2019年全国统一高考数学试卷文科全国卷

2019年全国统一高考数学试卷〔文科〕〔新课标Ⅰ〕一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1．〔5分〕设z＝，则|z|＝〔〕A．2B．C．D．12．〔5分〕集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁UA＝〔〕A．{1，6}B．{1，7}C．{6，7}D．{1，6，7}3．〔5分〕a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则〔〕A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜c＜a4．〔5分〕古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是〔≈0.618，称为黄金分割比例〕，著名的“断臂维纳斯〞便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．假设*人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是〔〕A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm5．〔5分〕函数f〔*〕＝在[﹣π，π]的图象大致为〔〕A．B．C．D．6．〔5分〕*学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进展体质测验．假设46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是〔〕A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．〔5分〕tan255°＝〔〕A．﹣2﹣B．﹣2+C．2﹣D．2+8．〔5分〕非零向量，满足||＝2||，且〔﹣〕⊥，则与的夹角为〔〕A．B．C．D．9．〔5分〕如图是求的程序框图，图中空白框中应填入〔〕A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+10．〔5分〕双曲线C：﹣＝1〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为〔〕A．2sin40°B．2cos40°C．D．11．〔5分〕△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c．asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA＝﹣，则＝〔〕A．6B．5C．4D．312．〔5分〕椭圆C的焦点为F1〔﹣1，0〕，F2〔1，0〕，过F2的直线与C交于A，B两点．假设|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为〔〕A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。13．〔5分〕曲线y＝3〔*2+*〕e*在点〔0，0〕处的切线方程为．14．〔5分〕记Sn为等比数列{an}的前n项和．假设a1＝1，S3＝，则S4＝．15．〔5分〕函数f〔*〕＝sin〔2*+〕﹣3cos*的最小值为．16．〔5分〕∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，则P到平面ABC的距离为．三、解答题：共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。〔一〕必考题：共60分。17．〔12分〕*商场为提高效劳质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的效劳给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020〔1〕分别估计男、女顾客对该商场效劳满意的概率；〔2〕能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场效劳的评价有差异？附：K2＝．P〔K2≥k〕0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．〔12分〕记Sn为等差数列{an}的前n项和．S9＝﹣a5．〔1〕假设a3＝4，求{an}的通项公式；〔2〕假设a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值围．19．〔12分〕如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．〔1〕证明：MN∥平面C1DE；〔2〕求点C到平面C1DE的距离．20．〔12分〕函数f〔*〕＝2sin*﹣*cos*﹣*，f′〔*〕为f〔*〕的导数．〔1〕证明：f′〔*〕在区间〔0，π〕存在唯一零点；〔2〕假设*∈[0，π]时，f〔*〕≥a*，求a的取值围．21．〔12分〕点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线*+2＝0相切．〔1〕假设A在直线*+y＝0上，求⊙M的半径；〔2〕是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．〔二〕选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]〔10分〕22．〔10分〕在直角坐标系*Oy中，曲线C的参数方程为〔t为参数〕．以坐标原点O为极点，*轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11＝0．