锐角三角函数知识点总结及单元测试题

初三下学期锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。2、如以下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：定义表达式取值*围关系正弦(∠A为锐角)余弦(∠A为锐角)正切(∠A为锐角)(倒数)余切(∠A为锐角)对边邻边斜边A对边邻边斜边ACB4、5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0°30°45°60°90°011001不存在不存在106、正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。7、正切、余切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。1、解直角三角形的定义：边和角〔两个，其中必有一边〕→所有未知的边和角。依据：①边的关系：；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量防止使用中间数据和除法)2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。(2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，则。3、从*点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°〔东北方向〕，南偏东45°〔东南方向〕，南偏西60°〔西南方向〕，北偏西60°〔西北方向〕。锐角三角函数单元测试一、选择题〔每题3分，共30分〕1．在Rt△ABC中，∠C=90°，以下式子不一定成立的是〔〕A．sinA=sinBB．cosA=sinBC．sinA=cosBD．∠A+∠B=90°2．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值〔〕A扩大3倍B缩小3倍C都不变D有的扩大，有的缩小3．在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A和a时，求c，应选择的关系式是〔〕A．c=B．c=C．c=a·tanAD．c=a·cotA4、假设tan(α+10°)=，则锐角α的度数是()A、20°B、30°C、35°D、50°5．△ABC中，∠C=90°，设sinA=m，当∠A是最小的内角时，m的取值*围是〔〕A．0＜m＜EQ\F(1,2)B．0＜m＜EQ\F(EQ\R(,2),2)C．0＜m＜EQ\F(EQ\R(,3),3)D．0＜m＜EQ\F(EQ\R(,3),2)6．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，则他下降〔〕A．1米B．EQ\R(,3)米C．2EQ\R(,3)米D．EQ\F(2EQ\R(,3),3)米7．Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=EQ\F(4,3)，BC=8，则AC等于〔〕BNABNACDM〔第9题〕8．sin2＋sin2(90°－)(0°＜＜90°〕等于〔〕A0B1C2D2sin29．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连结BD，假设cos∠BDC=EQ\F(3,5)，则BC的长是〔〕A、4cm B、6cmC、8cm D、10cm10．以直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆。假设点P是该圆上第一象限内的一点，且OP与*轴正方向组成的角为α，则点P的坐标为〔〕A(cosα,1)B(1,sinα)C(sinα,cosα)D(cosα,sinα)〔附加〕小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为()DCBA〔附加题〕A．9米B．28米C．〔7+EQ\R(,3)〕米D．〔14+2EQ\R(,3)〕米DCBA〔附加题〕二、填空题：〔每题3分，共30分〕1．∠A是锐角，且sinA=EQ\F(EQ\R(,3),2)，则∠A＝.2．α为锐角，且sinα=cos500，则α＝.3．3tanA-EQ\R(,3)=0，则∠A＝.4．在△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cosA＝，sinB＝，tanB＝．5．直角三角形ABC的面积为24cm2，直角边AB为6cm，∠A是锐角，则sinA6．tanα＝EQ\F(5,12)，α是锐角，则sinα＝.7．如图，在坡度为1:2的山坡上种树，要求株距〔相邻两树间的水平距离〕是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是米。ABCDO〔第10题〕8．cos2(50°＋)＋cos2(40°－)－tan(30°－)tan(60°＋)ABCDO〔第10题〕9．等腰三角形底边长10cm，周长为36cm10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3．则sin∠BAC=；sin∠ADC=．NMABC45°75°〔NMABC45°75°〔附加题〕三、解答题〔共60分〕1、计算〔每题5分，共10分〕：(1)4sin30°－EQ\R(,2)cos45°＋EQ\R(,3)tan60°(2)tan30°sin60°＋cos230°－sin245°tan45°2、(8分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝8EQ\R(,3)，∠A＝60°，解这个直角三角形．