材料力学题目及答案

第3章弹性杆件横截面上的正应力分析(a)习题3-1图3－1桁架构造受力如图示，其上所有杆的横截面均为20mm×50mm的矩形。试求杆CE和杆DE横截面上的正应力。(a)习题3-1图解：图〔a〕中， 〔1〕截面法受力图〔a〕， 〔2〕FCE=15kN， 〔3〕〔1〕代入〔3〕，得FDE=50kN∴MPaMPa(a)习题3-2图3－2图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度=10kN/m，在自由端D处作用有集中呼FP=20kN。杆的横截面面积A=2.0×10-4m2，l(a)习题3-2图1．A、B、E截面上的正应力；2．杆横截面上的最大正应力，并指明其作用位置。解：由，用截面法求得FNA=40kNFNB=20kNFNE=30kN〔1〕MPaMPaMPa〔2〕MPa〔A截面〕3－3图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆，轴向拉伸载荷FP通过两端的刚性板加在杆上。试：1．写出杆横截面上的正应力与FP、d、D、Ec、Ea的关系式；习题3-3图2．假设d=25mm，D=60mm；铜和铝的单性模量分别为Ec=105GPa和Ea=70GPa，F习题3-3图解：1．变形谐调： 〔1〕 〔2〕∴2．MPaMPa3－4图示由铝板钢板组成的复合材料柱，纵向截荷FP通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。试：1．导出复合材料柱横截面上正应力与FP、b0、b1、h和Ea、Es之间的关系式；习题3-4图2．FP=385kN；Ea=70GPa，Es=200GPa；b0=30mm，b1=20mm，h=习题3-4图解：变形谐调： 〔1〕 〔2〕1．2．MPa〔压〕MPa〔压〕3－5从圆木中锯成的矩形截面梁，受力及尺寸如下图。试求以下两种情形下h与b的比值：1．横截面上的最大正应力尽可能小；2．曲率半径尽可能大。习题3-6图习题3-5习题3-6图习题3-5图∴〔正应力尽可能小〕2．，得∴〔曲率半径尽可能大〕3－6梁的截面形状为正方形去掉上、下角，如下图。梁在两端力偶Mz作用下发生弯曲。设正方形截面时，梁最大正应力为；去掉上、下角后，最大正应力变为，试求：1．k值与h值之间的关系；2．为尽可能小的h值，以及这种情形下的k值。解：， 〔1〕，h=0〔舍去〕，代入〔1〕：3－7工字形截面钢梁，梁横截面上只承受Mz=20kN·m一个力分量，Iz=11.3×106mm4，其他尺寸如下图。试求横截面中性轴以上局部分布力系沿习题3-7图习题3-7图kN即上半局部布力系合力大小为143kN〔压力〕，作用位置离中心轴y=70mm处，即位于腹板与翼缘交界处。习题3-8图3－8图示矩形截面〔b·h〕直梁，在弯矩Mz作用的O*y平面发生平面弯曲，且不超出弹性围，假定在梁的纵截面上有y方向正应力习题3-8图1．导出的表达式；2．证明：，为中性面的曲率半径。解：1．先求表达式：(a)(a)即，〔〕即∴〔a〕-2．由〔a〕式，令，得y=0，则-〔b〕3－9图示钢管和铝管结实地粘成复合材料管，在两端力偶Mz作用下发生平面弯曲，试：1．导出管横截面上正应力与Mz、D1、D2、D3和钢的Es、铝的Ea之间的关系式；2．D1=20mm，D2=36mm，D3=44mm；Mz=800N·m；Es=210GPa，Ea=70GPa。求钢管和铝和铝管横截面上的最大正应力。习题3-9图习题3-9图 〔1〕变形谐调：得 〔2〕， 〔3〕由〔2〕 〔4〕代入〔1〕，得 〔5〕∴ 〔6〕1．