〔1〕求C和l的直角坐标方程；〔2〕求C上的点到l距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]〔10分〕23．a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：〔1〕++≤a2+b2+c2；〔2〕〔a+b〕3+〔b+c〕3+〔c+a〕3≥24．2019年全国统一高考数学试卷〔文科〕〔新课标Ⅰ〕参考答案与试题解析一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1．〔5分〕设z＝，则|z|＝〔〕A．2B．C．D．1【考点】A8：复数的模．【分析】直接利用复数商的模等于模的商求解．【解答】解：由z＝，得|z|＝||＝．应选：C．【点评】此题考察复数模的求法，考察数学转化思想方法，是根底题．2．〔5分〕集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁UA＝〔〕A．{1，6}B．{1，7}C．{6，7}D．{1，6，7}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】先求出∁UA，然后再求B∩∁UA即可求解【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，∴∁UA＝{1，6，7}，则B∩∁UA＝{6，7}应选：C．【点评】此题主要考察集合的交集与补集的求解，属于根底试题．3．〔5分〕a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则〔〕A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜c＜a【考点】4M：对数值大小的比拟．【分析】由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2＜0，20.2＞1，0＜0.20.3＜1，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴c＝0.20.3∈〔0，1〕，∴a＜c＜b，应选：B．【点评】此题考察了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属根底题．4．〔5分〕古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是〔≈0.618，称为黄金分割比例〕，著名的“断臂维纳斯〞便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．假设*人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是〔〕A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm【考点】31：函数的概念及其构成要素；F4：进展简单的合情推理．【分析】充分运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高．【解答】解：头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是≈0.618，可得咽喉至肚脐的长度小于≈42cm，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，可得肚脐至足底的长度小于＝110，即有该人的身高小于110+68＝178cm，又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，即该人的身高大于65+105＝170cm，应选：B．【点评】此题考察简单的推理和估算，考察运算能力和推理能力，属于中档题．5．〔5分〕函数f〔*〕＝在[﹣π，π]的图象大致为〔〕A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【分析】由f〔*〕的解析式知f〔*〕为奇函数可排除A，然后计算f〔π〕，判断正负即可排除B，C．【解答】解：∵f〔*〕＝，*∈[﹣π，π]，∴f〔﹣*〕＝＝﹣＝﹣f〔*〕，∴f〔*〕为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；又f〔〕＝，因此排除B，C；应选：D．【点评】此题考察了函数的图象与性质，解题关键是奇偶性和特殊值，属根底题．6．〔5分〕*学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进展体质测验．假设46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是〔〕A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生【考点】B4：系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，抽样的分段间隔为10，结合从第4组抽取的为46，可得第一组用简单随机抽样抽取的．【解答】解：：∵从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，∴系统抽样的分段间隔为＝10，∵46号学生被抽到，则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个为6，以后每个都比前一个增加10，所有数是以6为首项，以10为公差的等差数列，设其数列为{an}，则an＝6+10〔n﹣1〕＝10n﹣4，当n＝62时，a62＝616，即在第62组抽到616．应选：C．【点评】此题考察了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔．7．〔5分〕tan255°＝〔〕A．