平面和平面平行

-高一数学必修二第8章《立体几何初步》8.5.3平面与平面平行学习目的1.理解并掌握平面与平面平行的鉴定定理.2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理.知识点一平面与平面平行的鉴定定理文字语言如果一种平面内的两条相交直线与另一种平面平行，那么这两个平面平行符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α，b⊂α，,a∩b＝A，,a∥β，b∥β))⇒α∥β图形语言思考应用面面平行鉴定定理应含有哪些条件？答案①平面α内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b＝P.②两条相交直线a，b都与β平行，即a∥β，b∥β.知识点二两个平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一种平面与这两个平面相交，那么两条交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言思考(1)若两个平面平行，那么两个平面内的全部直线都互相平行吗？(2)若两个平面平行，其中一种平面内的直线必平行于另一种平面吗？答案(1)不是.(2)是的.1.若一种平面内的两条相交直线分别平行于另一种平面内的两条直线，则这两个平面平行.(√)2.两个平面同时与第三个平面相交，若两交线平行，则这两个平面平行.(×)3.夹在两平行平面间的平行线段相等.(√)4.若平面α∥平面β，l⊂平面β，m⊂平面α，则l∥m.(×)一、平面与平面平行的鉴定定理的应用例1如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB且A1G＝EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.反思感悟两个平面平行的鉴定定理是拟定面面平行的重要办法.解答问题时一定要谋求好鉴定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才干拟定面面平行.跟踪训练1如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.证明∵E，G分别是PC，BC的中点，∴EG∥PB，又∵EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴EG∥平面PAB，∵E，F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB，∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB，又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面PAB.二、平面与平面平行的性质定理的应用例2如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.证明由于D，E分别是PA，PB的中点，因此DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，因此DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF，因此平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，因此NF∥CM.反思感悟运用面面平行的性质定理判断两直线平行的环节(1)先找两个平面，使这两个平面分别通过这两条直线中的一条.(2)鉴定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出).(3)再找一种平面，使这两条直线都在这个平面上.(4)由定理得出结论.跟踪训练2如图，已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长.解∵α∥β，平面PCD∩α＝AB，平面PCD∩β＝CD，∴AB∥CD，可得eq\f(PA,AC)＝eq\f(PB,BD).∵PA＝6，AC＝9，PD＝8，∴eq\f(6,9)＝eq\f(8－BD,BD)，解得BD＝eq\f(24,5).几何中的计算问题典例如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条异面直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AC＝15cm，DE＝5cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的长.解如图所示.连接AF，交β于点G，连接BG，EG，则点A，B，C，F，G共面.∵β∥γ，平面ACF∩β＝BG，平面ACF∩γ＝CF，∴BG∥CF，∴△ABG∽△ACF，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(AG,GF)，同理，有AD∥GE，eq\f(AG,GF)＝eq\f(DE,EF)，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF).又eq\f(AB,BC)＝eq\f(1,3)，∴AB＝eq\f(1,4)AC＝eq\f(15,4)(cm)，BC＝eq\f(3,4)AC＝eq\f(45,4)(cm).∴EF＝3DE＝3×5＝15(cm).[素养提高]运用平面与平面平行的性质定理，借助于学生比较熟悉的异面直线，平面与平面平行，直线与平面平行，通过论证，表述，得出结论，培养了逻辑推理的数学核心素养.1.在正方体中，互相平行的面不会是()A.前后相对侧面 B.上下相对底面C.左右相对侧面 D.相邻的侧面答案D解析由正方体的模型知前背面、上下面、左右面都互相平行.2.下列命题中对的的是()A.一种平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B.如果一种平面内任何一条直线都平行于另一种平面，那么这两个平面平行C.平行于同始终线的两个平面一定互相平行D.如果一种平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行答案B解析如果一种平面内任何一条直线都平行于另一种平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行.3.已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不拟定答案A解析由面面平行的性质定理易得.4.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的全部直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.有且只有一条与a平行的直线答案D解析由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项对的.5.已知α，β是两个不同的平面，下列条件中能够判断平面α与β平行的是()(1)α内存在不共线的三点到β的距离相等；(2)l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β；(3)l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.A.