2021年北京市高考数学压轴题预测附答案解析

2021年高考数学压轴题预测

1.已知函数/(x)=3(X-1)山-或有两个不同的零点(其中e为自然对数的底数).

(1)当X<-1时，求证：(X-1)^'>-6^；

(2)求实数k的取值范围；

(3)若函数/(X)的两个零点为幻、X2,求证：e^+eMVe.

【考点】利用导数研究函数的最值.

【分析】⑴问题转化为(x-l)e与1+1>0,令x-l=f,则-2,设g(r)=fe2+L

利用导数求出最值即可证明；

(2)利用导数求出函数的最值，再分类讨论即可求出&的取值范围；

均+1%2+1%i+l

。~2-Q-2--2-1

(3)根据函数零点定理可得靖】+e*2<-(-----+------),再分别求H[----->一二，

xx-l冷一1%1—12

%2+1

【解答】证明：(1)当XV-1时，要证(X-1)/7>-。丁，

只需证明(x-1)e竽+1>0,

令X-1=1,则«-2,设g(力=te2+1,

ti

则g'(力=e2(1+之/),

当，V-2时，g'(力VO,在(-8,-2)上，g(力为单调递减函数，

此时g⑺>g(-2)=1-^>0,

所以原不等式成立.

解：(2)•:f(x)=3x/,

当xVO时，/(x)<0,当xVO时，当/(x)>0,

可得函数/G)在(-8,o)上为单调递减函数，在(0,+8)上为单调递增函数,

所以/(尤)min=f(0)=-3-ek,

(/)当-或23时，f(x)加"20,不合题意，

(")当-或W0时，/(1)=-ek,若xVl,则/(x)<-ek,

当时，f(x)Nek,

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又因为当X<-1时，由(1)可得/(x)>-eT-次，

%—1

由—e2—ek>0得x<2ln(-ek)+1,

取xo满足M)V-1且刈V2加(-ek)+1,则/(xo)>0,

所以/(X)在(-8,1)上有唯一的零点，

综上所述，—称VfcVO.

证明：(3)函数/(%)的两个零点为XI、X2,

所以3(X1-1)e"1-1—或=0,

同理3Cx2-1)e—或=o,

由(1)得(川-1)。>—e2,(x2-DeMT>—e

%1+1%2+1

e~2~

所以靖1+e%2v—(+

-1%211

因为xV,所以,<0,

所以e*i+e*2viVe.

2.已知函数f(x)=lnx,g(x)-ax(a>0).

(1)讨论函数/?(x)=f(x)+g(x)的极值点；

(2)若xi,工2(xi<X2)是方程/(x)-幺?+：=0的两个不同的正实根，证明：XI2+X22

xJ%

>4a.

【考点】利用导数研究函数的极值.

【分析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求

出函数的极值点；

(2)求出加:+3=0,令k(x)=加/+3(x>0,a>0),设，=合(f>1),问题转化

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为证明2lnP-?4-\<0(r>l),令q(x)=2lnx-(x>l),求出函数的导数，根

据函数的单调性证明即可.

【解答】解：(1)h(x)=f(x)+g(x)=//7J：4-X2-ax(x>0)(«>0),

2

jf/x1,o2x-ax4-l

n(x)=-x+2x-a=-------x-------,

令It2-以+1=0,△=/-8,

当0VaW2夜时，△4()，h'(x)20,无极值点,

当q>2位时，令2?-ax+l=0,解得：*=竺星

,a-Va2-8a+Va2-8

当那(0,-------------),(--------------+8)时，h'(x)>0,h(x)递增,

44

a-Va2-8a+Va2-8,

--------,---------)时,h'(x)<0,h(x)递减,

44

a+Va2-8

故人(x)极大值点是极小值点是

4

综上：0Va<2或时，h(x)无极值点,

,—Q-Vu2—go+Va2-8

a>2/时，h(x)极大值点是---------,极小值点是---------；

44

(2)由于(x)—+?=lnx-%x：x+3=0,即/mH■苴=0,

令k(x)=lnx+当(x>0,a>0),

k'(x)=-—令k'(x)=0,得x=五己,

x炉%-5

当OVxvV^时，kf(x)<0,当x>疡时，k'(x)>0,

:.k(x)在(0,V2a)递减，在(怎，+8)上递增，

又,：k(x)有2个零点,

：.k(V2a)<0,即妨伍+言<0,解得：OVaV-

且4»两式相减得：Inxi-lnx\=-^7

xx22,

Ilnx2+-^-2—0i

设，=9(r>1),：.lnt=-----±7，

巧勺2理勺2

.♦.xj=卷(1-/),要证明x12+x22>4a,

即证明(〉产唱(

l+»X4a,(1+if)>4。,

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1

(1+p)—-(1-4)>2，

Int2t2

即证明21nB-尸d—2VO(，>1),

tZ

令q(x)=