计算公式(又可称为合成标准不确定度的传播公式)。表5-1常用函数的合成标准不确定度的计算公式 (表中a、b、m、n、l为实常数)函数形式灵敏系数合成标准不确定度的计算公式N=ax±byc=a c=bx yu(N)=ccc2u2(x)+c2u2(y)xx yN=ax2c=2axxu(N)=vc2u2(x)+c2u2(y)±by2c=2byyc "x yN=x/yc=1/yxu(N)=cc2u2(x)+c2u2(y)x yc=-x/y2yu(N) 'cN ~V0u(x)2 u(y)2+ ■_x」 yN=xmynzicx=mxm-1ynziu(N)=ccic2u2(x)+xc2u2(y)+c2u2(z)y zcy=nxmxn-1zlu(N)rPu(x)2 「u(y)[2 「u(z)12c =N0Wmx'_+[nJ[+Jz]cz=IxmynZl-1N=sinxc=cosxu(N)c二|c|u(x)uc( )=|cotxIu(x)No计算合成标准不确定度时还应注意：.取全微分后，应先合并同一直接测量量的微分(如dx)前的系数为灵敏系数，再进行后面的运算。.以加减运算为主的函数，先取全微分，用(5.9)式计算合成标准不确定度u(N)，再用cu=u(N)/N计算合成相对标准不确定度比较方便；以乘除运算为主的函数，先取自然crc 0对数，用(5.11)式计算合成相对标准不确定度u，再用u(N)=u♦N，得到合成标准不确定cr c cr0度比较方便。

3.如果各直接测量量之间相互不独立,(5.9)和(5.11)式中还应加上由相关系数决定的协方差项。L2-l23.如果各直接测量量之间相互不独立,(5.9)和(5.11)式中还应加上由相关系数决定的协方差项。L2-l2［例题5.1］已知L、l为直接测量量，求间接测量量f= 的合成标准不确定度的计4L算公式。解：由f=L2-l2 Ll2Ll2,f是彳与1T的差，是以加减运算为主的函数，先取全微4 4Ldf=fdL+fdl=(1+2)dL-l—dl

aL al 44L 2L将上式中的微分dL、dl改为直接测量量的标准不确定度u量f的合成标准不确定度(L)、u(l)，由(5.9)式，间接测量・U2(l)1/2间接测量量f的合成相对标准不确定度为ucr=uc(f>f,f0为间接测量量f的最佳估计值,由(5.6)式得出。m［例题5.2］用流体静力称衡法测铝块的密度的公式为P= P，各直接测量量的最m-ms1佳测得值和标准不确定度分别为：铝块在空气中的质量m=(26.87土0.03)g，铝块在水中的“质量”m=(16.93±0.03)g，17°C时水的的密度P=(0.9988土0.0003)g/cm3，求铝1s块的密度及合成标准不确定度.m解：以乘除运算为主的函数，先取P= P的自然对数m-ms1lnp=lnm-ln(m-m)+Inp1s再取全微分TOC\o"1-5"\h\zdP dmdm-dm dP = - 1+ s-Pmm-mP1s合并同一直接测量量的微分前的系数dP -m dm dP= 1——dm+ -+sP m(m-m)m-mP1 1s由(5.11)式,得相对合成标准不确定度为