3．〔8分〕如图，一个等腰梯形的燕尾槽，外口AD宽10cm，燕尾槽深10cm，AB的坡度i=1:1，求里口宽BC及燕尾槽的截面积．AABDCE4．〔8分〕如图，矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，点D正好落在AB边上的F处，求tan∠AFE？AABDCEF5．〔8分〕如图①，一栋旧楼房由于防火设施较差，需要在侧面墙外修建简易外部楼梯，由地面到二楼，再由二楼到三楼，共两段〔图②中AB、BC两段〕，其中BB′=3.2m，BC′=4.3m．结合图中所给的信息，求两段楼梯〔参考数据sin30°≈0.50，cos30°≈0.87，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82〕AA①BCBC′C30°35°AB′ED②6．〔8分〕如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南东34°方向上的B处。这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远〔准确到1海里〕？〔参考数据：sin65°≈0.91,cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin34°≈0.56,cos34°≈0.83，tan34°≈0.67〕BBPC65°34°AF【图3】ABCDE7．〔10分〕如图山脚下有一棵树AB，小强从点B沿山坡向上走50m到达点D，用高为1.5m的测角仪CD测得树顶的仰角为10°,山坡的坡角为15°,求树AB的高.(准确到0.1m)〔参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15F【图3】ABCDEAABDCE10°15°P第28章锐角三角函数单元测试(参考答案)一、选择题:1．A2．C3．A4．D5．B6．A7．A8．B9．A10．D〔附加题:D〕二、填空题：1．60°2．40°3．30°4．EQ\F(3EQ\R(,3),13)；EQ\F(3EQ\R(,3),13)；EQ\F(3,2)5．EQ\F(4,5)6．EQ\F(5,13)7．3EQ\R(,5)8．09．EQ\F(12,5)10．EQ\F(3,5)；EQ\F(4,5)〔附加题:a〕三、解答题：1．〔1〕解：原式＝4×EQ\F(1,2)－EQ\R(,2)×EQ\F(EQ\R(,2),2)＋EQ\R(,3)×EQ\R(,3)＝2－1＋3＝4〔2〕解：原式=EQ\F(EQ\R(,3),3)×EQ\F(EQ\R(,3),2)＋(EQ\F(EQ\R(,3),2))2－(EQ\F(EQ\R(,2),2))2×1＝EQ\F(1,2)＋EQ\F(3,4)－EQ\F(1,2)＝EQ\F(3,4)2.解：∵∠A＝60°∴∠B＝90°－∠A＝30°∴b＝EQ\F(1,2)c＝EQ\F(1,2)×8EQ\R(,3)＝4EQ\R(,3)∴a＝EQ\R(,c2－b2)＝EQ\R(,(8EQ\R(,3))2－(4EQ\R(,3))2)＝123.解：如图，作DF⊥BC于点F．由条件可得四边形AEFD是矩形，AD=EF=10．ABDCEF∵AB的坡角为1:1，∴EQ\F(AE,BE)＝1，ABDCEF∴里口宽BC＝BE+EF+FC＝30cm∴截面积为EQ\F(1,2)×〔10+30〕×10=200cm24．解：由题意可知∠EFC＝∠D＝90°，CF＝CD＝10∴∠AFE＋∠BFC＝90°ABABDCEF∴∠AFE＝∠BCF在Rt△CBF中，∠B＝90°，CF＝10，BC＝8∴BF＝EQ\R(,CF2－BC2)＝EQ\R(,102－82)＝6∴tan∠BCF＝EQ\F(BF,CF)＝EQ\F(6,8)＝EQ\F(3,4)∴tan∠AFE＝tan∠BCF＝EQ\F(3,4)5．解：在Rt△AB′B中，∠AB′B＝90°，∠B′AB＝30°，B′B＝3.2∵sin30°＝EQ\F(B′B,AB)∴AB＝EQ\F(B′B,sin30°)＝EQ\F(3.2,0.5)≈6.4在Rt△BC′C中，∠BC′C＝90°，∠CBC′＝35°，BC′＝4.3∵cos35°＝EQ\F(BC′,BC)∴BC＝EQ\F(BC′,cos35°)≈EQ\F(4.3,0.82)≈5.24∴AB＋BC＝6.4＋5.24＝11.6〔m〕答：两段楼梯AB与BC的长度之和约为11.6．解：在Rt△ACP中，∠ACP＝90°，∠A＝65°，AP＝80∵sinA＝EQ\F(PC,AP)∴PC＝AP·sinA＝80×sin65°≈80×0.91≈72.8在Rt△BCP中，∠BCP＝90°，∠B＝34°，PC＝72.8∵sinB＝EQ\F(PC,PB)∴PB＝EQ\F(PC,sinB)＝EQ\F(72.8,sin34°)≈EQ\F(72.8,0.56)≈130〔海里〕答：这时，海轮所在的B处距离灯塔P约有130海里AABDCE10°15°PF7．解：延长CD交PB于F，则DF⊥PB在Rt△BFD中，∠BFD＝90°，∠FBD＝15°，BD＝50∵sin∠FBD＝EQ\F(DF,BD)cos∠FBD＝EQ\F(BF,BD)∴DF＝BD·sin∠FBD＝BD·sin15°≈50×0.26=13.0BF＝BD·cos∠FBD＝BD·cos15°≈50×0.97＝48.5在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝10°，CE＝BF＝48.5∵tan∠ACE＝EQ\F(AE,CE)∴AE＝CE·tan∠ACE＝CE·tan10°≈48.5×0.18＝8.73∴AB＝AE+CD+DF＝8.73+1.5+13≈23.2〔米〕答：树AB高约为23.2一、选择题：〔30分〕1、α为锐角，则m=sinα+cosα的值〔〕 A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≥12、在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值 〔〕A也扩大3倍B缩小为原来的C都不变D有的扩大，有的缩小3、以直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆。假设点P是该圆上第一象限内的一点，且OP与*轴正方向组成的角为α，则点P的坐标为 〔〕A(cosα,1)B(1,sinα)C(sinα,cosα)D(cosα,sinα)4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连结BD，假设cos∠BDC=，则BC的长是〔〕A、4cm B、6cmC、8cm D、10cm5、a为锐角，sina=cos500则a等于 〔〕A20° B30° C40° D50°6、假设tan(a+10°)=，则锐角a的度数是 ()A、20°B、30°C、35°D、50°7、如果α、β都是锐角，下面式子中正确的选项是 〔〕A、sin(α+β)=sinα+sinβ B、cos(α+β)=时，α+β=60°C、假设α≥β时，则cosα≥cosβD、假设cosα>sinβ,则α+β>90°8、小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为〔〕 A．9米B．28米C．米D.米9、如图,两建筑物的水平距离为am,从A点测得D点的俯角为a,测得C点的俯角为β,则较低建筑物CD的高为 ()A.am B.(a·tanα)m C.(a/tanα)m D.a(tanα－tanβ)m10、如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长m，*钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则鱼竿转过的角度是()A．60°B．45°C．15°D．90°二、填空题：〔30分〕11、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cosA＝.，sinB＝，tanB＝.12、直角三角形ABC的面积为24cm2，直角边AB为6cm，∠A是锐角，则sinA＝.13、tan＝，是锐角，则sin＝

.*OAyB14、cos2(50°＋)＋cos2(40°－)－tan(30°－)tan(60°＋)＝

.*OAyB15、如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个4EQ\R(,2)单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为.〔结果保存根号〕．16、等腰三角形底边长10cm，周长为36cm，则一底角的正切值为.17、*人沿着坡度i=1:的山坡走了50米，则他离地面米高。18、如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距〔相邻两树间的水平距离〕是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是米。19、在△ABC中，∠ACB＝90°，cosA=，AB＝8cm，则△ABC的面积为

.20、如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时，梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上N，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角45°，则这间房子的宽AB是米。三、解答题：〔60分〕21、计算(8分)：(1)tan30°sin60°＋cos230°－sin245°tan45°(2)．22、(6分)△ABC中，∠C＝90°(1)：c＝8，∠A＝60°，求∠B、a、b．(2)：a＝3，∠A＝30°，求∠B、b、c.23、(6分)*段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h〔即m/s〕．交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度监测点A，在如下图的坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在*轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．y/m*/y/m*/mA〔0,-100〕BO60°东北〔2〕点B坐标为，点C坐标为；〔3〕一辆汽车从点B行驶到点C所用的时间为15s，请通过计算，判断该汽车在限速公路上是否超速行驶？〔本小问中〕24、(6分)Rt△ABC的斜边AB的长为10cm,sinA、sinB是方程m(*2－2*)+5(*2+*)+12=0的两根。〔1〕求m的值；〔2〕求Rt△ABC的内切圆的面积。25、(8分)如图,△ABC是等腰三角形,∠ACB=90°,过BC的中点D作DE⊥AB,垂足为E,连结CE,求sin∠ACE的值.26、(8分)〔08庆阳市〕如图，*超市〔大型商场〕在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板〔一楼的楼顶墙壁〕与地面平行，请你根据图中数据计算答复：小敏身高1.85米，他乘电梯会有碰头危险吗？〔sin28o≈0.47，tan28o≈0.53〕27、(8分)如图，MN表示*引水工程的一段设计路线，从M