，〔〕，〔〕2．MPaMPa3－10由塑料制成的直梁，在横截面上只有Mz作用，如下图。塑料受拉和受压时的弹性模量分别为Et和Ec，且Ec=2Et；Mz=600N·m。试求：1．梁最大拉、压正应力；习题3-10习题3-10图解：根据平面假设，应变沿截面高度作直线变化∵Ec=2Et，∴沿截面高度直线的斜率不同∴中性轴不过截面形心。1．确定中性轴位置。设拉压区高度分别为ht、hc由，得：(a)ht即(a)ht又∵ 〔2〕由〔1〕、〔2〕，得即〔中性轴的位置〕2．其中∴∴MPa〔压〕习题3-11图∴MPa习题3-11图3－11试求图a、b中所示的二杆横截面上最大正应力的比值。解：〔a〕为拉弯组合〔b〕为单向拉伸∴习题3-12图3－12桥墩受力如下图，试确定以下载荷作用以下图示截面ABC上A、习题3-12图1．在点1、2、3处均有40kN的压缩载荷；2．仅在1、2两点处各承受40kN的压缩载荷；3．仅在点1或点3处承受40kN的压缩载荷。解：MpaMPa1．MPa2．MPa3．在点1加载：MPaMPa由对称性，得在3点加载：MPa，MPa3－13图示侧面开有空洞的正方形截面管，管壁厚=5mm，管在两端承受轴向载荷FP。开孔处截面的形心为C，形心主惯性矩m4，Fp=25kN。试求：1．开孔处横截面上点F处的正应力；习题3-13习题3-13图解：kNN·mm21．MPa2．MPa〔在y正向最大位置〕习题3-14图3－14图示矩形截面杆在自由端承受位于纵向对称面的纵向载荷FP，FP=60习题3-14图1．横截面上点A的正应力取最小值时的截面高度h；2．在上述h值下点A的正应力值。解： 〔1〕1．令，∴h=3d=75mm 〔2〕2．由〔1〕、〔2〕式得：MPa习题3-15习题3-15图1．确定截面B－B上的应力分布；2．假定骨骼中心局部〔其直径为骨骼外径的一半〕由海绵状骨质所组成，且忽略海绵状承受应力的能力，确定截面B－B上的应力分布；(b)3．确定1、2两种情况下，骨骼在截面B－B上最大压应力之比。(b)(a)(a)(c)(c)OB(d)(d)O解：1．MPaMPa∴MPaMPa沿y方向应力分布如图〔c〕所示，中性轴为zc。2．MPaMPaMpanMPazC为中性轴，沿y轴应力分布如图〔d〕3．，或(a)习题3-16图3－16正方形截面杆一端固定，另一端自由，中间局部开有切槽。杆自由端受有平行于杆轴线的纵向力FP。假设FP=1(a)习题3-16图解：m2m3m3FN*=1kNN·mN·mMPa最大正应力作用位置位于中间开有切槽的横截面的左上角点A，如图〔a〕所示。习题3-17图3－17钢制立柱上承受纵向载荷FP如下图。现在A、B、D三处测得*方向的正应变，，。假设钢的弹性模量E=200GPa。试求：习题3-17图1．力FP的大小；2．加力点在Oyz坐标中的坐标值。解：m2m3m3 〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕由〔1〕、〔4〕，即 〔5〕由〔2〕、〔4〕， 〔6〕习题3-18图由〔3〕、〔4〕，习题3-18图解〔5〕、〔6〕、〔7〕：mmmmFP=240kN3－18矩形截面柱受力如下图，试证明：1．当铅垂力FP作用在下面方程所描述的直线上的任意点时，点A的正应力等于零：(a)(a)2．为了使横截面的所有点上都不产生拉应力，其作用点必须位于由类似上述方程所描述的直线围成的区域〔图中虚直线围成的区域〕。解：1．写出K点压弯组合变形下的正应力〔图a〕。(b) 〔1〕(b)将代入〔1〕式，并使正应力为零，得FP所作用的直线方程整理得：2．