u(P)U=e u(P)U=e crP0m2=[ 1 u2(m)+m2(m一m)2116.932X0.032u2(m)+—u2p)]i/210.0322ss+ +0.0003]2./226.872x(26.87-16.93% (26.87-16.93)20.99882=3.58x10-3“0.4o」最佳测得值，由(5.6)式得出°mP= mP= 0-P0m一m0 10合成标准不确定度为26.87s026.87一16.93X0.9988=2.700g/cm3u(p)=uxp=3.58X10-3X2.700=0.009720.010g/cm3c cr0铝块密度的测量结果为p=(2.70土0.01)g/cm3=2.70(1)g/cm3［例题5.3］见教材P.21倒数第四行的例4,除A类和B类标准不确定度的符号应更改外，P.22倒数第1行的质量m的标准不确定度应改为u(m)=0.04/<3=0.023g其相对标准不确定度与d、h的相对标准不确定度相比，仍可忽略。此题结果正确。二．撰写实验报告时,应特别注意:(1)国际科技数据委员会2006年对各基本物理常量的推荐值(一般有8位以上有效数字)中的不确定度也只取到2位有效数字。本课程是教学实验,最佳测得值的有效数字位数一般只有3〜5位，测量的相对不确定度比上述国际水平(10-8)的测量要大得多,因此，本课程实验结果的不确定度和相对不确定度的有效数字一般只取1位,当这位有效数字是1或2时可取到2位,这是为了避免由于修约带来过大或过小的不确定度:如将0.151修约成0.2、将0.149修约成0.1,修约幅度为0.049,分别占结果不确定度的1/4、1/2,这时有效数字取2位(即0.15)。当这1位数是3以上时,修约幅度最大为0.049,最多占结果不确定度的1/6,只取1位是可以的。为了防止多次取舍而造成的积累效应,运算的中间过程可多取几位有效数字。(2)不确定度决定了测得值的欠准数字,因此,最佳测得值的最后一位必须与不确定度的最后一位取齐。即由不确定度决定测得值的存疑位。三．扩展不确定度的评定标准不确定度u(%)与合成标准不确定度uc(N)是可以表示测量结果的不确定度的，但测量结果的置信概率并不太大(置信概率p=68%’)。对于某些商业、工业和涉及人身安全和健康的测量结果,需要增大置信概率,即对标准不确定度乘以一个大于1的数字因子。扩展不确定度(expandeduncertainty)在JJF1059中定义是：确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间。扩展不确定度也可称为展伸不确定度,扩展不确定度用符号U或U表示：pU=k-uc (5.12)U=k-uc (5.13)k与kp称为包含因子(coveragefactor),其定义是：为求得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘之数字因子。包含因子也称复盖因子.对于(5.12)式，包含因子k取值2或3,在给出U时，必须指明k的取值；对于所测得的N值的分布接近正态时，采用(5.13)式计算扩展不确

定度Up,Up及kp的下标p表示置信概率，置信概率一般只取p=95%或p=99%,包含因子kp由所测得的括曲勺可能的分布、有效自由度veff决定，这时kp值在2〜3之间，在特殊植况下，kp值可超过此范围。 6 P四.不确定度评定小结用不确定度评价测量结果，使测量的目的从刻意追求真值（而真值却不能通过次数有限、不完善的实际测量获得）,转变为对测量结果的分散性、分布区间的半宽给予合理的评定。不确定度独立分量的合成采用方和根方法。不确定度的表达方式是恒取正值,标准不确定度与扩展不确定度表达了相应的置信区间的半宽。当测量条件、方法、程序改变时,不论测量结果如何,测量不确定度必定改变。当测量条件、方法、程序不变时,即使测量结果不同,测量不确定度也可以相同。第三部分总结常用的物理实验方法（见教材p86~p97）比较测量法定义：见教材p86第3行直接比较测量法：特点是同量纲、直接可比、同时性，如用游标卡尺测长度、物理天平测质量、秒表测时间。间接比较测量法：如直流电流表和电压表通过指针的偏转角来测电流和电压、水银（液体）温度计通过毛细管的长度测温度。放大测量法见教材p89一种是通过各种（机械的、光学的、电磁学的）方法将被测的量本身直接放大。例如利用杠杆，当力臂越短时相应的力越大，可以把力放大；螺旋测微原理也是一种机械放大，是将测微螺杆的螺距放大为微分筒的周界长；利用凸透镜可获得放大的实像或虚像等等都是直接放大的例子。另一种是利用中间装置，测出另一些物理量后，根据物理学定律、公式而得到测量准确度提高的被测物理量，这就是间接放大。例如利用水银温度计测量温度，把温度的变化转化为水银柱长度的变化，水银柱越细，温度计上再采用游标装置来读数，就提高了测量的准确度；利用磁电系列电表的指针偏转测量电流时，表头中永久磁铁的磁场越强、动圈的匝数越多，表头的间接放大倍数越大；本学期要开的“实验4.7金属材料的弹性模量”中的光杠杆也是一种间接放大。补偿法用磁电式直流电压表测量干电池的电动势Ex的方法，是将这种模拟指示的电压表并联到电池的两端，就有电流/通过电池内部和电压表。由于干电池有内电阻厂，在电池内部不可避免地存在电势降落Ir,因而电压表的指示值是电池的端电压U=Ex-Ir，只有当I=0时，电池的端电压才等于电池的电动势Ex。因此，用模拟指示的电压表直接测量电池的电动势是不准确的。为了使电池内部没有电流通过而又能测出电池的电动势Ex，我们采用补偿法。其原理如右图所示，将被测电动势Ex与已知电动势Es按图接成一个回路：当Ex>Es时，回路中有电流流过，检流计的指针偏向一侧；而当Ex<Es时，检流计的指针偏向另一侧；若Ex=Es,回路中没有电流，检流计指示为零，此时Ex处于补偿状态或抵消状态。也就是说，只要Es抵消了Ex的作用，使得电池内部电流为零，，就可以测出Ex,并且Ex=Es。在物理实验中，，测量过程常常不可避免地出现一些改变实验系统原来状态或能量分布的消极影响，如果能有