(1)(2)B.(1)(3)C.(3)D.(1)(2)(3)答案C解析平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，平面α与平面β可能平行也可能相交，故(1)不对的；当l与m平行时，不能推出α∥β，故(2)不拟定；l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，则α内存在两条相交直线与平面β平行，根据面面平行的鉴定定理，可得α∥β，故(3)对的.1.知识清单：(1)平面与平面平行的鉴定定理.(2)平面与平面平行的性质定理.2.办法归纳：转化与化归.3.常见误区：平面与平面平行的条件不充足.1.已知α，β是两个不重叠的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是()A.平面α内有一条直线与平面β平行B.平面α内有两条直线与平面β平行C.平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D.平面α与平面β不相交答案D解析选项A，C不对的，由于两个平面可能相交；选项B不对的，由于平面α内的这两条直线必须相交才干得到平面α与平面β平行；选项D对的，由于两个平面的位置关系只有相交与平行两种.2.下列四个说法中对的的是()A.平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥βB.α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表达平面，a，b表达直线)，则γ∥βC.平面α内一种三角形三边分别平行于平面β内的一种三角形的三条边，则α∥βD.平面α内的一种平行四边形的两边与平面β内的一种平行四边形的两边对应平行，则α∥β答案C解析由面面平行的鉴定定理知C对的.3.如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是()A.异面 B.平行C.相交 D.以上都有可能答案B解析由于平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1ED∩平面A1B1C1＝A1B1，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，因此A1B1∥DE.又由于A1B1∥AB，因此DE∥AB.4.平面α∥平面β，直线l∥α，则()A.l∥β B.l⊂βC.l∥β或l⊂β D.l，β相交答案C5.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为()A.1B.1.5C.2D.3答案A6.已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________.(填“平行”或“相交”)答案平行解析若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b但是点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a，矛盾.故α∥β.7.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一种与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则eq\f(MN,AC)＝________.答案eq\f(1,2)解析∵平面MNE∥平面ACB1，由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，又∵E为BB1的中点，∴M，N分别为BA，BC的中点，∴MN＝eq\f(1,2)AC，即eq\f(MN,AC)＝eq\f(1,2).8.已知α，β，γ是三个不重叠的平面，a，b是两条不重叠的直线.若α∩β＝a，β∩γ＝b，且α∥γ，则a与b的位置关系是________.答案a∥b解析由平面与平面平行的性质定理可鉴定a∥b.9.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE.证明由于F为CD的中点，H为PD的中点，因此FH∥PC，又FH⊄平面PEC，PC⊂平面PEC，因此FH∥平面PCE.又AE∥CF且AE＝CF，因此四边形AECF为平行四边形，因此AF∥CE，又AF⊄平面PCE，CE⊂平面PCE，因此AF∥平面PCE.又FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F，因此平面AFH∥平面PCE.10.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.证明由于BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，因此BE∥平面AA1D.由于BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，因此BC∥平面AA1D.又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，因此平面BCE∥平面AA1D.又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，因此EC∥A1D.11.已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重叠的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是()A.平行 B.相交C.平行或相交 D.以上都不对答案C解析根据图①和图②可知α与β平行或相交.12.如图，不同在一种平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，两个平面内以交点为顶点的两个三角形是()A.相似但不全等的三角形B.全等三角形C.面积相等的不全等三角形D.以上结论都不对答案B解析由题意知AA′∥BB′∥CC′，α∥β，由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，则四边形ACC′A′为平行四边形，∴AC＝A′C′.同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′.13.通过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面能够作()A.1个或2个 B.0个或1个C.1个 D.0个答案B解析①当通过两点的直线与平面α平行时，可作出一种平面β，使β∥α.②当通过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α最少有一种公共点，故通过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.14.已知l，m，n是互不相似的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中全部真命题的序号为________.答案③解析①