假设FP作用点确定，令〔1〕式等于零，得截面的中性轴方程〔图b〕：(c) 〔2〕(c)中性轴n－n的截距： 〔3〕说明中性轴n－n，与力FP作用点位于形心C的异侧，说明n－n划分为FP作用下的区域为压应力区，另一区域是拉应力区〔见图b〕。如果将〔2〕改写为 〔4〕并且把中心轴上一点〔y,z〕固定，即中性轴可绕该点顺时针转动〔从1―1转到2―2〕由〔4〕式，FP作用必沿直线移动。由〔3〕式，2－2直线的截距值大于1－1直线的。所以，当中性轴1－1顺时针转向中性轴2－2时，FP作用点FP1、FP2沿直线，并绕形心也顺时针转向。(d)如果中性轴绕A点从1―1顺时针转动至3―3〔中性轴始终在截面外周旋转〕，则截面就不产生拉应力，将A坐标代入〔4〕式：，即FP沿该直线移动。从FP1→FP2→FP3，反之铅垂力FP从FP1→FP2→FP3直线移动，截面不产生拉应力，同理过B、F、D分别找另三条FP移动的直线。这四条直线所围区域为截面核心。铅垂压力在截面核心作用，则横截面上不会有拉应力。(d)3－19矩形截面悬臂梁受力如下图，其中力FP的作用线通过截面形心。试：1．FP、b、h、l和，求图中虚线所示截面上点a的正应力；2．求使点a处正应力为零时的角度值。习题3-19图解：，习题3-19图，令，则，3－20矩形截面柱受力如下图。试：习题3-20图1．=5°，求图示横截面上a、b、c三点的正应力。习题3-20图2．求使横截面上点b正应力为零时的角度值。解：，1．MPaMPaMPa习题3-21图2．习题3-21图，=4.76°3－21交通信号灯柱上受力如下图。灯柱为管形截面，其外径D=200mm，径d=180mm。假设截面A以上灯柱的重为4kN。试求横截面上点H和K解：，=22.62°NN·mMPa习题3-22图MPa习题3-22图3－22No.25a普通热轧工字钢制成的立柱受力如下图。试求图示横截面上a、b、c、d四点处的正应力。解：m2m3m3kNN·mN·m(a)(a)MPa∴MPaMPaMPa习题3-23图Mpa习题3-23图3－23承受集度为q=2.0kN/m均布载荷的木制简支梁，其截面为直径d=160mm的半圆形。梁斜置如下图。试求梁的最大拉应力与最大压应力。(a)解：，，(a)N·m(b)m4(b)m4(c)(c)yCMPa〔左下角A点〕yC最大压应力点应在CD弧间，设为 〔1〕，得：代回〔1〕式，MPa习题3-24图3－24简支梁的横截面尺寸及梁的受力均如下图。试求N－Ｎ截面上a、b、习题3-24图解：kN·mMPa〔压应力〕MPa〔拉应力〕MPa〔拉应力〕MPa〔拉应力〕3－25根据杆件横截面正应力分析过程，中性轴在什么情形下才会通过截面形心？试分析以下答案中哪一个是正确的。〔A〕My=0或Mz=0，；〔B〕My=Mz=0，；〔C〕My=0，Mz=0，；〔D〕或，。正确答案是D。解：正如教科书P168第2行所说，只要，则其中性轴一定不通过截面形心，所以此题答案选〔D〕。3－26关于中性轴位置，有以下几种论述，试判断哪一种是正确的。〔A〕中性轴不一定在截面，但如果在截面它一定通过形心；〔B〕中性轴只能在截面并且必须通过截面形心；〔C〕中性轴只能在截面，但不一定通过截面形心；〔D〕中性轴不一定在截面，而且也不一定通过截面形心。正确答案是D。解：此题解答理由可参见原书P167倒数第1行，直至P168页第2行止，所以选〔D〕。3－27关于斜弯曲的主要特征有四种答案，试判断哪一种是正确的。〔A〕，，，中性轴与截面形心主轴不一致，且不通过截面形心；〔B〕，，，中性轴与截面形心主轴不一致，但通过截面形心；〔C〕，，，中性轴与截面形心主轴平行，但不通过截面形心；〔D〕或，，中性轴与截面