随机过程习题解答

习题1令X(t)为二阶矩存在的随机过程，试证它是宽平稳的当且仅当EX(s)与E[X(s)X(s+t)]都不依赖s.证明：充足性：若X(t)为宽平稳的，则由定义知EX(t)=，EX(s)X(s+t)=r(t)均与s无关必要性：若EX(s)与EX(s)X(s+t)都与s无关，阐明EX(t)=常数，EX(s)X(s+t)为t的函数记，．．．，为在（０,１）中均匀分布的独立随机变量，对0<t,x<1定义I(t,x)=并记X(t)=，，这是，．．．，的经验分布函数。试求过程X（t）的均值和协方差函数。解：EI=P=t，D=EI－=t－=t(1－t)，cov=EI(t,)I(s,)－EI(t,)EI(s,)=st－st=0k=j，cov=EI(t,)I(s,)－st=min(t,s)－stEX(t)===tcov===3.令，为独立的正态分布随机变量，均值为0，方差为，为实数，定义过程.试求的均值函数和协方差函数，它是宽平稳的吗？文档来自于网络搜索Solution:..，,，=为宽平稳过程.4.Poisson过程满足（i）；(ii)对，服从均值为的Poisson分布；（iii）过程是有独立增量的.试求其均值函数和协方差函数.它是宽平稳的吗？文档来自于网络搜索Solution，显然不是宽平稳的.5.为第4题中的Poisson过程，记，试求过程的均值函数和协方差函数，并研究其平稳性.Solution,Cov(y(t),y(s))=Ey(t)y(s)-Ey(t)y(s)=E(x(t+1)-x(t))(x(s+1)-x(s))-若s+1<t,即s≤t-1，则Cov(y(t),y(s))=0-=-若t<s+1≤t+1,即t>s>t-1,则Cov(y(t),y(s))=E[x(t+1)-x(s+1)+x(s+1)-x(t)][x(s+1)-x(t)+x(t)-x(s)]-文档来自于网络搜索=E(x(t+1)-x(s+1))(x(s+1)-x(t))+E(x(t+1)-x(s+1))(x(t)-x(s))文档来自于网络搜索+E(x(s+1)-x(t))+E(x(s+1)-x(t))(x(t)-x(s))-=(s+1-t)=-(t-s)-(3)若t<s<t+1Cov(y(t),y(s))=E[x(t+1)-x(s)+x(s)-x(t)][x(s+1)-x(t+1)+x(t+1)-x(s)]-文档来自于网络搜索=(x(t+1)-x(s))(x(s+1)-x(t+1))+E(x(t+1)-x(s))(x(t+1)-x(s))文档来自于网络搜索+E(x(s)-x(t))(x(s+1)-x(t+1))+E(x(s)-x(t))(x(t+1)-x(s))-文档来自于网络搜索=0+(t+1-s)+0-=+(t-s)-(4)若s>t+1Cov(y(t),y(s))=0-=-由此知，故方差只与t-s有关，与t,s无关故此过程为宽平稳的。6，令z和z是独立同分布的随机变量，P(z=-1)=P(z=1)=1/2记x(t)=zcost+zsint,tR,试证：x(t)是宽平稳的，它是严平稳吗？证明：Ez=0,Ez=(-1)×1/2+1×1/2=1/2+1/2=1=D(z)Cov(z,z)=0Ex=0cov(x,x)=E(x,x)=E(zcostcoss+zsintsins+zzcostsins+zzsintcoss)文档来自于网络搜索故为宽平稳的。P而PP显然，x(t)与x(t+h)的分布不相等，故不是严平稳的。7、试证：若为独立同分布的随机变量，定义,则{，n0}是独立增量过程。Proof:与互相独立，故与互相独立。8、若为独立随机变量，还要添加什么条件才干确保它是严平稳的随机过程？Solution:添加，同分布的条件。9.令X和Y是从单位圆内的均匀分布中随机选用一点所得的横坐标和纵坐标，试计算条件概率：P（）Solution:P（）10.粒子依参数为λ的Poisson分布进入计数器，两粒子达成的时间间隔T1，T2，…是独立的参数为λ的指数分布随机变量。记S是[0,1]时段中的粒子总数，时间区间I∈[0,1],其长度记为|I|.试证明P（T1∈I,S=1）=P（T1∈I,T1+T2>1）,并由此计算P(T1∈I|S=1)=|I|.文档来自于网络搜索Proof。{T1∈I,S=1}表明在I内来到了一种粒子，在[0,1]-I内再也没有来到粒子，也就是说第二个粒子的到来在[0,1]之后，即T1+T2>1.(T1+T2为第二个粒子来到的时间)。从而文档来自于网络搜索P{T1∈I,S=1}=P{T1∈I,T1+T2>1}P（T1∈I|S=1）=P（T1∈I,S=1）/P(S=1)=P(T1∈I,T1+T2>1)/P(S=1)S~P(λ)={λ|I|e-λ|I|*(λ(1-|I|))0*e-λ(1-|I|)}/λe-λ=|I|11.X,Y为两独立随机变量且分布相似，证明E(x|x+y=z)=E(y|x+y=z).