﹣2﹣B．﹣2+C．2﹣D．2+【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式变形，再由两角和的正切求解．【解答】解：tan255°＝tan〔180°+75°〕＝tan75°＝tan〔45°+30°〕＝＝＝．应选：D．【点评】此题考察三角函数的取值，考察诱导公式与两角和的正切，是根底题．8．〔5分〕非零向量，满足||＝2||，且〔﹣〕⊥，则与的夹角为〔〕A．B．C．D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】由〔﹣〕⊥，可得，进一步得到，然后求出夹角即可．【解答】解：∵〔﹣〕⊥，∴＝，∴＝＝，∵，∴．应选：B．【点评】此题考察了平面向量的数量积和向量的夹角，属根底题．9．〔5分〕如图是求的程序框图，图中空白框中应填入〔〕A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的A的值，观察规律即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得：A＝，k＝1；满足条件k≤2，执行循环体，A＝，k＝2；满足条件k≤2，执行循环体，A＝，k＝3；此时，不满足条件k≤2，退出循环，输出A的值为，观察A的取值规律可知图中空白框中应填入A＝．应选：A．【点评】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是根底题．10．〔5分〕双曲线C：﹣＝1〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为〔〕A．2sin40°B．2cos40°C．D．【考点】KB：双曲线的标准方程．【分析】由求得，化为弦函数，然后两边平方即可求得C的离心率．【解答】解：双曲线C：﹣＝1〔a＞0，b＞0〕的渐近线方程为y＝，由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130°，得，则＝，∴＝，得，∴e＝．应选：D．【点评】此题考察双曲线的简单性质，考察同角三角函数根本关系式的应用，是根底题．11．〔5分〕△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c．asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA＝﹣，则＝〔〕A．6B．5C．4D．3【考点】HP：正弦定理．【分析】利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果．【解答】解：∵△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA＝﹣，∴，解得3c2＝，∴＝6．应选：A．【点评】此题考察了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．12．〔5分〕椭圆C的焦点为F1〔﹣1，0〕，F2〔1，0〕，过F2的直线与C交于A，B两点．假设|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为〔〕A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1【考点】K4：椭圆的性质．【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a＝，b＝，可得椭圆的方程．【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝，∴|AF2|＝a，|BF1|＝a，在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得+＝0，解得a2＝3，∴a＝．b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．所以椭圆C的方程为：+＝1．应选：B．【点评】此题考察了椭圆的性质，属中档题．二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。13．〔5分〕曲线y＝3〔*2+*〕e*在点〔0，0〕处的切线方程为y＝3*．【考点】6H：利用导数研究曲线上*点切线方程．【分析】对y＝3〔*2+*〕e*求导，可将*＝0代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程．【解答】解：∵y＝3〔*2+*〕e*，∴y'＝3e*〔*2+3*+1〕，∴当*＝0时，y'＝3，∴y＝3〔*2+*〕e*在点〔0，0〕处的切线斜率k＝3，∴切线方程为：y＝3*．故答案为：y＝3*．【点评】此题考察了利用导数研究函数上*点的切线方程，切点处的导数值为斜率是解题关键，属根底题．14．〔5分〕记Sn为等比数列{an}的前n项和．假设a1＝1，S3＝，则S4＝．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式及求和公式表示，可求公比，然后再利用等比数列的求和公式即可求解【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和，a1＝1，S3＝，∴q≠1，＝，整理可得，，解可得，q＝﹣，则S4＝＝＝．故答案为：【点评】此题主要考察了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于根底试题15．〔5分〕函数f〔*〕＝sin〔2*+〕﹣3cos*的最小值为﹣4．