变幅杆位移节点和应变极大位置的关系

变幅杆位移节点和应变极大位置的关系刘豆豆;贺西平;李家星【摘要】针对常见单一形状函数纵振变幅杆，采用解析方法研究了谐振长度、位移节点和应变极大点之间的关系。计算发现在谐振频率下，变幅杆位移节点与应变极大点位置之和约等于其一阶谐振长度。对新型的贝兹曲线变幅杆也做了相应计算，结果验证了该结论的正确性，此结论有助于变幅杆设计计算过程的简化。%Usingtheanalyticalmethod,therelationofresonantlengthwithdisplacementnodeandstrainmaximapointofthecommonhornsisstudiedinthiswork.Itcanbefoundthatthesumofdisplacementnodeandstrainmaximaissubstantiallyequivalenttoitsresonantlength.Suchrela-tionofthenewtypeBezier-profilehornisalsocalculated,andthenumericalcalculationagreewellwiththeresultsobtainedfromthecommonhorns.Relyontherelations,theprocessofdesignandcalculationcanbesimplified.【期刊名称】《陕西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷)，期】2014(000)003【总页数】4页(P48-51)【关键词】变幅杆;贝兹曲线变幅杆;谐振长度;位移节点;应变极大点【作者】刘豆豆;贺西平;李家星【作者单位】陕西师范大学物理学与信息技术学院，陕西西安710119；陕西师范大学物理学与信息技术学院，陕西西安710119；陕西师范大学物理学与信息技术学院，陕西西安710119【正文语种】中文【中图分类】O426.1变幅杆是超声波振动系统中一个重要的组件.常见的单一形状函数的变幅杆有阶梯形、圆锥形、指数形、悬链线形等，其设计方法有多种，如传统解析法、等效电路法、替代法、传输矩阵法、有限元法等［1］.上述变幅杆都有解析解，文献［2-5］利用传统方法计算了单一形状函数变幅杆的位移节点、应变极大点、放大系数等性能参数.新型的贝兹曲线变幅杆，相对于传统形状变幅杆，在满足许用应力下有更大的振幅比［6］.这种新型变幅杆设计复杂，解析解较难寻求，文献［7-8］使用数值计算方法，改变参数步长，生成贝兹曲线；文献［9］利用遗传算法，结合有限元分析，提出了贝兹曲线变幅杆的设计方法.由于变幅杆的谐振频率方程通常是超越方程，在给定的工作频率下，计算和设计变幅杆谐振长度、位移节点和应变极大点位置的过程是比较繁杂的.本文对常见单一形状函数变幅杆以及贝兹曲线变幅杆的谐振长度、位移节点和应变极大点（也是应力极大值）之间关系的计算发现，节点与应变极大点位置之和都基本等于变幅杆的一阶纵振型谐振长度.这一结论有助于变幅杆计算过程的简化.1圆柱形变幅杆圆柱形变幅杆两端面半径相同，通常只用于传振.该类型变幅杆谐振长度为入/2,中心位置入/4处既是其位移节点又是其应变极大点，故有lp=x0+xM,其中lp表示谐振长度，x0表示位移节点，xM表示应变极大点.2变截面变幅杆设D1、D2分别为变幅杆大端和小端面的直径.大端直径设在x=0处，小端直径设在x=lp处.2.1阶梯形变幅杆阶梯形变幅杆，谐振长度lp=A/2,通常使用的阶梯形变幅杆粗端与细端长度均为入/4[10],其应力在突变截面处，位移节点也在该处，即有lp=x0+xM.2.2圆锥形变幅杆圆锥形变幅杆的面积函数为其中可以得出谐振长度，位移节点值以及应变极大点值为其中k=3/C=2nf/C,tge=a/k,3为圆频率，C为纵波在细棒中的传播速度.2.3指数形变幅杆指数形变幅杆的面积函数为其中N为面积系数.可以得出谐振长度，位移节点值以及应变极大点值为2.4悬链线形变幅杆悬链线形变幅杆的面积函数为其中N为面积系数.可以得出谐振长度，位移节点值以及应变极大点值其中面积系数N和谐振频率f的值确定以后，即可计算出相应的lp、x0、xM值[11-13].谐振状态下，材料为45号钢的各类型变幅杆计算结果如表1所示，这三者之间的关系如图1,2和3所示.表1单一变幅杆设计参数Tab.1Designparametersofthesinglehorn?