并试求基于x+y=z的x的最佳预报，并求出预报误差E（x-φ(x+y)）2文档来自于网络搜索Proof：因x与y独立，且分布相似，则x|x+y=z=dy|x+y=z故E(x|x+y=z)=E(y|x+y=z)而E(x+y|x+y=z)=z,故E（x|x+y=z）=z/2用任意的φ（z）来对x做预报，预报误差为：E（x-φ（z））2=E(x-E(x|x+y=z)+E(x|x+y=z)-φ（z）)2=E(x-E(x|x+y=z))2+E(E(x|x+y=z)-φ（z）)2+2E(x-E(x|x+y=z))*(E(x|x+y=z)-φ（z）)=E(x-E(x|x+y=z))2+E(E(x|x+y=z)-φ（z）)2≥E(x-E(x|x+y=z))2取等号，当且仅当φ（z）=E（x|x+y=z）预报误差E（x-φ（x+y））2=E(x-z/2)212、气体分子的速度V有三个垂直分量，，，它们的联合分布密度依Maxwell-Boltzman定律为,其中k是Boltzman常数，T为绝对温度，给定分子的总动能为e.试求分子沿x方向的动量的绝对值的盼望值。文档来自于网络搜索解：由于，，的联合密度函数为...因此，，，互相独立，且，，都服从正态分布N(0，κT).故气体分子的总动能为由此可得(1)而气体沿x方向的动量的绝对值的盼望值为由此及（1）可得13.若X1,X2,…,Xn独立同分布，他们服从参数λ的指数分布，试证：i=1Proof.φx1φ记Y~Γn,λ,y,则

==(λλ-t由矩母函数与分布函数互相唯一决定知i=1nXi14.设X1,X2为互相独立的均值为λ1和λ2的Poisson随机变量。试求XSolution.P(X===e=e=(λ1+=Cnl15.若，，…，独立且有相似的觉得参数的指数分布，N服从几何分布，即.试求随机和的分布。解：===16.若，，…独立同分布，,N与，i≥1独立且服从参数为的几何分布，.试求随机和的均值，方差和三、四阶矩。文档来自于网络搜索解：==0，===,=，注：，随机变量N服从参数为的poisson分布，给定N=n,随机变量M服从以n和p为参数的二项分布，试求M的无条件概率分布。文档来自于网络搜索解：依题意，习题21、N(t)为Poisson过程，对s<t，试求条件概率Solution:2、{N（t）,t≥0}为一强度是λ的Poisson过程，对s>0试计算:E[N(t)·N(s)]文档来自于网络搜索Solution:E[N(t)·N(t+s)]=E[N(t)]·[N(t+s)-N(t)+N(t)]文档来自于网络搜索=E[N(t)]·[N(t+s)-N(t)]+E{N2[(t)]}(独立增量)=E[N(t)]·E[N(t+s)-N(t)]+λt+(λt)2=λt（λs）+λt+(λt)2=λt+λ2t(t+s)注：E[N(t)]=λtD[N(t)]=λtE[N2(t)]=λt+(λt)2文档来自于网络搜索3、电报依平均速度为每小时3个的Poisson过程达成电报局，试问：（ⅰ）从早上八点到中午没收到电报的概率？（ⅱ）下午第一份电报达成时间的分布是什么？注：以八点为初始时刻Solution:用N(t)表达在时间t内达成的电报数，则N(t)~P（λt）（ⅰ）P(N(2)-N(8)=0)=((λ4)0/0!)e-4λ=e-12（ⅱ）设T为下午第一份电报达成时间，则：P（12≤T≤t）=P(N(t)-N(12)=1)=3(t-12)e-3(t-12),t≥12为的possion过程，试求（1）(2)(3)Solution：(1)(2)(3)5.证明概率在命题2.1的假定（1）~（4）下满足微分方程并证明在初始条件下，，的解为。文档来自于网络搜索证明：（*）的导出已在命题2.1中给出，考虑齐次方程：采用变易系数法，代入（*）有从而而从而6.一部600页的著作，总共有240个印刷错误，试运用Poisson过程近似求出持续3页无错误的概率。文档来自于网络搜索Solution：首先求出强度==0.4P(N(MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\h+3)-N()=0)==文档来自于网络搜索 文档来自于网络搜索7.N(t)是强度为的Poisson过程，给定N(t)=n，试求第r个事件(rn)发生的时刻的条件概率密度。文档来自于网络搜索Solution：=P{N()=r-1,N(+)-N()=1,N(t)-N(+)=n-r|N(t)=n}=+o()文档来自于网络搜索=+o()从而=8.令{，t0}，i=1，2，……，n为n个互相独立的有相似参数的Poisson过程，记T为全部n个过程中最少发生了一件事的时刻，试求T的颁布。文档来自于网络搜索Solution:由题意知，T=f{t|}P(T>x)=P()=(运用了独立性)(阐明在时刻经x前,没有一种事件发生)=9．考察参数为λ的Poisson过程，若每一事件独立地以概率p被观察到，并将观察到的过程记为，试问：是什么过程？呢？文档来自于网络搜索与与否独立？为强度参数为的Poisson过程。易知为强度参数为的Poisson过程。记，则故与不互相独立。10．达成某加油站的公路上的卡车数服从强度参数为的Poisson过程，而达成的小汽车数服从参数为的Poisson过程，且与独立，试问：+是什么过程？并计算在总车流数中卡车首先达成的概率。文档来自于网络搜索Solution.(独立性)n=0,1,2,….为