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】线利用诱导公式，二倍角公式对函数进展化简，然后结合二次函数的单调性即可去求解最小值【解答】解：∵f〔*〕＝sin〔2*+〕﹣3cos*，＝﹣cos2*﹣3cos*＝﹣2cos2*﹣3cos*+1，令t＝cos*，则﹣1≤t≤1，∵f〔t〕＝﹣2t2﹣3t+1的开口向上，对称轴t＝，在[﹣1，1]上先增后减，故当t＝1即cos*＝1时，函数有最小值﹣4．故答案为：﹣4【点评】此题主要考察了诱导公式，二倍角的余弦公式在三角好按时化简求值中的应用及利用余弦函数，二次函数的性质求解最值的应用，属于根底试题16．〔5分〕∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，则P到平面ABC的距离为．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】过点P作PD⊥AC，交AC于D，作PE⊥BC，交BC于E，过P作PO⊥平面ABC，交平面ABC于O，连结OD，OC，则PD＝PE＝，从而CD＝CE＝OD＝OE＝＝1，由此能求出P到平面ABC的距离．【解答】解：∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，过点P作PD⊥AC，交AC于D，作PE⊥BC，交BC于E，过P作PO⊥平面ABC，交平面ABC于O，连结OD，OC，则PD＝PE＝，∴CD＝CE＝OD＝OE＝＝1，∴PO＝＝＝．∴P到平面ABC的距离为．故答案为：．【点评】此题考察点到平面的距离的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。〔一〕必考题：共60分。17．〔12分〕*商场为提高效劳质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的效劳给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020〔1〕分别估计男、女顾客对该商场效劳满意的概率；〔2〕能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场效劳的评价有差异？附：K2＝．P〔K2≥k〕0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【考点】BL：独立性检验．【分析】〔1〕由题中数据，结合等可能事件的概率求解；〔2〕代入计算公式：K2＝，然后把所求数据与3.841进展比拟即可判断．【解答】解：〔1〕由题中数据可知，男顾客对该商场效劳满意的概率P＝＝，女顾客对该商场效劳满意的概率P＝＝；〔2〕由题意可知，K2＝＝≈4.762＞3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场效劳的评价有差异．【点评】此题主要考察了等可能事件的概率求解及独立性检验的根本思想的应用，属于根底试题．18．〔12分〕记Sn为等差数列{an}的前n项和．S9＝﹣a5．〔1〕假设a3＝4，求{an}的通项公式；〔2〕假设a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值围．【考点】8K：数列与不等式的综合．【分析】〔1〕根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，由S9＝﹣a5，即可得S9＝＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，结合a3＝4，计算可得d的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；〔2〕假设Sn≥an，则na1+d≥a1+〔n﹣1〕d，分n＝1与n≥2两种情况讨论，求出n的取值围，综合即可得答案．【解答】解：〔1〕根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，假设S9＝﹣a5，则S9＝＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，即a1+4d＝0，假设a3＝4，则d＝＝﹣2，则an＝a3+〔n﹣3〕d＝﹣2n+10，〔2〕假设Sn≥an，则na1+d≥a1+〔n﹣1〕d，当n＝1时，不等式成立，当n≥2时，有≥d﹣a1，变形可得〔n﹣2〕d≥﹣a1，又由S9＝﹣a5，即S9＝＝9a5＝﹣a5，则有a5＝0，即a1+4d＝0，则有〔n﹣2〕≥﹣a1，又由a1＞0，则有n≤10，则有2≤n≤10，综合可得：n的取值围是{n|1≤n≤10，n∈N}．【点评】此题考察等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，涉及数列与不等式的综合应用，属于根底题．19．〔12分〕如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．〔1〕证明：MN∥平面C1DE；〔2〕求点C到平面C1DE的距离．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】法一：〔1〕连结B1C，ME，推导出四边形MNDE是平行四边形，从而MN∥ED，由此能证明MN∥平面C1DE．〔2〕过C作C1E的垂线，垂足为H，推导出DE⊥BC，DE⊥C1C，从而DE⊥平面C1CE，DE⊥CH，进而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到时平面C1DE的距离，由此能求出点C到平面C1DE的距离．法二：〔1〕以D为原点，DA为*轴，DE为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN∥平面C1DE．〔2〕求出＝〔﹣1，，0〕，平面C1DE的法向量＝〔4，0，1〕，利用向量法能求出点C到平面C1DE的距离．