目的地补充一些条件或能量，以抵消那些影响，使系统保持原来状态（或理论规定状态）的实验方法称为补偿法。零示法惠斯登电桥的基本电路如右图所示。把三个可调的标准电阻R1、R2、R3和一个待测电阻R连接成四边形ABCD,四边形的每一个边称为电桥的一个臂。在四边形的一对顶点A和C之间接有直流电源E和可变电阻R,在四边形的另一对顶点B和D之间接有检流汁G。所谓“桥”一般指的是连接B、D顶点之间的电路，由检流计G直接比较这两点的电势。若B、D两点的电势相等，称为电桥平衡；反之，若B、D两点的电势不相等，称为电桥不平衡。改变可调的标准电阻Rl、R2和R的阻值，就有可能使得B、D两点的电势相等，此时检流计中没有电流通过，即1=0，得：RgR=R=KRxRs rs2R1和R2称为比率臂，R称为比较臂，K=R1/R2称为电桥的量程倍率（又称量程因数）。上式称为电桥的平衡条件，它将待测电阻R用三个已知的标准电阻的阻值表示了出来。由以上分析可知，电桥在不接通电源时，检流计的指针指零；接通电源而电桥达到平衡时，检流计指针仍然指零。这种在平衡点、零点或是相互抵偿的状态附近，实验会保持原始条件，从而避免一些附加的系统误差的实验方法称为零示法或零位法（参见龚振雄编著，《漫话物理实验方法》，P66,科学出版社，1991）。用零示法的测量装置都有一个指零仪或指零装置，用来判断测量装置是否达到了平衡状态（或零点、抵偿点）。指零仪不改变测量装置的工作状态，理论上它不产生系统误差，可以实现高准确度测量。指零仪本身不表征任何测量结果，真正的测量结果都要通过一个或一组标准量来表示，这就实现了比较测量法。因此，惠斯登电桥测电阻的实验同时采用了零示法和比较法。模拟法两个物理量之间,只要具有相同的物理模型或相同的数学表达式,就可以用一个物理量去定量地或定性地模仿另一个物理量,这种方法称为模拟法。静电场模拟实验就是利用直流电场模拟静电场。替代法为了准确测量5011A表头的内阻Rg而又不致使微安表头过载，可按右侧电路图接线： gQ先将稳压电源E和滑线变阻器的滑块都置于输出电压为0的位置，单刀双掷开关K1置于待测的微安表头与标准表串联的位置，接通稳压电源，调节其输出电压在1.0V以下，调节滑线变阻器的滑块，使通过标准表的电流为45.01A。©将单刀双掷开关K1置于电阻箱与标准表串联的位置，调节电阻箱的阻值（保持稳压电源的输出和滑线变阻器滑块的位置与Q同），使通过标准表的电流仍为45.01A。这时，通过电阻箱的电流和电阻箱两端的电压与©