初中数学竞赛-圆1.圆的基本性质

第1讲圆的根本性质知识总结归纳一．圆的定义：〔1〕描述性定义：在一个平面，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径．〔2〕集合性定义：平面到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．〔3〕圆的表示方法：通常用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作“〞，读作“圆〞。〔4〕同圆、同心圆、等圆：圆心一样且半径相等的圆叫同圆；圆心一样，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：同圆或等圆的半径相等．二．弦和弧：〔1〕弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．〔2〕直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍．〔3〕弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．〔4〕弧：圆上任意两点间的局部叫做圆弧，简称弧．以为端点的圆弧记作，读作弧．〔5〕等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．〔6〕半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．〔7〕优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．〔8〕弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．三．垂径定理：〔1〕垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．〔2〕推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．〔3〕推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．四．圆心角和圆周角〔1〕圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．〔2〕圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．〔3〕圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形．〔4〕圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，则它们所对应的其余各组量分别相等．五．直线与圆的位置关系设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点．直线与相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点．直线与相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线．直线与相交六.切线的判定〔1〕定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；〔2〕距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；〔3〕定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．七.弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。典型例题垂径定理及圆的对称性如下图，在与三角形所组成的图形中，，求证:．如下图，同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，试证明：．如图，矩形与圆心在上的交于点，，，，则_______．如下图，在中，，，假设以为圆心、的长为半径的圆交于，则_______．如图，的半径是，点到圆心的距离为，求过点的所有弦中最短弦的长度．如图，在的直径上取一点，过作两条弦、，假设，求证：．BBDQPOCAM圆心角和圆周角如图，是的外接圆，，则的大小为_______．：如图，四边形是的接正方形，点是劣弧上不同于点的任意一点，则的度数是_______．如图，量角器外沿上有两点，它们的度数分别是，则的度数为_______．如图，是的直径，是的弦．假设，则的大小为_______．如图，，弧的度数为，求弧和的度数如图，的外角平分线交其外接圆于，连接、，求证：．如图，锐角接于圆，，作交劣弧于点，连结，求．OOBCEA如图，是的直径，点，，都在上，假设，求．过上一点作弦，使，如图，过点作于，于，求证：．点、、顺次在圆上，弧，于，求证：．OOCDABM直线与圆相切如图，为等腰三角形，，是底边的中点，与腰相切于点，求证：与相切．如下图在中，，的平分线交于，为上一点，，以为圆心，以的长为半径画圆．求证：〔1〕是的切线；〔2〕．如图，以直角梯形中，以为直径的圆与相切，求证：以为直径的圆与相切．：如图，是的直径，为上一点，过点，于，平分．求证：为的切线．如图，分别切于、两点，满，且，，求．BBCAPO如图，与直角的斜边相切于，与直角边相交于点，且．，，，求⊙的半径．OOECBDAEDCBA如图，在中，过、、三点的圆交于点，且与相切，假设，，求的长．EDCBA思维飞跃如图，的直径为，是直径上一点，是过的一条弦，，过、分别作于点，于点，求与的长度之差．OOAFEBCGD如图，为外一点，过点引两条割线和，点分别是弧的中点，连结交，与．求证：为等腰三角形．如图，在半径为的⊙中，引两条互相垂直的直径和，在上取点，弦交于，弦交于，试证：四边形的面积为．OOQPCEBAF如图，是的直径，是的切线，平行于弦．过点作于点，连结与交于点，问与是否相等？证明你的结论．OOPEDMCB假设圆接四边形的对角线互相垂直，求证：〔1〕过对角线交点且平分一边的直线必垂直于这边的对边；〔2〕从外接圆圆心到一边的距离等于这边对边的一半．作业如图，是的弦，，垂足为，交于点，点在上．〔1〕假设，求的度数；〔2〕假设，，求的长．如下图，为的直径，是弦，且于点．连接．〔1〕求证：．〔2〕假设，求的直径．NFMBACO如图，接于，弦，是直径，是弧的中点，求证：〔1〕平分；〔2〕弧弧．NFMBACO如图，是的直径，且，弦的长为，假设弦的两端在圆上滑动时，始终与相交，记点到的距离分别为，则等于()

A．B．C．D．如图，过的直径上两点，分别作弦，假设．求证：〔1〕弧弧；〔2〕．如下列图所示，以的直角边为直径作半圆，交斜边于，交于，求证：是的切线；如图，切于点，直线交于点，弦，求证：．：如图，在中，，以为直径的