【解答】解法一：证明：〔1〕连结B1C，ME，∵M，E分别是BB1，BC的中点，∴ME∥B1C，又N为A1D的中点，∴ND＝A1D，由题设知A1B1DC，∴B1CA1D，∴MEND，∴四边形MNDE是平行四边形，MN∥ED，又MN⊄平面C1DE，∴MN∥平面C1DE．解：〔2〕过C作C1E的垂线，垂足为H，由可得DE⊥BC，DE⊥C1C，∴DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH，∴CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到时平面C1DE的距离，由可得CE＝1，CC1＝4，∴C1E＝，故CH＝，∴点C到平面C1DE的距离为．解法二：证明：〔1〕∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．∴DD1⊥平面ABCD，DE⊥AD，以D为原点，DA为*轴，DE为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，M〔1，，2〕，N〔1，0，2〕，D〔0，0，0〕，E〔0，，0〕，C1〔﹣1，，4〕，＝〔0，﹣，0〕，＝〔﹣1，〕，＝〔0，〕，设平面C1DE的法向量＝〔*，y，z〕，则，取z＝1，得＝〔4，0，1〕，∵•＝0，MN⊄平面C1DE，∴MN∥平面C1DE．解：〔2〕C〔﹣1，，0〕，＝〔﹣1，，0〕，平面C1DE的法向量＝〔4，0，1〕，∴点C到平面C1DE的距离：d＝＝＝．【点评】此题考察线面平行的证明，考察点到平面的距离的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察推理能力与计算能力，属于中档题．20．〔12分〕函数f〔*〕＝2sin*﹣*cos*﹣*，f′〔*〕为f〔*〕的导数．〔1〕证明：f′〔*〕在区间〔0，π〕存在唯一零点；〔2〕假设*∈[0，π]时，f〔*〕≥a*，求a的取值围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】〔1〕令g〔*〕＝f′〔*〕，对g〔*〕再求导，研究其在〔0，π〕上的单调性，结合极值点和端点值不难证明；〔2〕利用〔1〕的结论，可设f′〔*〕的零点为*0，并结合f′〔*〕的正负分析得到f〔*〕的情况，作出图示，得出结论．【解答】解：〔1〕证明：∵f〔*〕＝2sin*﹣*cos*﹣*，∴f′〔*〕＝2cos*﹣cos*+*sin*﹣1＝cos*+*sin*﹣1，令g〔*〕＝cos*+*sin*﹣1，则g′〔*〕＝﹣sin*+sin*+*cos*＝*cos*，当*∈〔0，〕时，*cos*＞0，当*时，*cos*＜0，∴当*＝时，极大值为g〔〕＝＜0，又g〔0〕＝0，g〔π〕＝﹣2，∴g〔*〕在〔0，π〕上有唯一零点，即f′〔*〕在〔0，π〕上有唯一零点；〔2〕由〔1〕知，f′〔*〕在〔0，π〕上有唯一零点*0，使得f′〔*0〕＝0，且f′〔*〕在〔0，*0〕为正，在〔*0，π〕为负，∴f〔*〕在[0，*0]递增，在[*0，π]递减，结合f〔0〕＝0，f〔π〕＝0，可知f〔*〕在[0，π]上非负，令h〔*〕＝a*，作出图示，∵f〔*〕≥h〔*〕，a≤0，∴a的取值围是〔﹣∞，0]．【点评】此题考察了利用导数研究函数的单调性，零点等问题，和数形结合的思想方法，难度较大．21．〔12分〕点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线*+2＝0相切．〔1〕假设A在直线*+y＝0上，求⊙M的半径；〔2〕是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】〔1〕由条件知点M在线段AB的中垂线*﹣y＝0上，设圆的方程为⊙M的方程为〔*﹣a〕2+〔y﹣a〕2＝R2〔R＞0〕，然后根据圆与直线*+2＝0相切和圆心到直线*+y＝0的距离，半弦长和半径的关系建立方程组即可；〔2〕设M的坐标为〔*，y〕，然后根据条件的到圆心M的轨迹方程为y2＝4*，然后根据抛物线的定义即可得到定点．【解答】解：∵⊙M故点A，B且A在直线*+y＝0上，∴点M在线段AB的中垂线*﹣y＝0上，设⊙M的方程为：〔*﹣a〕2+〔y﹣a〕2＝R2〔R＞0〕，则圆心M〔a，a〕到直线*+y＝0的距离d＝，又|AB|＝4，∴在Rt△OMB中，d2+〔|AB|〕2＝R2，即①又∵⊙M与*＝﹣2相切，∴|a+2|＝R②由①②解得或，∴⊙M的半径为2或6；〔2〕∵线段为⊙M的一条弦，∴圆心M在线段AB的中垂线上，设点M的坐标为〔*，y〕，则|OM|2+|OA|2＝|MA|2，∵⊙M与直线*+2＝0相切，∴|MA|＝|*+2|，∴|*+2|2＝|OM|2+|OA|2＝*2+y2+4，∴y2＝4*，∴M的轨迹是以F〔1，0〕为焦点*＝﹣1为准线的抛物线，∴|MA|﹣|MP|＝|*+2|﹣|MP|＝|*+1|﹣|MP|+1＝|MF|﹣|MP|+1，∴当|MA|﹣|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为〔1，0〕，∴存在定点P〔1，0〕使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值．【点评】此题考察了直线与圆的关系和抛物线的定义，考察了待定系数法和曲线轨迹方程的求法，属难题．〔二〕选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]〔10分〕22．〔10分〕在直角坐标系*Oy中，曲线C的参数方程为〔t为参数〕．以坐标原点O为极点，*轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11＝0．〔1〕求C和l的直角坐标方程；〔2〕求C上的点到l距离的最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】〔1〕把曲线C的参数方程变形，平方相加可得普