图1圆锥形变幅杆各参数与直径比关系Fig.1Relationshipbetweenthediameterratioandtheparametersofconicalhorns图2指数形变幅杆各参数与直径比关系Fig.2Relationshipbetweenthediameterratioandtheparametersofexponentialhorn图3悬链线形变幅杆各参数与直径比关系Fig.3Relationshipbetweenthediameterratioandtheparametersofcatenarylinehorn由图1可以看出，当直径比N在2到10之间时，圆锥形变幅杆的（xM+x0）/lp值近似等于1（为避免应力集中，通常面积系数一般都在5以内）.由图2和图3可以看出，指数形和悬链线形变幅杆（xM+x0）/lp值比较稳定，都近似等于1,即这3种变幅杆的位移节点与应变极大点值之和都近似等于变幅杆的谐振长度.2.5贝兹曲线变幅杆计算任一尺寸的贝兹曲线变幅杆.例如，取材料为45#钢，杨氏模量为2.09x1011N2/m,泊松比为0.28，密度为7800kg/m3.取贝兹曲线变幅杆面积系数N=4，大端直径D1=10mm,小端直径D2=2.5mm.建立有限元模型，进行模态计算，得知其一阶纵振谐振频率为f=26093Hz，对应的谐振长度为lp=93mm.如图4所示.图4贝兹曲线变幅杆纵振动振型图Fig.4LongitudinalvibrationmodefigureofBezier-profilehorn对变幅杆的位移节点值和应变极大值进行计算，作出位移和应变在变幅杆上不同位置的分布图，如图5、图6所示.图5贝兹曲线变幅杆应力分布图Fig.5StressdistributionofBezier-profilehorn图6贝兹曲线变幅杆位移分布图Fig.6DisplacementdistributionofBezier-profilehorn由以上两图可知，在谐振状态下，贝兹曲线变幅杆的应变极大点值xM=54.65mm，位移节点值x0=40.03mm，二者之和x0+xM=94.68mm，近似等于该变幅杆的谐振长度93mm.故对于新型的贝兹曲线变幅杆，这一结论也是适用的.3结论对常见单一形状函数纵振振型变幅杆及贝兹曲线变幅杆做了相关计算.得出如下结论：指数形、悬链线形、贝兹曲线形和面积函数N在5以内的圆锥形变幅杆的一阶纵振谐振长度基本都等于位移节点与应变极大点之和；一阶纵振谐振时变幅杆的位移节点与应变极大点不在变幅杆同一位置.本文的计算结果有助于变幅杆设计过程的简化，即计算出变幅杆谐振长度、位移节点和应变极大点中的任意两个，便于预测出另外一个参数的值；或者在给定谐振频率下，确定了变幅杆大、小端半径，则变幅杆的谐振长度、位移节点及应变极大点的值和关系即可相应的计算得到.参考文献：[1]贺西平，高洁.超声变幅杆设计方法研究[J].声学技术，2006,25(1):82-85.[2]林仲茂.超声变幅杆的原理和设计[M].北京：科学出版社，1987.[3]汪彦军，贺西平，张频.超声变幅杆性能参数的计算机辅助计算[J].应用声学，2007,26(3):181-184.[4]阮世勋.超声变幅杆设计用表的计算机编制[J].应用声学，1982,4(1):23-53.[5]高洁.超声变幅杆的优化设计及声学特性分析[D].西安：陕西师范大学物理学与信息技术学院，2006.[6]Antoniolula,LorenzoParenti,FabioFabrizi,etal.Ahighdisplacementultrasonicactuatorbasedonaflexuralmechanicalamplifier[J].SensorsandActuatorsA,2006,125(2):118-123.[7]程文波，王华军，卢涵宇，等.基于局部性原理的可变步长Bezier曲线生成算法[J].江西师范大学学报：自然科学版，2010,34(3):308-311.[8]XiaoGuorong,XuXuemiao.Studyonbeziercurvevariablestep-lengthalgorithm[J].PhysicsProcedia,2010,25:482-485.[9]WangDA,ChuangWY,HsuK,etal.DesignofaBezier-profilehornforhighdisplacementamplification[J].Ultrasonics,2011,51(2):1